QUASI-VARIANZ: FORMEL UND GLEICHUNGEN, BEISPIELE, ÜBUNG - DUDAS - 2025

Die Quasivarianz , Quasi-Varianz oder Varianz- unverzerrt ist ein statistisches Maß für die Streuung der Probendaten relativ zum Durchschnitt. Die Stichprobe besteht wiederum aus einer Reihe von Daten aus einem größeren Universum, der sogenannten Population.

Es wird auf verschiedene Arten bezeichnet, hier wurde s _c ² gewählt und die folgende Formel wird verwendet, um es zu berechnen:

Abbildung 1. Die Definition der Quasi-Varianz. Quelle: F. Zapata.

Wo:

Die Quasi-Varianz ist ähnlich der Varianz s ² , mit dem einzigen Unterschied, dass der Nenner der Varianz n-1 ist, während der Nenner der Varianz nur durch n geteilt wird. Es ist offensichtlich, dass wenn n sehr groß ist, die Werte von beiden dazu neigen, gleich zu sein.

Wenn Sie den Wert der Quasi-Varianz kennen, können Sie den Wert der Varianz sofort erkennen.

Beispiele für Quasi-Varianz

Oft möchten Sie die Merkmale einer Population kennen: Menschen, Tiere, Pflanzen und im Allgemeinen jede Art von Objekt. Die Analyse der gesamten Bevölkerung ist jedoch möglicherweise keine leichte Aufgabe, insbesondere wenn die Anzahl der Elemente sehr groß ist.

Anschließend werden Proben genommen, in der Hoffnung, dass ihr Verhalten das der Bevölkerung widerspiegelt und somit Rückschlüsse darauf gezogen werden können, dank derer die Ressourcen optimiert werden. Dies ist als statistische Inferenz bekannt.

Hier einige Beispiele, bei denen die Quasi-Varianz und die damit verbundene Quasi-Standardabweichung als statistischer Indikator dienen, indem angegeben wird, wie weit die erhaltenen Ergebnisse vom Mittelwert entfernt sind.

1.- Der Marketingleiter eines Unternehmens, das Autobatterien herstellt, muss die durchschnittliche Lebensdauer einer Batterie in Monaten schätzen.

Dazu wählt er zufällig eine Stichprobe von 100 gekauften Batterien dieser Marke aus. Das Unternehmen zeichnet die Details der Käufer auf und kann sie befragen, um herauszufinden, wie lange die Batterien halten.

Abbildung 2. Quasi-Varianz ist nützlich, um Schlussfolgerungen zu ziehen und die Qualität zu kontrollieren. Quelle: Pixabay.

2.- Das akademische Management einer Universitätseinrichtung muss die Einschreibung des folgenden Jahres schätzen und die Anzahl der Studenten analysieren, von denen erwartet wird, dass sie die Fächer bestehen, die sie gerade studieren.

Beispielsweise kann das Management aus jedem der Abschnitte, in denen derzeit Physik I belegt wird, eine Stichprobe von Studenten auswählen und deren Leistung auf diesem Lehrstuhl analysieren. Auf diese Weise können Sie ableiten, wie viele Studenten in der nächsten Zeit Physik II belegen werden.

3.- Eine Gruppe von Astronomen konzentriert ihre Aufmerksamkeit auf einen Teil des Himmels, wo eine bestimmte Anzahl von Sternen mit bestimmten Eigenschaften beobachtet wird: Größe, Masse und Temperatur zum Beispiel.

Man fragt sich, ob Sterne in einer anderen ähnlichen Region dieselben Eigenschaften haben werden, selbst Sterne in anderen Galaxien wie den benachbarten Magellanschen Wolken oder Andromeda.

Warum durch n-1 teilen?

In der Quasivarianz wird sie durch n-1 anstelle von n geteilt, und dies liegt daran, dass die Quasivariate ein unvoreingenommener Schätzer ist, wie zu Beginn gesagt wurde.

Es kommt vor, dass aus derselben Population viele Proben entnommen werden können. Die Varianz jeder dieser Stichproben kann ebenfalls gemittelt werden, aber der Durchschnitt dieser Varianzen ist nicht gleich der Varianz der Population.

Tatsächlich neigt der Mittelwert der Stichprobenvarianzen dazu, die Populationsvarianz zu unterschätzen, es sei denn, im Nenner wird n-1 verwendet. Es kann überprüft werden, dass der erwartete Wert der Quasi-Varianz E (s _c ² ) genau s ^{2 ist} .

Aus diesem Grund wird gesagt, dass das Quasivariate unvoreingenommen ist und ein besserer Schätzer für die Populationsvarianz s ^{2 ist} .

Alternative Methode zur Berechnung der Quasivarianz

Es ist leicht zu zeigen, dass die Quasivarianz auch wie folgt berechnet werden kann:

s _c ² = -

Die Standardnote

Anhand der Stichprobenabweichung können wir erkennen, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Wert x entweder über oder unter dem Mittelwert aufweist.

Hierzu wird folgender dimensionsloser Ausdruck verwendet:

Standardbewertung = (x - X) / s _c

Übung gelöst

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Verwenden Sie die am Anfang angegebene Definition der Quasivarianz und überprüfen Sie das Ergebnis mit der im vorhergehenden Abschnitt angegebenen alternativen Form.

b) Berechnen Sie die Standardbewertung des zweiten Datenelements von oben nach unten.

Lösung für

Das Problem kann von Hand mit Hilfe eines einfachen oder wissenschaftlichen Taschenrechners gelöst werden, für den in der richtigen Reihenfolge vorgegangen werden muss. Und dafür gibt es nichts Besseres, als die Daten in einer Tabelle wie der folgenden zu organisieren:

Dank der Tabelle sind die Informationen organisiert und die Mengen, die in den Formeln benötigt werden, befinden sich am Ende der jeweiligen Spalten und sind sofort einsatzbereit. Zusammenfassungen sind fett gedruckt.

Die mittlere Spalte wird immer wiederholt, aber es lohnt sich, weil es praktisch ist, den Wert im Blick zu haben, um jede Zeile der Tabelle zu füllen.

Schließlich wird die am Anfang angegebene Gleichung für das Quasivariate angewendet, nur die Werte werden ersetzt, und für die Summierung haben wir sie bereits berechnet:

s _c ² = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2

Dies ist der Wert der Quasi-Varianz, und ihre Einheiten sind "Dollar im Quadrat", was praktisch wenig sinnvoll ist. Daher wird die Quasi-Standardabweichung der Stichprobe berechnet, die nichts anderes als die Quadratwurzel der Quasi-Varianz ist:

s _c = (√ 144.888,2) $ = $ 380,64

Es wird sofort bestätigt, dass dieser Wert auch mit der alternativen Form der Quasi-Varianz erhalten wird. Die benötigte Summe befindet sich am Ende der letzten Spalte links:

s _c ² = - = -

= 2.136.016,55 - 1.991.128,36 = 144.888 USD im Quadrat

Es ist der gleiche Wert, der mit der am Anfang angegebenen Formel erhalten wird.

Lösung b

Der zweite Wert von oben nach unten ist 903, die Standardbewertung ist

Standardbewertung von 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) / 380,64 = -1,177

Verweise

1. Canavos, G. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8 .. Auflage. Engagieren.
3. Levin, R. 1988. Statistik für Administratoren. 2 .. Auflage. Prentice Hall.
4. Dispersionsmaße. Wiederhergestellt von: thales.cica.es.
5. Walpole, R. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften. Pearson.