BINOMIAL KONJUGIEREN: WIE MAN ES LÖST, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Ein konjugiertes Binom eines anderen Binoms ist eines, bei dem sie nur durch ein Vorzeichen der Operation unterschieden werden. Das Binom ist, wie der Name schon sagt, eine algebraische Struktur, die aus zwei Begriffen besteht.

Einige Beispiele für Binome sind: (a + b), (3m - n) und (5x - y). Und ihre jeweiligen konjugierten Binome sind: (a - b), (-3m - n) und (5x + y). Wie sofort ersichtlich ist, liegt der Unterschied im Vorzeichen.

Abbildung 1. Ein Binomial und sein konjugiertes Binomial. Sie haben die gleichen Begriffe, unterscheiden sich jedoch im Vorzeichen. Quelle: F. Zapata.

Ein Binomial multipliziert mit seinem Konjugat ergibt ein bemerkenswertes Produkt, das in der Algebra und in der Wissenschaft weit verbreitet ist. Das Ergebnis der Multiplikation ist die Subtraktion der Quadrate der Terme des ursprünglichen Binomials.

Zum Beispiel ist (x - y) ein Binom und sein Konjugat ist (x + y). Das Produkt der beiden Binome ist also die Differenz der Quadrate der Begriffe:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Wie löst man ein konjugiertes Binom?

Die angegebene Regel für konjugierte Binome lautet wie folgt:

Als Anwendungsbeispiel werden wir zunächst das vorherige Ergebnis demonstrieren, das unter Verwendung der Verteilungseigenschaft des Produkts in Bezug auf die algebraische Summe durchgeführt werden kann.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Die obige Multiplikation wurde durch Befolgen dieser Schritte erhalten:

- Der erste Term des ersten Binomials wird mit dem ersten Term des zweiten multipliziert

- Dann der erste vom ersten, für den zweiten vom zweiten

- Dann die zweite der ersten durch die erste der zweiten

- Schließlich die zweite der ersten durch die zweite der zweiten.

Nehmen wir nun eine kleine Änderung mit der kommutativen Eigenschaft vor: yx = xy. Es sieht aus wie das:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Da es zwei gleiche Begriffe mit entgegengesetztem Vorzeichen gibt (farblich hervorgehoben und unterstrichen), werden sie gelöscht und vereinfacht:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Schließlich wird angewendet, dass das Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst dem Erhöhen auf das Quadrat entspricht, so dass xx = x ² und auch yy = y ² .

Auf diese Weise wird gezeigt, was im vorherigen Abschnitt angegeben wurde, dass das Produkt einer Summe und ihrer Differenz die Differenz der Quadrate ist:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Abbildung 2. Eine Summe multipliziert mit ihrer Differenz ist eine Differenz von Quadraten. Quelle: F. Zapata.

Beispiele

- Konjugierte Binome verschiedener Ausdrücke

Beispiel 1

Finden Sie das Konjugat von (y ² - 3y).

Antwort : (y ² + 3y)

Beispiel 2

Erhalten Sie das Produkt von (y ² - 3y) und seinem Konjugat.

Antwort: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Beispiel 3

Entwickeln Sie das Produkt (1 + 2a) (2a -1).

Antwort: Der vorherige Ausdruck entspricht (2a + 1). (2a -1), dh er entspricht dem Produkt eines Binomials und seines Konjugats.

Es ist bekannt, dass das Produkt eines Binomials durch sein konjugiertes Binomial gleich der Differenz der Quadrate der Terme des Binomials ist:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Beispiel 4

Schreiben Sie das Produkt (x + y + z) (x - y - z) als Differenz der Quadrate.

Antwort: Wir können die obigen Trinome an die konjugierte Binomialform anpassen und dabei Klammern und eckige Klammern sorgfältig verwenden:

(x + y + z) (x - y - z) =

Auf diese Weise kann die Differenz der Quadrate angewendet werden:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Beispiel 5

Drücken Sie das Produkt (m ² - m -1) (M ² + m -1) als Differenz der Quadrate aus.

