FLUGBAHN IN DER PHYSIK: EIGENSCHAFTEN, TYPEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Flugbahn in der Physik ist die Kurve, die ein Mobiltelefon beschreibt, wenn es während seiner Bewegung durch aufeinanderfolgende Punkte fährt. Da es viele Varianten geben kann, werden auch die Trajektorien, denen das Handy folgen kann.

Um von einem Ort zum anderen zu gelangen, kann eine Person verschiedene Wege und Wege gehen: zu Fuß durch die Bürgersteige in Straßen und Alleen oder mit dem Auto oder Motorrad auf einer Autobahn. Während eines Spaziergangs durch den Wald kann der Wanderer einem komplizierten Pfad folgen, der Kurven umfasst, in der Ebene auf- oder absteigt und sogar mehrmals denselben Punkt passiert.

Abbildung 1. Durch Vereinigen der Endpunkte jedes Positionsvektors wird der Pfad erhalten, dem das Partikel folgt. Quelle: Algarabia

Wenn die Punkte, durch die das Mobiltelefon fährt, einer geraden Linie folgen, ist die Flugbahn geradlinig. Dies ist der einfachste Weg, da er eindimensional ist. Die Angabe der Position erfordert eine einzelne Koordinate.

Das Mobiltelefon kann jedoch einem krummlinigen Pfad folgen und geschlossen oder geöffnet werden. In diesen Fällen erfordert die Verfolgung der Position zwei oder drei Koordinaten. Dies sind Bewegungen in der Ebene bzw. im Raum. Dies hat mit Verbindungen zu tun: Begrenzung der materiellen Bewegungsbedingungen. Einige Beispiele sind:

- Die Umlaufbahnen, die die Planeten um die Sonne beschreiben, sind geschlossene Pfade in Form einer Ellipse. Obwohl sie in einigen Fällen einem Kreis angenähert werden können, wie im Fall der Erde.

- Der Ball, den der Torhüter bei einem Abstoß tritt, folgt einer parabolischen Flugbahn.

- Ein Vogel im Flug beschreibt krummlinige Flugbahnen im Weltraum, da er sich nicht nur in einem Flugzeug bewegen kann, sondern auch nach Belieben in der Ebene nach oben oder unten gehen kann.

Die Flugbahn in der Physik kann mathematisch ausgedrückt werden, wenn die Position des Mobiltelefons zu jedem Zeitpunkt bekannt ist. Sei r der Positionsvektor, der im allgemeinsten Fall einer dreidimensionalen Bewegung wiederum x-, y- und z-Koordinaten hat. Wenn Sie die Funktion r (t) kennen, wird die Flugbahn vollständig bestimmt.

Typen

Im Allgemeinen kann die Trajektorie eine ziemlich komplizierte Kurve sein, insbesondere wenn Sie sie mathematisch ausdrücken möchten. Aus diesem Grund beginnt es mit den einfachsten Modellen, bei denen die Handys auf einer geraden Linie oder in einer Ebene fahren, die der Boden oder ein anderes geeignetes sein kann:

Bewegungen in einer, zwei und drei Dimensionen

Die am besten untersuchten Flugbahnen sind:

- Geradlinig , wenn Sie auf einer geraden horizontalen, vertikalen oder geneigten Linie fahren. Ein Ball, der vertikal nach oben geworfen wird, folgt diesem Pfad, oder ein Objekt, das eine Steigung hinuntergleitet, folgt. Es sind eindimensionale Bewegungen, wobei eine einzelne Koordinate ausreicht, um ihre Position vollständig zu bestimmen.

- Parabolisch , bei dem das Handy einen Parabelbogen beschreibt. Es ist häufig, da jedes Objekt, das unter der Einwirkung der Schwerkraft schräg geworfen wird (ein Projektil), dieser Flugbahn folgt. Um die Position des Mobiltelefons festzulegen, müssen Sie zwei Koordinaten angeben: x und y.

- Kreisförmig , tritt auf, wenn das sich bewegende Teilchen einem Kreis folgt. Es ist auch in der Natur und in der täglichen Praxis üblich. Viele Alltagsgegenstände folgen einer Kreisbahn wie Reifen, Maschinenteile und umlaufende Satelliten, um nur einige Beispiele zu nennen.

- Elliptisch bewegt sich das Objekt entlang einer Ellipse. Wie eingangs gesagt, ist dies der Weg, dem die Planeten im Orbit um die Sonne folgen.

- Hyperbolische , astronomische Objekte, die unter der Wirkung einer zentralen Kraft (Schwerkraft) stehen, können elliptischen (geschlossenen) oder hyperbolischen (offenen) Trajektorien folgen, die weniger häufig sind als die ersteren.

