Unter einer endlichen Menge wird jede Menge mit einer begrenzten oder zählbaren Anzahl von Elementen verstanden. Beispiele für endliche Mengen sind die Murmeln, die in einer Tasche enthalten sind, die Menge der Häuser in einer Nachbarschaft oder die Menge P, die aus den ersten zwanzig (20) natürlichen Zahlen besteht:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Die Menge der Sterne im Universum ist sicherlich immens, aber es ist nicht sicher bekannt, ob sie endlich oder unendlich ist. Die Menge der Planeten im Sonnensystem ist jedoch endlich.
Abbildung 1. Die Menge der Polygone ist endlich und die Teilmenge der regulären Polygone ebenfalls. (Wikimedia Commons)
Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge wird als Kardinalität bezeichnet, und für die Menge P wird sie wie folgt bezeichnet: Karte ( P ) oder # P. Die leere Menge hat eine Kardinalität von Null und wird als endliche Menge betrachtet.
Eigenschaften
Zu den Eigenschaften endlicher Mengen gehören:
1- Die Vereinigung endlicher Mengen führt zu einer neuen endlichen Menge.
2- Wenn sich zwei endliche Mengen schneiden, ergibt sich eine neue endliche Menge.
3- Eine Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich und ihre Kardinalität ist kleiner oder gleich der der ursprünglichen Menge.
4- Die leere Menge ist eine endliche Menge.
Beispiele
Es gibt viele Beispiele für endliche Mengen. Einige Beispiele umfassen Folgendes:
Die Menge M der Monate des Jahres, die in erweiterter Form folgendermaßen geschrieben werden kann:
M = {Januar, Februar, März, April, Mai, Juni, Juli, August, September, Oktober, November, Dezember}, die Kardinalität von M ist 12.
Die Menge S der Wochentage: S = {Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}. Die Kardinalität von S ist 7.
Die Menge Ñ der Buchstaben des spanischen Alphabets ist eine endliche Menge. Diese Menge in Erweiterung ist wie folgt geschrieben:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} und seine Kardinalität ist 27.
Die Menge V der Vokale in Spanisch ist eine Teilmenge der Menge Ñ:
V ⊂ Ñ ist daher eine endliche Menge.
Die endliche Menge V in umfangreicher Form ist wie folgt geschrieben: V = {a, e, i, o, u} und ihre Kardinalität ist 5.
Mengen können durch Verständnis ausgedrückt werden. Die Menge F , die aus den Buchstaben des Wortes "endlich" besteht, ist ein Beispiel:
F = {x / x ist ein Buchstabe des Wortes "endlich"}
Das in umfangreicher Form ausgedrückte Set lautet:
F = {f, i, n, t, o}, dessen Kardinalität 5 ist und daher eine endliche Menge ist.
Mehr Beispiele
Die Farben des Regenbogens sind ein weiteres Beispiel für eine endliche Menge. Die Menge C dieser Farben ist:
C = {rot, orange, gelb, grün, cyan, blau, violett} und seine Kardinalität ist 7.
Die Menge der Phasen F des Mondes ist ein weiteres Beispiel für eine endliche Menge:
F = {Neumond, erstes Quartal, Vollmond, letztes Quartal} Diese Menge hat Kardinalität 4.
Abbildung 2. Die Planeten des Sonnensystems bilden eine endliche Menge. (pixabay)
Eine andere endliche Menge ist diejenige, die von den Planeten des Sonnensystems gebildet wird:
P = {Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Pluto} der Kardinalität 9.
Gelöste Übungen
Übung 1
Die folgende Menge A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} ist gegeben. Drücken Sie es in Worten aus und schreiben Sie es durch Erweiterung, geben Sie seine Kardinalität an und sagen Sie, ob es endlich ist oder nicht.
Lösung: Die Menge A ist die Menge der reellen Zahlen x, so dass x als Ergebnis 27 gewürfelt wird.