Antwort : Der vorherige Ausdruck ist das Produkt zweier Trinome. Es muss zuerst als Produkt zweier konjugierter Binome umgeschrieben werden:

(m ² - m - 1) (m ² + m - 1) = (m ² - 1 - m) (m ^{2 -} 1 + m) =.

Wir wenden die Tatsache an, dass das Produkt eines Binomials durch sein Konjugat die quadratische Differenz seiner Terme ist, wie erklärt wurde:

. = (m ² -1) ² - m ²

Übungen

Wie immer beginnen Sie mit den einfachsten Übungen und erhöhen dann die Komplexität.

- Übung 1

Schreiben Sie (9 - bis ² ) als Produkt.

Lösung

Zuerst schreiben wir den Ausdruck als Differenz von Quadraten um, um das anzuwenden, was zuvor erklärt wurde. So:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Als nächstes faktorisieren wir, was dem Schreiben dieser Differenz von Quadraten als Produkt entspricht, wie in der Aussage gefordert:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 - a)

- Übung 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴ .

Lösung

Einen Ausdruck zu faktorisieren bedeutet, ihn als Produkt zu schreiben. In diesem Fall muss der Ausdruck zuvor neu geschrieben werden, um eine Differenz der Quadrate zu erhalten.

Dies ist nicht schwierig, da bei genauerer Betrachtung alle Faktoren perfekte Quadrate sind. Zum Beispiel ist 16 das Quadrat von 4, 9 ist das Quadrat von 3 und ⁴ ist das Quadrat von y ² und x ² ist das Quadrat von x:

16 x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Dann wenden wir an, was wir bereits zuvor wissen: dass ein Unterschied von Quadraten das Produkt konjugierter Binome ist:

(4x) ² - (3 und ² ) ² = (4x - 3 und ² ). (4x + 3 und ² )

- Übung 3

Schreiben Sie (a - b) als Produkt von Binomen

Lösung

Der obige Unterschied sollte als Differenz der Quadrate geschrieben werden

(√a) ² - (√b) ²

Dann wird angewendet, dass die Differenz der Quadrate das Produkt der konjugierten Binome ist

(√a - √b) (√a + √b)

- Übung 4

Eine der Anwendungen des konjugierten Binomials ist die Rationalisierung algebraischer Ausdrücke. Dieses Verfahren besteht darin, die Wurzeln des Nenners eines gebrochenen Ausdrucks zu entfernen, was in vielen Fällen die Operationen erleichtert. Es wird gebeten, das konjugierte Binomial zu verwenden, um den folgenden Ausdruck zu rationalisieren:

√ (2-x) /

Lösung

Das erste ist, das konjugierte Binom des Nenners zu identifizieren:

Nun multiplizieren wir den Zähler und Nenner des ursprünglichen Ausdrucks mit dem konjugierten Binom:

√ (2-x) / {.}

Im Nenner des vorherigen Ausdrucks erkennen wir das Produkt einer Differenz an einer Summe, von der wir bereits wissen, dass sie der Differenz der Quadrate der Binome entspricht:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Die Vereinfachung des Nenners ist:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nun beschäftigen wir uns mit dem Zähler, für den wir die Verteilungseigenschaft des Produkts in Bezug auf die Summe anwenden werden:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Im vorherigen Ausdruck erkennen wir das Produkt des Binomials (2-x) an seinem Konjugat, das das bemerkenswerte Produkt ist, das der Differenz der Quadrate entspricht. Auf diese Weise wird schließlich ein rationalisierter und vereinfachter Ausdruck erhalten:

/ (1 - x)

- Übung 5

Entwickeln Sie das folgende Produkt unter Verwendung der Eigenschaften des konjugierten Binomials:

.

Lösung

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Der aufmerksame Leser wird den gemeinsamen Faktor bemerkt haben, der in Farbe hervorgehoben wurde.

Verweise

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Konjugierte Binomialübungen. Wiederhergestellt von: akademia.edu.
3. Mathematiklehrer Alex. Bemerkenswerte Produkte. Von youtube.com wiederhergestellt.
4. Math2me. Konjugierte Binome / bemerkenswerte Produkte. Von youtube.com wiederhergestellt.
5. Konjugierte Binomialprodukte. Wiederhergestellt von: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugierte Binome. Wiederhergestellt von: youtube.com.