INTEGRATIONSKONSTANTE: BEDEUTUNG, BERECHNUNG UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Integrationskonstante ist ein Mehrwert für die Berechnung von Antiderivativen oder Integralen. Sie dient zur Darstellung der Lösungen, aus denen das Grundelement einer Funktion besteht. Es drückt eine inhärente Mehrdeutigkeit aus, bei der jede Funktion eine unendliche Anzahl von Grundelementen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Funktion annehmen: f (x) = 2x + 1 und wir erhalten ihr Antiderivativ:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Wobei C die Integrationskonstante ist und grafisch die vertikale Translation zwischen den unendlichen Möglichkeiten des Primitivs darstellt. Es ist richtig zu sagen, dass (x ² + x) eines der Grundelemente von f (x) ist.

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In ähnlicher Weise können wir (x ² + x + C ) als das Grundelement von f (x) definieren.

Reverse-Eigenschaft

Es kann angemerkt werden, dass beim Ableiten des Ausdrucks (x ² + x) die Funktion f (x) = 2x + 1 erhalten wird. Dies ist auf die inverse Eigenschaft zurückzuführen, die zwischen der Ableitung und der Integration von Funktionen besteht. Diese Eigenschaft ermöglicht es, Integrationsformeln ausgehend von der Differenzierung zu erhalten. Dies ermöglicht die Überprüfung von Integralen durch dieselben Ableitungen.

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(X ² + x) ist jedoch nicht die einzige Funktion, deren Ableitung gleich (2x + 1) ist.

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Wobei 1, 2, 3 und 4 bestimmte Grundelemente von f (x) = 2x + 1 darstellen. Während 5 das unbestimmte oder primitive Integral von f (x) = 2x + 1 darstellt.

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Die Grundelemente einer Funktion werden durch den Antiderivierungs- oder Integralprozess erreicht. Wobei F ein Grundelement von f ist, wenn Folgendes zutrifft

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = Integrationskonstante
• F '(x) = f (x)

Es ist ersichtlich, dass eine Funktion im Gegensatz zu ihren unendlichen Grundelementen, die sich aus der Integration ergeben, eine einzige Ableitung hat.

Das unbestimmte Integral

∫ f (x) dx = F (x) + C.

Es entspricht einer Kurvenfamilie mit demselben Muster, bei der der Wert der Bilder jedes Punktes (x, y) inkongruent ist. Jede Funktion, die dieses Muster erfüllt, ist ein einzelnes Grundelement, und die Menge aller Funktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet.

Der Wert der Integrationskonstante ist derjenige, der jede Funktion in der Praxis unterscheidet.

Die Integrationskonstante deutet auf eine vertikale Verschiebung in allen Graphen hin, die die Grundelemente einer Funktion darstellen. Wo die Parallelität zwischen ihnen beobachtet wird und die Tatsache, dass C der Wert der Verschiebung ist.

Nach gängigen Praktiken wird die Integrationskonstante nach einem Addend mit dem Buchstaben "C" bezeichnet, obwohl es in der Praxis keine Rolle spielt, ob die Konstante addiert oder subtrahiert wird. Sein wirklicher Wert kann auf verschiedene Weise unter verschiedenen Anfangsbedingungen gefunden werden .

Andere Bedeutungen der Integrationskonstante

Es wurde bereits diskutiert, wie die Integrationskonstante im Zweig der Integralrechnung angewendet wird ; Darstellung einer Kurvenfamilie, die das unbestimmte Integral definiert. Aber viele andere Wissenschaften und Zweige haben sehr interessante und praktische Werte der Integrationskonstante zugewiesen , die die Entwicklung mehrerer Studien erleichtert haben.

In der Physik kann die Integrationskonstante je nach Art der Daten mehrere Werte annehmen. Ein sehr häufiges Beispiel ist die Kenntnis der Funktion V (t) , die die Geschwindigkeit eines Teilchens gegenüber der Zeit t darstellt. Es ist bekannt, dass bei der Berechnung eines Grundelements von V (t) die Funktion R (t) erhalten wird , die die Position des Teilchens gegenüber der Zeit darstellt.