- Helix- oder Spiralbewegung wie die eines Vogels, der in einem thermischen Strom aufsteigt.

- Pendeln oder Pendel , das Handy beschreibt einen Bogen in Hin- und Herbewegungen.

Beispiele

Die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Trajektorien sind sehr nützlich, um schnell eine Vorstellung davon zu bekommen, wie sich ein Objekt bewegt. In jedem Fall muss klargestellt werden, dass die Flugbahn eines Mobiltelefons vom Standort des Beobachters abhängt. Dies bedeutet, dass dasselbe Ereignis auf unterschiedliche Weise gesehen werden kann, je nachdem, wo sich jede Person befindet.

Zum Beispiel tritt ein Mädchen mit konstanter Geschwindigkeit in die Pedale und wirft einen Ball nach oben. Sie beobachtet, dass der Ball einen geradlinigen Weg beschreibt.

Für einen Beobachter, der auf der Straße steht und sieht, wie sie vorbeigeht, hat der Ball jedoch eine parabolische Bewegung. Für ihn wurde der Ball zunächst mit einer geneigten Geschwindigkeit geworfen, was sich aus der Geschwindigkeit der Hand des Mädchens nach oben und der Geschwindigkeit des Fahrrads ergibt.

Abbildung 2. Diese Animation zeigt den vertikalen Wurf eines Balls, den ein Mädchen mit dem Fahrrad macht, wie es ihn sieht (geradlinige Flugbahn) und wie ein Beobachter ihn sieht (parabolische Flugbahn). (Vorbereitet von F. Zapata).

Pfad eines Mobiltelefons auf explizite, implizite und parametrische Weise

- Explizit , direkte Angabe der Kurve oder des Ortes durch die Gleichung y (x)

- Implizit , wobei eine Kurve ausgedrückt wird als f (x, y, z) = 0

- Parametrisch , auf diese Weise werden die Koordinaten x, y und z als Funktion eines Parameters angegeben, der im Allgemeinen als Zeit t gewählt wird. In diesem Fall besteht die Trajektorie aus den Funktionen: x (t), y (t) und z (t).

Als nächstes werden zwei Trajektorien detailliert beschrieben, die in der Kinematik umfassend untersucht wurden: die parabolische Trajektorie und die kreisförmige Trajektorie.

Gekippter Start ins Leere

Ein Objekt (das Projektil) wird in einem Winkel a zur Horizontalen und mit der Anfangsgeschwindigkeit v _o geworfen, wie in der Abbildung gezeigt. Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt. Die Bewegung kann als zwei unabhängige und gleichzeitige Bewegungen behandelt werden: eine horizontale mit konstanter Geschwindigkeit und die andere vertikal unter Einwirkung der Schwerkraft.

Diese Gleichungen sind die parametrischen Gleichungen des Projektilstarts. Wie oben erläutert, haben sie einen gemeinsamen Parameter t, nämlich die Zeit.

Im rechten Dreieck der Abbildung ist Folgendes zu sehen:

Abbildung 3. Parabolische Flugbahn, gefolgt von einem Projektil, in dem die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors dargestellt sind. H ist die maximale Höhe und R ist die maximale horizontale Reichweite. Quelle: Ayush12gupta

Das Einsetzen dieser Gleichungen, die den Startwinkel enthalten, in die parametrischen Gleichungen ergibt:

Gleichung des parabolischen Weges

Die explizite Gleichung des Pfades wird gefunden, indem t aus der Gleichung für x (t) gelöst und y (t) durch die Gleichung ersetzt wird. Um die algebraische Arbeit zu erleichtern, kann davon ausgegangen werden, dass sich der Ursprung (0,0) am Startpunkt befindet und somit x _o = y _o = 0.

Dies ist die Gleichung des Pfades in expliziter Form.

Kreisförmiger Pfad

Eine Kreisbahn ist gegeben durch:

Abbildung 4. Ein Partikel bewegt sich auf einer Kreisbahn in der Ebene. Quelle: modifiziert von F. Zapata aus Wikimedia Commons.

