BERECHNUNG VON NÄHERUNGEN MIT DEM DIFFERENTIAL - MATHE - 2025

Eine Annäherung in der Mathematik ist eine Zahl, die nicht der genaue Wert von etwas ist, aber so nahe daran liegt, dass sie als ebenso nützlich angesehen wird wie dieser genaue Wert.

Wenn in der Mathematik Annäherungen gemacht werden, liegt es daran, dass es manuell schwierig (oder manchmal unmöglich) ist, den genauen Wert dessen zu kennen, was Sie wollen.

Das Hauptwerkzeug beim Arbeiten mit Approximationen ist das Differential einer Funktion.

Das mit Δf (x) bezeichnete Differential einer Funktion f ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion f mal der Änderung der unabhängigen Variablen, dh Δf (x) = f '(x) * Δx.

Manchmal werden df und dx anstelle von Δf und Δx verwendet.

Annäherungen mit dem Differential

Die Formel, die angewendet wird, um eine Annäherung durch das Differential durchzuführen, ergibt sich genau aus der Definition der Ableitung einer Funktion als Grenze.

Diese Formel ist gegeben durch:

f (x) ≤ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Hier versteht es sich, dass Δx = x-x0, also x = x0 + Δx. Mit dieser kann die Formel umgeschrieben werden als

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Es ist zu beachten, dass "x0" kein beliebiger Wert ist, sondern ein Wert, bei dem f (x0) leicht bekannt ist; Außerdem ist "f (x)" nur der Wert, den wir approximieren möchten.

Gibt es bessere Annäherungen?

Die Antwort ist ja. Das Obige ist die einfachste der als "lineare Approximation" bezeichneten Näherungen.

Für Näherungen mit besserer Qualität (der gemachte Fehler ist geringer) werden Polynome mit mehr Ableitungen, die als "Taylor-Polynome" bezeichnet werden, sowie andere numerische Methoden wie die Newton-Raphson-Methode verwendet.

Strategie

Die Strategie ist:

- Wählen Sie eine geeignete Funktion f, um die Approximation und den Wert «x» so durchzuführen, dass f (x) der zu approximierende Wert ist.

- Wählen Sie einen Wert "x0" in der Nähe von "x", damit f (x0) leicht zu berechnen ist.

- Berechnen Sie Δx = x-x0.

- Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y f '(x0).

- Ersetzen Sie die Daten in der Formel.

Gelöste Approximationsübungen

Im weiteren Verlauf gibt es eine Reihe von Übungen, bei denen mithilfe des Differentials Annäherungen vorgenommen werden.

Erste Übung

Ungefähr √3.

Lösung

Nach der Strategie muss eine geeignete Funktion ausgewählt werden. In diesem Fall ist ersichtlich, dass die zu wählende Funktion f (x) = √x sein muss und der zu approximierende Wert f (3) = √3 ist.

Jetzt müssen wir einen Wert "x0" nahe "3" wählen, damit f (x0) leicht zu berechnen ist. Wenn "x0 = 2" gewählt wird, liegt "x0" nahe bei "3", aber f (x0) = f (2) = √2 ist nicht einfach zu berechnen.

Der geeignete Wert von "x0" ist "4", da "4" nahe bei "3" liegt und auch f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Wenn "x = 3" und "x0 = 4", dann ist Δx = 3-4 = -1. Nun berechnen wir die Ableitung von f. Das heißt, f '(x) = 1/2 * √x, also f' (4) = 1/2 √4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Ersetzen Sie alle Werte in der Formel, die Sie erhalten:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, erhalten Sie √3≈1.73205… Dies zeigt, dass das vorherige Ergebnis eine gute Annäherung an den realen Wert ist.

Zweite Übung

Ungefähr √10.

Lösung

Wie zuvor wird f (x) = √xy als Funktion gewählt, in diesem Fall x = 10.

Der Wert von x0, um diese Zeit zu wählen, ist "x0 = 9". Dann haben wir Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 und f '(9) = 1/2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Bei der Bewertung in der Formel wird erhalten, dass

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Mit einem Taschenrechner wird erhalten, dass √10 ≈ 3.1622776… Hier ist auch zu sehen, dass zuvor eine gute Annäherung erhalten wurde.

Dritte Übung

Ungefähr ³√10, wobei ³√ die Kubikwurzel bezeichnet.

Lösung

Die in dieser Übung zu verwendende Funktion ist eindeutig f (x) = ³√x und der Wert von "x" muss "10" sein.

Ein Wert nahe "10", so dass seine Kubikwurzel bekannt ist, ist "x0 = 8". Dann haben wir Δx = 10-8 = 2 und f (x0) = f (8) = 2. Wir haben auch f '(x) = 1/3 * ³√x² und folglich f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Durch Einsetzen der Daten in die Formel wird erhalten, dass:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Der Rechner sagt, dass ³√10 ≈ 2.15443469… Daher ist die gefundene Annäherung gut.

Vierte Übung

Ungefähre ln (1.3), wobei "ln" die natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet.

Lösung

Zuerst wählen wir als Funktion f (x) = ln (x) und der Wert von "x" ist 1,3. Wenn wir nun ein wenig über die Logarithmusfunktion wissen, können wir wissen, dass ln (1) = 0 ist und außerdem "1" nahe bei "1,3" liegt. Daher wird "x0 = 1" gewählt und somit ist Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Andererseits ist f '(x) = 1 / x, so dass f' (1) = 1 ist. Bei der Bewertung in der angegebenen Formel haben wir:

In (1,3) = f (1,3) ≤ 0 + 1 · 0,3 = 0,3.

Mit einem Taschenrechner haben wir ln (1.3) ≈ 0.262364… Die gemachte Näherung ist also gut.

Verweise

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