Die Integrationskonstante repräsentiert den Wert der Anfangsposition, dh zum Zeitpunkt t = 0.

In gleicher Weise ist die Funktion A (t) bekannt , die die Beschleunigung des Teilchens gegenüber der Zeit darstellt. Das Grundelement von A (t) ergibt die Funktion V (t), wobei die Integrationskonstante der Wert der Anfangsgeschwindigkeit V _{0 ist} .

In der Wirtschaft durch Erhalt des Grundelements einer Kostenfunktion durch Integration. Die Integrationskonstante repräsentiert die Fixkosten. Und so viele andere Anwendungen, die Differential- und Integralrechnung verdienen.

Wie berechnet sich die Integrationskonstante?

Um die Integrationskonstante zu berechnen , müssen immer die Anfangsbedingungen bekannt sein . Welche sind dafür verantwortlich zu definieren, welches der möglichen Grundelemente das entsprechende ist.

In vielen Anwendungen wird es zum Zeitpunkt (t) als unabhängige Variable behandelt, wobei die Konstante C die Werte annimmt, die die Anfangsbedingungen des jeweiligen Falls definieren.

Nehmen wir das erste Beispiel: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C.

Eine gültige Anfangsbedingung kann die Bedingung sein, dass der Graph eine bestimmte Koordinate durchläuft. Zum Beispiel wissen wir, dass das Grundelement (x ² + x + C) durch den Punkt (1, 2) geht.

F (x) = x ² + x + C; Dies ist die allgemeine Lösung

F (1) = 2

Wir ersetzen die allgemeine Lösung in dieser Gleichheit

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Daraus folgt leicht, dass C = 0 ist

Auf diese Weise ist das entsprechende Grundelement für diesen Fall F (x) = x ² + x

Es gibt verschiedene Arten von numerischen Übungen, die mit Integrationskonstanten arbeiten . Tatsächlich hört die Differential- und Integralrechnung in aktuellen Untersuchungen nicht auf, angewendet zu werden. Auf verschiedenen akademischen Ebenen können sie gefunden werden; von der ersten Berechnung über Physik, Chemie, Biologie bis hin zu Wirtschaftswissenschaften.

Es wird auch bei der Untersuchung von Differentialgleichungen geschätzt , bei denen die Integrationskonstante unterschiedliche Werte und Lösungen annehmen kann, was auf die mehrfachen Ableitungen und Integrationen zurückzuführen ist, die in dieser Angelegenheit durchgeführt werden.

Beispiele

Beispiel 1

1. Eine 30 Meter hohe Kanone feuert ein Projektil senkrecht nach oben ab. Die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils beträgt bekanntlich 25 m / s. Entscheiden:

• Die Funktion, die die Position des Projektils in Bezug auf die Zeit definiert.
• Die Flugzeit oder der Zeitpunkt, zu dem das Partikel auf den Boden trifft.

Es ist bekannt, dass bei einer geradlinigen Bewegung, die gleichmäßig variiert wird, die Beschleunigung ein konstanter Wert ist. Dies ist der Fall beim Projektilstart, bei dem die Beschleunigung die Schwerkraft ist

g = - 10 m / s ²

Es ist auch bekannt, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung der Position ist, was auf eine doppelte Integration in die Auflösung der Übung hinweist, wodurch zwei Integrationskonstanten erhalten werden.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Die Anfangsbedingungen der Übung zeigen, dass die Anfangsgeschwindigkeit V ₀ = 25 m / s ist. Dies ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Auf diese Weise ist erfüllt, dass:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ und C ₁ = 25

Mit der Geschwindigkeitsfunktion definiert

V (t) = -10 t + 25; Die Ähnlichkeit kann mit der MRUV-Formel beobachtet werden (V _f = V ₀ + axt)

