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Die Teilbarkeitskriterien sind theoretische Argumente, mit denen bestimmt wird, ob eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl teilbar ist. Da die Unterteilungen genau sein müssen, gilt dieses Kriterium nur für die Menge der ganzen Zahlen Z. Beispielsweise ist die Zahl 123 gemäß den Teilungskriterien von 3, die später angegeben werden, durch drei teilbar.

Eine Division wird als genau bezeichnet, wenn ihr Rest gleich Null ist, wobei der Rest der Differenzwert ist, der bei der herkömmlichen manuellen Divisionsmethode erhalten wird. Wenn der Rest von Null abweicht, ist die Division ungenau und es ist erforderlich, die resultierende Zahl mit Dezimalwerten auszudrücken.

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Wofür sind die Teilbarkeitskriterien?

Seine größte Nützlichkeit wird vor einer herkömmlichen manuellen Division festgestellt, bei der es notwendig ist zu wissen, ob nach Durchführung dieser Division eine ganzzahlige Zahl erhalten wird.

Sie sind üblich, um Wurzeln nach der Ruffini-Methode und anderen mit dem Factoring verbundenen Verfahren zu gewinnen. Dies ist ein beliebtes Tool für Schüler, die aus pädagogischen Gründen noch keine Taschenrechner oder digitalen Berechnungswerkzeuge verwenden dürfen.

Die gängigsten Regeln

Es gibt Teilbarkeitskriterien für viele ganze Zahlen, die hauptsächlich für die Arbeit mit Primzahlen verwendet werden. Sie können jedoch auch mit anderen Arten von Zahlen angewendet werden. Einige dieser Kriterien sind nachstehend definiert.

Teilbarkeitskriterium einer "1"

Es gibt kein spezifisches Teilbarkeitskriterium für Nummer eins. Es muss nur festgestellt werden, dass jede Ganzzahl durch eine teilbar ist. Dies liegt daran, dass jede mit eins multiplizierte Zahl unverändert bleibt.

Teilbarkeitskriterium der beiden "2"

Es wird bestätigt, dass eine Zahl durch zwei teilbar ist, wenn ihre letzte Ziffer oder Zahl, die sich auf die Einheiten bezieht, Null oder gerade ist.

Die folgenden Beispiele werden beobachtet:

234: Es ist durch 2 teilbar, weil es mit 4 endet, was eine gerade Zahl ist.

2035: Es ist nicht durch 2 teilbar, da 5 nicht gerade ist.

1200: Es ist durch 2 teilbar, da seine letzte Ziffer Null ist.

Teilbarkeitskriterium von drei "3"

Eine Ziffer ist durch drei teilbar, wenn die Summe ihrer einzelnen Ziffern einem Vielfachen von drei entspricht.

123: Es ist durch drei teilbar, da die Summe seiner Terme 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2 ist

451: Es ist nicht durch 3 teilbar, was durch Überprüfen von 4 + 5 + 1 = 10 bestätigt wird. Es ist kein Vielfaches von drei.

Teilbarkeitskriterium von vier "4"

Um festzustellen, ob eine Zahl ein Vielfaches von vier ist, müssen Sie überprüfen, ob die letzten beiden Ziffern 00 oder ein Vielfaches von vier sind.

3822: Betrachtet man die letzten beiden Zahlen "22", so wird detailliert angegeben, dass es sich nicht um ein Vielfaches von vier handelt, daher ist die Zahl nicht durch 4 teilbar.

644: Wir wissen, dass 44 = 4 x 11 ist, also ist 644 durch vier teilbar.

3200: Da die letzten Zahlen 00 sind, wird der Schluss gezogen, dass die Zahl durch vier teilbar ist.

Teilbarkeitskriterium von fünf "5"

Es ist ziemlich intuitiv, dass das Teilbarkeitskriterium von fünf darin besteht, dass seine letzte Ziffer gleich fünf oder null ist. Da in der Tabelle der fünf beobachtet wird, dass alle Ergebnisse mit einer dieser beiden Zahlen enden.

350, 155 und 1605 sind nach diesem Kriterium durch fünf teilbare Zahlen.

Teilbarkeitskriterium der sechs "6"

Damit eine Zahl durch sechs teilbar ist, muss sie gleichzeitig zwischen 2 und 3 teilbar sein. Dies ist sinnvoll, da die Zerlegung von 6 gleich 2 × 3 ist.

