STANDARD- UND ÜBERNÄHERUNG: WAS ES IST UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Unter- und Über-Näherung ist eine numerische Methode, mit der der Wert einer Zahl anhand verschiedener Genauigkeitsskalen ermittelt wird. Beispielsweise liegt die Zahl 235.623 standardmäßig nahe bei 235,6 und 235,7 im Überschuss. Wenn wir die Zehntel als Fehlergrenze betrachten.

Die Annäherung besteht darin, eine genaue Zahl durch eine andere zu ersetzen, wobei die Ersetzung die Operationen eines mathematischen Problems erleichtern und die Struktur und das Wesen des Problems bewahren sollte.

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A ≈B

Es liest; Ungefähre A B . Wobei "A" den genauen Wert und "B" den ungefähren Wert darstellt.

Bedeutende Zahlen

Die Werte, mit denen eine ungefähre Zahl definiert wird, werden als signifikante Zahlen bezeichnet. In der Annäherung an das Beispiel wurden vier signifikante Zahlen genommen. Die Genauigkeit einer Zahl ergibt sich aus der Anzahl der signifikanten Zahlen, die sie definieren.

Die unendlichen Nullen, die sich sowohl rechts als auch links von der Zahl befinden können, werden nicht als signifikante Zahlen betrachtet. Die Position des Kommas spielt bei der Definition der signifikanten Zahlen einer Zahl keine Rolle.

750385

. . . . 00.0075038500. . . .

75.038500000. . . . .

750385000. . . . .

. . . . . 000007503850000. . . . .

Woraus besteht es?

Die Methode ist recht einfach; Wählen Sie die Fehlergrenze, die nichts anderes als der numerische Bereich ist, in dem Sie den Schnitt ausführen möchten. Der Wert dieses Bereichs ist direkt proportional zur Fehlerquote der ungefähren Zahl.

Im obigen Beispiel besitzen 235.623 Tausendstel (623). Dann wurde die Annäherung an die Zehntel vorgenommen. Der Überschusswert (235,7) entspricht dem höchstwertigen Wert in Zehnteln unmittelbar nach der ursprünglichen Zahl.

Andererseits entspricht der Standardwert (235,6) dem nächsten und höchstwertigen Wert in Zehnteln, der vor der ursprünglichen Zahl liegt.

Die numerische Approximation ist in der Praxis mit Zahlen durchaus üblich. Andere weit verbreitete Methoden sind Runden und Abschneiden ; die auf verschiedene Kriterien reagieren, um die Werte zuzuweisen.

Die Fehlerquote

Bei der Definition des numerischen Bereichs, den die Zahl nach der Annäherung abdeckt, definieren wir auch die Fehlergrenze, die der Abbildung beiliegt. Dies wird mit einer vorhandenen oder signifikanten rationalen Zahl im zugewiesenen Bereich gekennzeichnet.

Im ersten Beispiel haben die durch Überschuss (235,7) und Standard (235,6) definierten Werte einen ungefähren Fehler von 0,1. In statistischen Studien und Wahrscheinlichkeitsstudien werden zwei Arten von Fehlern in Bezug auf den numerischen Wert behandelt. absoluter Fehler und relativer Fehler.

Waage

Die Kriterien für die Festlegung von Approximationsbereichen können sehr unterschiedlich sein und hängen eng mit den Spezifikationen des zu approximierenden Elements zusammen. In Ländern mit hoher Inflation ignorieren die überschüssigen Näherungswerte einige Zahlenbereiche, da diese unter der Inflationsskala liegen.

Auf diese Weise wird ein Verkäufer bei einer Inflation von mehr als 100% ein Produkt nicht von 50 USD auf 55 USD anpassen, sondern es auf 100 USD annähern, wodurch die Einheiten und Zehner ignoriert werden, indem er sich direkt den Hundert nähert.

Den Taschenrechner benutzen

Herkömmliche Taschenrechner bringen den FIX-Modus mit, in dem der Benutzer die Anzahl der Dezimalstellen konfigurieren kann, die er in seinen Ergebnissen erhalten möchte. Dies führt zu Fehlern, die bei genauen Berechnungen berücksichtigt werden müssen.

Annäherung an irrationale Zahlen

Einige Werte, die in numerischen Operationen häufig verwendet werden, gehören zu der Menge irrationaler Zahlen, deren Hauptmerkmal darin besteht, eine unbestimmte Anzahl von Dezimalstellen zu haben.

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Werte wie:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828 …
• √2 = 1,414213562…

Sie sind in Experimenten üblich und ihre Werte müssen in einem bestimmten Bereich definiert werden, wobei die möglichen Fehler berücksichtigt werden.

Wofür sind sie?

Im Fall der Division (1 ÷ 3) wird durch Experimente festgestellt, dass die Anzahl der Operationen, die zur Definition der Anzahl ausgeführt werden, verringert werden muss.

1 ÷ 3 = 0,333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Es wird eine Operation vorgestellt, die auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden kann, sodass eine Annäherung an einen bestimmten Punkt erforderlich ist.

Im Falle von:

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Für jeden als Fehlergrenze festgelegten Punkt wird eine Zahl erhalten, die kleiner als der genaue Wert von (1 ÷ 3) ist. Auf diese Weise sind alle zuvor vorgenommenen Näherungen Standardnäherungen von (1 ÷ 3).

