- Wie bestimme ich die rechteckigen Komponenten eines Vektors?
- Gibt es andere Methoden?
- Übungen
- Erste Übung
- Zweite Übung
- Dritte Übung
- Verweise
Die rechteckigen Komponenten eines Vektors sind die Daten, aus denen dieser Vektor besteht. Um sie zu bestimmen, ist ein Koordinatensystem erforderlich, das im Allgemeinen die kartesische Ebene ist.
Sobald Sie einen Vektor in einem Koordinatensystem haben, können Sie seine Komponenten berechnen. Dies sind 2, eine horizontale Komponente (parallel zur X-Achse), die als "X-Achsen-Komponente" bezeichnet wird, und eine vertikale Komponente (parallel zur Y-Achse), die als "Y-Achsen-Komponente" bezeichnet wird.
Grafische Darstellung der rechteckigen Komponenten eines Vektors
Um die Komponenten zu bestimmen, müssen bestimmte Daten des Vektors bekannt sein, wie z. B. seine Größe und der Winkel, den er mit der X-Achse bildet.
Wie bestimme ich die rechteckigen Komponenten eines Vektors?
Um diese Komponenten zu bestimmen, müssen bestimmte Beziehungen zwischen rechtwinkligen Dreiecken und trigonometrischen Funktionen bekannt sein.
Im folgenden Bild sehen Sie diese Beziehung.
Beziehungen zwischen rechtwinkligen Dreiecken und trigonometrischen Funktionen
Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Quotienten zwischen dem dem Winkel gegenüberliegenden Beinmaß und dem Maß der Hypotenuse.
Andererseits ist der Kosinus eines Winkels gleich dem Quotienten zwischen dem Maß des an den Winkel angrenzenden Beins und dem Maß der Hypotenuse.
Die Tangente eines Winkels ist gleich dem Quotienten zwischen dem Maß des gegenüberliegenden Beins und dem Maß des benachbarten Beins.
In all diesen Beziehungen muss das entsprechende rechtwinklige Dreieck festgelegt werden.
Gibt es andere Methoden?
Ja. Abhängig von den bereitgestellten Daten kann die Art und Weise der Berechnung der rechteckigen Komponenten eines Vektors variieren. Ein weiteres weit verbreitetes Werkzeug ist der Satz von Pythagoras.
Übungen
In den folgenden Übungen werden die Definition der rechteckigen Komponenten eines Vektors und die oben beschriebenen Beziehungen in die Praxis umgesetzt.
Erste Übung
Es ist bekannt, dass ein Vektor A eine Größe von 12 hat und der Winkel, den er mit der X-Achse bildet, ein Maß von 30 ° hat. Bestimmen Sie die rechteckigen Komponenten des Vektors A.
Lösung
Wenn das Bild erkannt und die oben beschriebenen Formeln verwendet werden, kann geschlossen werden, dass die Komponente in der Y-Achse des Vektors A gleich ist
sin (30 °) = Vy / 12 und daher Vy = 12 * (1/2) = 6.
Andererseits haben wir, dass die Komponente auf der X-Achse des Vektors A gleich ist
cos (30 °) = Vx / 12 und daher Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
Zweite Übung
Wenn der Vektor A eine Größe von 5 hat und die Komponente auf der x-Achse gleich 4 ist, bestimmen Sie den Wert der Komponente von A auf der y-Achse.
Lösung
Unter Verwendung des Satzes von Pythagoras haben wir, dass die Größe des Vektors A im Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden rechteckigen Komponenten ist. Das heißt, M² = (Vx )² + (Vy )².
Wenn Sie die angegebenen Werte ersetzen, müssen Sie
5² = (4 )² + (Vy )², daher 25 = 16 + (Vy )².
Dies impliziert, dass (Vy) ² = 9 und folglich Vy = 3 ist.
Dritte Übung
Wenn der Vektor A eine Größe von 4 hat und mit der X-Achse einen Winkel von 45 ° bildet, bestimmen Sie die rechteckigen Komponenten dieses Vektors.
Lösung
Unter Verwendung der Beziehungen zwischen einem rechtwinkligen Dreieck und den trigonometrischen Funktionen kann geschlossen werden, dass die Komponente auf der Y-Achse des Vektors A gleich ist
sin (45 °) = Vy / 4 und daher Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Andererseits haben wir, dass die Komponente auf der X-Achse des Vektors A gleich ist
cos (45 °) = Vx / 4 und daher Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Verweise
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