Hier stellen x _oder yy _o den vom Mobiltelefon beschriebenen Mittelpunkt des Umfangs dar und R ist sein Radius. P (x, y) ist ein Punkt auf dem Pfad. Aus dem schattierten rechtwinkligen Dreieck (Abbildung 3) ist ersichtlich, dass:

Der Parameter ist in diesem Fall der Wobbelwinkel θ, der als Winkelverschiebung bezeichnet wird. In dem speziellen Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit & ohgr; (Winkel, der pro Zeiteinheit gewobbelt wird) konstant ist, kann festgestellt werden, dass:

Wobei θ _o die anfängliche Winkelposition des Partikels ist, die sich, wenn sie als 0 genommen wird, auf Folgendes reduziert:

In diesem Fall kehrt die Zeit zu den parametrischen Gleichungen zurück:

Die Einheitsvektoren i und j sind sehr praktisch zum Schreiben der Positionsfunktion eines Objekts r (t). Sie geben die Richtungen auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse an. In seinen Begriffen ist die Position eines Teilchens, das eine gleichmäßige Kreisbewegung beschreibt ,:

r (t) = ω R.cos t i + R. sin ω t j

Gelöste Übungen

Gelöste Übung 1

Eine Kanone kann eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 200 m / s und einem Winkel von 40 ° zur Horizontalen abfeuern. Wenn der Wurf auf ebenem Boden liegt und der Luftwiderstand vernachlässigt wird, finden Sie:

a) Die Gleichung des Pfades y (x) ..

b) Die parametrischen Gleichungen x (t) und y (t).

c) Die horizontale Reichweite und die Zeit, die das Projektil in der Luft hält.

d) Die Höhe, in der sich das Projektil befindet, wenn x = 12.000 m

Lösung für)

a) Um die Flugbahn zu finden, werden die in der Gleichung y (x) des vorherigen Abschnitts angegebenen Werte ersetzt:

Lösung b)

b) Der Startpunkt wird am Ursprung des Koordinatensystems (0,0) gewählt:

Lösung c)

c) Um die Zeit zu ermitteln, die das Projektil in der Luft hält, sei y (t) = 0, wobei der Start auf ebenem Boden erfolgt:

Die maximale horizontale Reichweite wird durch Einsetzen dieses Wertes in x (t) ermittelt:

Eine andere Möglichkeit, x _max direkt zu finden, besteht darin, y = 0 in der Pfadgleichung zu setzen:

Aufgrund der Rundung der Dezimalstellen gibt es einen kleinen Unterschied.

Lösung d)

d) Um die Höhe bei x = 12000 m zu ermitteln, wird dieser Wert direkt in die Pfadgleichung eingesetzt:

Übung gelöst 2

Die Positionsfunktion eines Objekts ist gegeben durch:

r (t) = 3t i + (4 - 5 t ² ) j m

Finden:

a) Die Gleichung für den Pfad. Welche Kurve ist das?

b) Die Ausgangsposition und die Position bei t = 2 s.

c) Die Verschiebung nach t = 2 s.

Lösung

a) Die Positionsfunktion wurde in Form der Einheitsvektoren i und j angegeben , die jeweils die Richtung in der x- und y-Achse bestimmen, daher:

Die Gleichung des Pfades y (x) wird gefunden, indem t aus x (t) gelöst und in y (t) eingesetzt wird:

b) Die Ausgangsposition ist: r (2) = 4 j m; die Position bei t = 2 s ist r (2) = 6 i -16 j m

c) Die Verschiebung D r ist die Subtraktion der beiden Positionsvektoren:

Übung gelöst 3

Die Erde hat einen Radius R = 6300 km und es ist bekannt, dass die Rotationsperiode ihrer Bewegung um ihre Achse einen Tag beträgt. Finden:

a) Die Gleichung der Flugbahn eines Punktes auf der Erdoberfläche und seiner Positionsfunktion.

b) Die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes.

Lösung für)

a) Die Positionsfunktion für jeden Punkt in der Kreisbahn lautet:

r (t) = ω R.cos t i + R. sin ω t j

Wir haben den Radius der Erde R, aber nicht die Winkelgeschwindigkeit ω, sie kann jedoch aus der Periode berechnet werden, da wir wissen, dass für Kreisbewegungen Folgendes gültig ist:

Die Bewegungsdauer beträgt: 1 Tag = 24 Stunden = 1440 Minuten = 86 400 Sekunden, daher:

Einsetzen in die Positionsfunktion:

r (t) = ω R.cos t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

Der Pfad in parametrischer Form lautet:

Lösung b)

b) Bei Kreisbewegungen wird die Größe der Lineargeschwindigkeit v eines Punktes mit der Winkelgeschwindigkeit w in Beziehung gesetzt durch:

Selbst wenn es sich um eine Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit von 145,8 m / s handelt, gibt es eine Beschleunigung, die in Richtung der Mitte der Kreisbahn zeigt, um den Punkt in Rotation zu halten. Es ist die zentripetale Beschleunigung bei _c , gegeben durch:

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