Beispiele

Beispiel 1

1. Welche der folgenden Zahlen ist eine Standardannäherung von 0,0127?

• 0,13
• 0,012; Dies ist eine Standardannäherung von 0,0127
• 0,01; Dies ist eine Standardannäherung von 0,0127
• 0,0128

Beispiel 2

1. Welche der folgenden Zahlen ist eine überschüssige Annäherung von 23.435

• 24; ist eine Annäherung von mehr als 23.435
• 23.4
• 23,44; ist eine Annäherung von mehr als 23.435
• 23,5; ist eine Annäherung von mehr als 23.435

Beispiel 3

1. Definieren Sie die folgenden Zahlen mit einer Standardnäherung , wobei der angegebene Fehler gebunden ist.

• 547.2648…. Für Tausendstel, Hundertstel und Zehner.

Tausendstel: Die Tausendstel entsprechen den ersten drei Ziffern nach dem Komma, wobei nach 999 die Einheit kommt. Wir fahren mit ungefähr 547.264 fort.

Hundertstel: Mit den ersten zwei Ziffern nach dem Komma angegeben, müssen sich die Hundertstel treffen, 99, um die Einheit zu erreichen. Auf diese Weise nähert es sich standardmäßig 547,26.

Zehner: In diesem Fall ist die Fehlergrenze viel höher, da der Bereich der Approximation innerhalb der ganzen Zahlen definiert ist. Wenn Sie sich standardmäßig den Zehn annähern, erhalten Sie 540.

Beispiel 4

1. Definieren Sie die folgenden Zahlen mit einer überschüssigen Näherung , wobei der angegebene Fehler gebunden ist.

• 1204,27317 Für Zehntel, Hunderte und Einsen.

Zehntel: Bezieht sich auf die erste Ziffer nach dem Komma, wobei die Einheit nach 0,9 zusammengesetzt ist. Annäherung an die Zehntel im Überschuss ergibt 1204,3 .

Hunderte: Wiederum wird eine Fehlergrenze beobachtet, deren Bereich innerhalb der ganzen Zahlen der Figur liegt. Die Annäherung der Hunderte durch Überschuss ergibt 1300 . Diese Zahl unterscheidet sich erheblich von 1204.27317. Aus diesem Grund werden Approximationen normalerweise nicht auf ganzzahlige Werte angewendet.

Einheiten: Durch übermäßige Annäherung an die Einheit wird 1205 erhalten .

Beispiel 5

1. Eine Näherin schneidet ein 135,3 cm langes Stück Stoff, um eine 7855 cm ^{2 große} Flagge herzustellen . Wie viel die andere Seite misst, wenn Sie ein herkömmliches Lineal verwenden, das bis zu Millimeter markiert.

Annähern Sie die Ergebnisse durch Überschuss und Defekt .

Der Bereich der Flagge ist rechteckig und wird definiert durch:

A = Seite x Seite

Seite = A / Seite

Seite = 7855 cm ² / 135,3 cm

Seite = 58.05617147 cm

Aufgrund der Wertschätzung der Regel können wir Daten bis zu Millimetern erhalten, was dem Dezimalbereich in Bezug auf den Zentimeter entspricht.

Somit ist 58 cm eine Standardnäherung.

Während 58,1 eine überschüssige Annäherung ist.

Beispiel 6

1. Definieren Sie 9 Werte, die in jeder der Näherungen exakte Zahlen sein können:

• 34.071 ergibt sich standardmäßig aus ungefähren Tausendstel

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 ergibt sich standardmäßig aus ungefähren Tausendstel

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 ergibt sich aus der Annäherung von Zehnteln durch Überschuss

23.801 23.85555 23.81

23,89 23,8324 23,82

23.833 23,84 23.80004

• 58,37 ist das Ergebnis einer Annäherung von Hundertstel durch Überschuss

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58.3623 58.361 58.3634

Beispiel 7

1. Annähern Sie jede irrationale Zahl gemäß der angegebenen Fehlergrenze:

• π = 3,141592654….

Tausendstel standardmäßig π = 3,141

Tausendstel durch Überschuss π = 3,142

Standardmäßig Hundertstel π = 3,14

Hundertstel mehr als π = 3,15

Standardmäßig Zehntel π = 3,1

Zehntel durch Überschuss π = 3,2

• e = 2,718281828 …

Tausendstel standardmäßig e = 2,718

Tausendstel durch Überschuss e = 2,719

Standardmäßig Hundertstel e = 2,71

Hundertstel mehr als e = 2,72

Standardmäßig Zehntel e = 2,7

Zehntel durch Überschuss e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Tausendstel standardmäßig √2 = 1,414

Tausendstel von überschüssigem √2 = 1,415

Standardmäßig Hundertstel √2 = 1,41

Hundertstel mehr √2 = 1,42

Standardmäßig Zehntel √2 = 1,4

Zehntel durch Überschuss √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. . . . .

Tausendstel standardmäßig 1 ÷ 3 = 0,332

Tausendstel über 1 ÷ 3 = 0,334

Standardmäßig Hundertstel 1 ÷ 3 = 0,33

Hundertstel mehr als 1 ÷ 3 = 0,34

Zehntel standardmäßig 1 ÷ 3 = 0,3

Zehntel mehr als 1 ÷ 3 = 0,4

Verweise

1. Probleme in der mathematischen Analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universität Wroclaw. Polen.
2. Einführung in die Logik und in die Methodik der deduktiven Wissenschaften. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
3. The Arithmetic Teacher, Band 29. Nationaler Rat der Lehrer für Mathematik, 1981. University of Michigan.
4. Zahlentheorie lernen und lehren: Kognitions- und Unterrichtsforschung / herausgegeben von Stephen R. Campbell und Rina Zazkis. Ablex Publishing 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.