Um zu wissen, was die Quadratwurzel von 3 ist, ist es wichtig, die Definition der Quadratwurzel einer Zahl zu kennen.
Bei einer positiven Zahl "a" ist die mit √a bezeichnete Quadratwurzel von "a" eine positive Zahl "b", so dass das Ergebnis "a" ist, wenn "b" damit multipliziert wird.
Die mathematische Definition lautet: √a = b genau dann, wenn b² = b * b = a.
Um zu wissen, was die Quadratwurzel von 3 ist, dh der Wert von √3, muss daher eine Zahl "b" gefunden werden, so dass b² = b * b = √3.
Außerdem ist √3 eine irrationale Zahl, sodass sie aus einer unendlichen nichtperiodischen Anzahl von Dezimalstellen besteht. Aus diesem Grund ist es schwierig, die Quadratwurzel von 3 manuell zu berechnen.
Quadratwurzel von 3
Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, können Sie sehen, dass die Quadratwurzel von 3 1,73205080756887 ist …
Jetzt können Sie manuell versuchen, diese Zahl wie folgt zu approximieren:
-1 * 1 = 1 und 2 * 2 = 4, dies besagt, dass die Quadratwurzel von 3 eine Zahl zwischen 1 und 2 ist.
-1,7 * 1,7 = 2,89 und 1,8 * 1,8 = 3,24, daher ist die erste Dezimalstelle 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 und 1,74 * 1,74 = 3,02, die zweite Dezimalstelle ist also 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 und 1,733 * 1,733 = 3,003, daher ist die dritte Dezimalstelle 2.
Und so weiter können Sie fortfahren. Dies ist eine manuelle Methode zur Berechnung der Quadratwurzel von 3.
Es gibt auch andere viel fortgeschrittenere Techniken, wie die Newton-Raphson-Methode, eine numerische Methode zur Berechnung von Approximationen.
Wo finden wir die Nummer √3?
Aufgrund der Komplexität der Zahl könnte man annehmen, dass sie nicht in Alltagsgegenständen vorkommt, aber das ist falsch. Wenn wir einen Würfel (quadratisches Kästchen) haben, so dass die Länge seiner Seiten 1 beträgt, haben die Diagonalen des Würfels ein Maß von √3.
Um dies zu überprüfen, wird der Satz von Pythagoras verwendet, der besagt: Bei einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Beine (c² = a² + b²).
Wenn wir einen Würfel mit Seite 1 haben, haben wir, dass die Diagonale des Quadrats seiner Basis gleich der Summe der Quadrate der Beine ist, dh c² = 1² + 1² = 2, daher misst die Diagonale der Basis √2.
Um nun die Diagonale des Würfels zu berechnen, kann die folgende Abbildung beobachtet werden.
Das neue rechtwinklige Dreieck hat Schenkel der Längen 1 und √2. Wenn wir also den Satz von Pythagoras verwenden, um die Länge seiner Diagonale zu berechnen, erhalten wir: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, das heißt sagen wir, C = √3.
Somit ist die Länge der Diagonale eines Würfels mit Seite 1 gleich √3.
√3 eine irrationale Zahl
Am Anfang wurde gesagt, dass √3 eine irrationale Zahl ist. Um dies zu überprüfen, wird von der Absurdität angenommen, dass es sich um eine rationale Zahl handelt, mit der es zwei Zahlen "a" und "b" gibt, relative Primzahlen, so dass a / b = √3.
Durch Quadrieren der letzten Gleichheit und Auflösen nach "a²" wird die folgende Gleichung erhalten: a² = 3 * b². Dies besagt, dass "a²" ein Vielfaches von 3 ist, was zu der Schlussfolgerung führt, dass "a" ein Vielfaches von 3 ist.
Da "a" ein Vielfaches von 3 ist, gibt es eine ganze Zahl "k", so dass a = 3 * k ist. Durch Ersetzen in der zweiten Gleichung erhalten wir daher: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², was dasselbe ist wie b² = 3 * k².
Diese letzte Gleichheit führt nach wie vor zu dem Schluss, dass "b" ein Vielfaches von 3 ist.
Zusammenfassend sind "a" und "b" beide Vielfache von 3, was ein Widerspruch ist, da ursprünglich angenommen wurde, dass sie relative Primzahlen sind.
Daher ist √3 eine irrationale Zahl.
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