Die Gleichung x ^ 3 = 27 hat drei Lösungen: Sie sind x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) und x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Von den drei Lösungen ist nur x1 real, während die anderen beiden komplexe Zahlen sind.
Da die Definition von Menge A besagt, dass x zu den reellen Zahlen gehört, sind die Lösungen für die komplexen Zahlen nicht Teil der Menge A.
Die Menge A, die ausführlich ausgedrückt wird, ist:
A = {3}, was eine endliche Menge von Kardinalität 1 ist.
Übung 2
Schreiben Sie in symbolischer Form (nach Verständnis) und in umfangreicher Form die Menge B von reellen Zahlen, die größer als 0 (Null) und kleiner oder gleich 0 (Null) sind. Geben Sie die Kardinalität an und ob sie endlich ist oder nicht.
Lösung: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Die Menge B ist leer, weil eine reelle Zahl x nicht gleichzeitig größer und kleiner als Null sein kann, genauso wie sie nicht 0 und auch kleiner als 0 sein kann.
B = {} und seine Kardinalität ist 0. Die leere Menge ist eine endliche Menge.
Übung 3
Die Menge S der Lösungen einer bestimmten Gleichung ist gegeben. Die Menge S nach Verständnis ist wie folgt geschrieben:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Schreiben Sie die Menge in umfangreicher Form, geben Sie ihre Kardinalität an und geben Sie an, ob es sich um eine endliche Menge handelt oder nicht.
Lösung: Erstens wird bei der Analyse des Ausdrucks, der die Menge S beschreibt, erhalten, dass es sich um eine Menge von reellen x-Werten handelt, die Lösungen der Gleichung sind:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Eine Lösung dieser Gleichung ist x = 3, was eine reelle Zahl ist und daher zu S gehört. Es gibt jedoch weitere Lösungen, die durch Suchen nach Lösungen der quadratischen Gleichung erhalten werden können:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Der obige Ausdruck kann wie folgt berücksichtigt werden:
(x - 4) (x - 5) = 0
Was uns zu zwei weiteren Lösungen der ursprünglichen Gleichung (*) führt, die x = 4 und x = 5 sind. Kurz gesagt, Gleichung (*) hat als Lösungen 3, 4 und 5.
Die in umfangreicher Form ausgedrückte Menge S sieht folgendermaßen aus:
S = {3, 4, 5}, das die Kardinalität 3 hat und daher eine endliche Menge ist.
Übung 4
Es gibt zwei Mengen A = {1, 5, 7, 9, 11} und B = {x ∊ N / x ist gerade ^ x <10}.
Schreiben Sie die Menge B explizit und finden Sie die Vereinigung mit der Menge A. Finden Sie auch den Achsenabschnitt dieser beiden Mengen und schließen Sie.
Lösung: Menge B besteht aus natürlichen Zahlen, so dass sie gerade sind und auch kleiner als der Wert 10 sind. In der umfangreichen Menge B wird sie daher wie folgt geschrieben:
B = {2, 4, 6, 8}
Die Vereinigung von Menge A mit Menge B ist:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
und der Achsenabschnitt von Menge A mit Menge B ist wie folgt geschrieben:
A ⋂ B = {} = Ø ist die leere Menge.
Es ist anzumerken, dass die Vereinigung und das Abfangen dieser beiden endlichen Mengen zu neuen Mengen führen, die wiederum auch endlich sind.
Verweise
- Fuentes, A. (2016). GRUNDLEGENDE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Analysis. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathematik: quadratische Gleichungen: Wie man eine quadratische Gleichung löst. Marilù Garo.
- Haeussler, EF & Paul, RS (2003). Mathematik für Management und Wirtschaft. Pearson Ausbildung.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Mathematik 1 SEP. Schwelle.
- Preciado, CT (2005). Mathematikkurs 3 .. Editorial Progreso.
- Mathematics 10 (2018). "Beispiele für endliche Mengen". Wiederhergestellt von: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I ist einfach! So einfach. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra und Trigonometrie. Pearson Ausbildung.
- Wikipedia. Endliche Menge. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com