Auf homologe Weise integrieren wir die Geschwindigkeitsfunktion, um den Ausdruck zu erhalten, der die Position definiert:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5 t ² + 25 t + C ₂ (Positionsprimitiv)

Die Ausgangsposition R (0) = 30 m ist bekannt. Dann wird das bestimmte Grundelement des Projektils berechnet.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Wobei C ₂ = 30

Beispiel 2

1. Finden Sie das Grundelement f (x), das die Anfangsbedingungen erfüllt:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Mit der Information der zweiten Ableitung f '' (x) = 4 beginnt der Antiderivierungsprozess

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Wenn wir dann die Bedingung f '(2) = 2 kennen, fahren wir fort:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 und f '(x) = 4x - 8

Bei der zweiten Integrationskonstante gehen wir genauso vor

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Die Anfangsbedingung f (0) = 7 ist bekannt und wir fahren fort:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 und f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Ähnlich wie beim vorherigen Problem definieren wir die ersten Ableitungen und die ursprüngliche Funktion aus den Anfangsbedingungen.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

Mit der Bedingung f '(0) = 6 fahren wir fort:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Wobei C ₁ = 6 und f ‚(x) = (x ³ /3) + 6

Dann die zweite Integrationskonstante

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Die Anfangsbedingung f (0) = 3 ist bekannt und wir fahren fort:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Wobei C ₂ = 3

So erhalten wir das primitive Besondere

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Beispiel 3

1. Definieren Sie die primitiven Funktionen anhand der Ableitungen und eines Punkts in der Grafik:

• dy / dx = 2x - 2, das durch den Punkt (3, 2) geht

Es ist wichtig zu beachten, dass sich Ableitungen auf die Steigung der Linie beziehen, die die Kurve an einem bestimmten Punkt tangiert. Wo es nicht richtig ist anzunehmen, dass der Graph der Ableitung den angegebenen Punkt berührt, da dieser zum Graph der primitiven Funktion gehört.

Auf diese Weise drücken wir die Differentialgleichung wie folgt aus:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Anwendung der Ausgangsbedingung:

2 = (3) ² - 2 (3) + C.

C = -1

Es wird erhalten: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, das durch den Punkt (0, 2) geht

Wir drücken die Differentialgleichung wie folgt aus:

Anwendung der Ausgangsbedingung:

2 = (0) ² - 2 (0) + C.

C = 2

Wir erhalten: f (x) = x ³ - x + 2

Vorgeschlagene Übungen

Übung 1

1. Finden Sie das Grundelement f (x), das die Anfangsbedingungen erfüllt:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Übung 2

1. Ein Ballon, der mit einer Geschwindigkeit von 16 Fuß / s aufsteigt, lässt einen Sandbeutel aus einer Höhe von 64 Fuß über dem Boden fallen.

• Definieren Sie die Flugzeit
• Was wird der Vektor V _{f sein,} wenn er auf den Boden trifft?

Übung 3

1. Die Abbildung zeigt den Beschleunigungs-Zeit-Graphen eines Autos, das sich in der positiven Richtung der x-Achse bewegt. Das Auto fuhr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 54 km / h, als der Fahrer die Bremsen betätigte, um in 10 Sekunden anzuhalten. Bestimmen:

• Die anfängliche Beschleunigung des Autos
• Die Geschwindigkeit des Autos bei t = 5s
• Die Verschiebung des Autos beim Bremsen

Quelle: Autor

Übung 4

1. Definieren Sie die primitiven Funktionen anhand der Ableitungen und eines Punkts in der Grafik:

• dy / dx = x, das durch den Punkt geht (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, das durch den Punkt (0, 0) geht
• dy / dx = -x + 1, das durch den Punkt (-2, 2) geht

Verweise

1. Integralrechnung. Die unbestimmten Integral- und Integrationsmethoden. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena Universität 2014
2. Stewart, J. (2001). Berechnung einer Variablen. Frühe Transzendentale. Mexiko: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Mathematik VI. Integralrechnung. Mexiko: Pearson Education.
4. Physik I. Mc Graw Hill