Um die Teilbarkeit durch sechs zu überprüfen, werden die Kriterien für 2 und 3 separat analysiert.

468: Wenn Sie mit einer geraden Zahl enden, wird das Teilbarkeitskriterium um 2 erfüllt. Durch separates Addieren der Ziffern, aus denen die Figur besteht, erhalten Sie 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Das Teilbarkeitskriterium 3 ist erfüllt. Daher ist 468 durch sechs teilbar.

622: Seine gerade Zahl, die den Einheiten entspricht, zeigt an, dass es durch 2 teilbar ist. Wenn jedoch seine Ziffern separat addiert werden, ist 6 + 2 + 2 = 10, was kein Vielfaches von 3 ist. Auf diese Weise wird überprüft, dass 622 nicht durch sechs teilbar ist .

Teilbarkeitskriterium von sieben "7"

Für dieses Kriterium muss die vollständige Nummer in zwei Teile unterteilt werden. Einheiten und Rest der Nummer. Das Kriterium für die Teilbarkeit durch sieben ist, dass die Subtraktion zwischen der Zahl ohne die Einheiten und dem Doppelten der Einheiten gleich Null oder einem Vielfachen von sieben ist.

Dies wird am besten anhand von Beispielen verstanden.

133: Die Zahl ohne die Einsen ist 13 und die Doppelten sind 3 × 2 = 6. Auf diese Weise führen wir die Subtraktion durch. 13 - 6 = 7 = 7 × 1. Dies stellt sicher, dass 133 durch 7 teilbar ist.

8435: Subtrahiere 843 - 10 = 833. Da 833 immer noch zu groß ist, um die Teilbarkeit zu bestimmen, wird der Prozess erneut angewendet. 83 - 6 = 77 = 7 x 11. Somit ist 8435 durch sieben teilbar.

Acht "8" Teilbarkeitskriterium

Es muss wahr sein, dass die letzten drei Ziffern der Zahl 000 oder ein Vielfaches von 8 sind.

3456 und 73000 sind durch acht teilbar.

Teilbarkeitskriterium der neun "9"

Ähnlich wie beim Teilbarkeitskriterium von drei muss überprüft werden, dass die Summe der einzelnen Ziffern einem Vielfachen von neun entspricht.

3438: Wenn die Summe gemacht wird, erhalten wir 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. Somit wird bestätigt, dass 3438 durch neun teilbar ist.

1451: Addieren Sie die Ziffern separat, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Da es sich nicht um ein Vielfaches von neun handelt, wird überprüft, dass 1451 nicht durch neun teilbar ist.

Teilbarkeitskriterium von zehn "10"

Nur Zahlen, die mit Null enden, sind durch zehn teilbar.

20, 1000 und 2030 sind durch zehn teilbar.

Teilbarkeitskriterium von elf "11"

Dies ist eine der komplexesten, jedoch garantiert die ordnungsgemäße Überprüfung eine einfache Überprüfung. Damit eine Zahl durch elf teilbar ist, muss erfüllt sein, dass die Summe der Ziffern in gerader Position minus der Summe der Ziffern in ungerader Position gleich Null oder einem Vielfachen von elf ist.

39.369: Die Summe der geraden Zahlen beträgt 9 + 6 = 15. Und die Summe der Zahlen in ungerader Position ist 3 + 3 + 9 = 15. Auf diese Weise wird beim Subtrahieren von 15 - 15 = 0 überprüft, dass 39.369 durch elf teilbar ist.

Verweise

1. Kriterien für die Teilbarkeit. NN Vorobyov. University of Chicago Press, 1980
2. Elementare Zahlentheorie in neun Kapiteln. James J. Tattersall. Cambridge University Press, 14. Oktober 1999
3. Geschichte der Zahlentheorie: Teilbarkeit und Ursprünglichkeit. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co., 1971
4. Teilbarkeit bestimmter quadratischer Klassennummern durch 2 Potenzen. Peter Stevenhagen. Universität Amsterdam, Institut für Mathematik und Informatik, 1991
5. Elementare Arithmetik. Enzo R. Gentile. Generalsekretariat der Organisation Amerikanischer Staaten, Regionalprogramm für wissenschaftliche und technologische Entwicklung, 1985