BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT: FORMEL UND GLEICHUNGEN, EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE - DUDAS - 2025

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Möglichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses, vorausgesetzt, ein anderes tritt als Bedingung auf. Diese zusätzlichen Informationen können die Wahrnehmung, dass etwas passieren wird, verändern (oder auch nicht).

Zum Beispiel können wir uns fragen: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnen wird, da es seit zwei Tagen nicht mehr geregnet hat?" Das Ereignis, für das wir die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, ist, dass es heute regnet, und die zusätzlichen Informationen, die die Antwort bedingen würden, sind: "Es hat zwei Tage lang nicht geregnet."

Abbildung 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnen wird, da es gestern geregnet hat, ist auch ein Beispiel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Quelle: Pixabay.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum bestehe aus Ω (Probenraum), ℬ (den zufälligen Ereignissen) und P (der Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses) sowie den Ereignissen A und B, die zu ℬ gehören.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, vorausgesetzt, dass B aufgetreten ist, was als P (A│B) bezeichnet wird, ist wie folgt definiert:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A und B) / P (B)

Wobei: P (A) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A ist, P (B) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ist und sich von 0 unterscheidet, und P (A∩B) die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zwischen A und B ist, d. H. die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten (gemeinsame Wahrscheinlichkeit).

Dies ist ein Ausdruck für den Satz von Bayes, der auf zwei Ereignisse angewendet wurde und 1763 vom englischen Theologen und Mathematiker Thomas Bayes vorgeschlagen wurde.

Eigenschaften

-Alle bedingten Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, ist offensichtlich 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Wenn zwei Ereignisse exklusiv sind, dh Ereignisse, die nicht gleichzeitig auftreten können, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen eintritt, 0, da der Schnittpunkt Null ist:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Wenn B eine Teilmenge von A ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Wichtig

P (A│B) ist im Allgemeinen nicht gleich P (B│A), daher müssen wir darauf achten, die Ereignisse beim Ermitteln der bedingten Wahrscheinlichkeit nicht auszutauschen.

Allgemeine Multiplikationsregel

Oft möchten Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P (A∩B) anstelle der bedingten Wahrscheinlichkeit ermitteln. Dann haben wir durch den folgenden Satz:

P (A∩B) = P (A und B) = P (A│B). P (B)

Der Satz kann für drei Ereignisse A, B und C erweitert werden:

P (A∩B∩C) = P (A und B und C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Und auch für verschiedene Ereignisse wie A ₁ , A ₂ , A ₃ und mehr kann es wie folgt ausgedrückt werden:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │ A ₁ ). P (A ₃ | A ₁ ∩ A ₂ ) , … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

Wenn es sich um Ereignisse handelt, die nacheinander und in verschiedenen Phasen auftreten, ist es zweckmäßig, die Daten in einem Diagramm oder einer Tabelle zu organisieren. Dies erleichtert die Visualisierung der Möglichkeiten zum Erreichen der angeforderten Wahrscheinlichkeit.

Beispiele sind das Baumdiagramm und die Kontingenztabelle. Von einem von ihnen können Sie den anderen bauen.

Beispiele für bedingte Wahrscheinlichkeit

Schauen wir uns einige Situationen an, in denen sich die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses durch das Auftreten eines anderen ändern:

- Beispiel 1

In einem Süßwarenladen werden zwei Arten von Kuchen verkauft: Erdbeere und Schokolade. Durch die Registrierung der Präferenzen von 50 Klienten beiderlei Geschlechts wurden die folgenden Werte ermittelt:

-27 Frauen, von denen 11 Erdbeerkuchen und 16 Schokolade bevorzugen.

-23 Männer: 15 wählen Schokolade und 8 Erdbeere.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Schokoladenkuchen wählt, kann durch Anwendung der Laplace-Regel bestimmt werden, nach der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist:

P = Anzahl der günstigen Ereignisse / Gesamtzahl der Ereignisse

In diesem Fall bevorzugen von 50 Kunden insgesamt 31 Schokolade, sodass die Wahrscheinlichkeit P = 31/50 = 0,62 wäre. Das heißt, 62% der Kunden bevorzugen Schokoladenkuchen.

Aber wäre es anders, wenn der Kunde eine Frau wäre? Dies ist ein Fall von bedingter Wahrscheinlichkeit.

Kontingenztabelle

Mit einer solchen Kontingenztabelle können die Gesamtsummen einfach angezeigt werden:

Dann werden die günstigen Fälle beobachtet und die Laplace-Regel angewendet, aber zuerst definieren wir die Ereignisse:

-B ist die Veranstaltung "Kundin".

-A ist das "lieber Schokoladenkuchen" -Event als Frau.

Wir gehen zur Spalte "Frauen" und dort sehen wir, dass die Summe 27 ist.

Dann wird der günstige Fall in der "Schokoladen" -Reihe gesucht. Es gibt 16 dieser Ereignisse, daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% der Kundinnen bevorzugen Schokoladenkuchen.

Dieser Wert stimmt überein, wenn wir ihn der ursprünglich gegebenen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gegenüberstellen:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Wir stellen sicher, dass wir die Laplace-Regel und die Tabellenwerte verwenden:

P (B) = 27/50

P (A und B) = 16/50

Wobei P (A und B) die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Kunde Schokolade bevorzugt und eine Frau ist. Jetzt werden die Werte ersetzt:

P (A = B) = P (A und B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Und es ist erwiesen, dass das Ergebnis das gleiche ist.

- Beispiel 2

In diesem Beispiel gilt die Multiplikationsregel. Angenommen, in einem Geschäft werden Hosen in drei Größen ausgestellt: klein, mittel und groß.

Bei einer Menge von insgesamt 24 Hosen, von denen es 8 jeder Größe gibt und alle gemischt sind, wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, zwei davon zu extrahieren und beide wären klein?

Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch eine kleine Hose auszuziehen, 8/24 = 1/3 beträgt. Jetzt ist die zweite Extraktion vom ersten Ereignis abhängig, da beim Entfernen einer Hose nicht mehr 24, sondern 23 vorhanden sind. Wenn eine kleine Hose entfernt wird, gibt es 7 statt 8.

Ereignis A zieht eine kleine Hose, nachdem beim ersten Versuch eine andere gezogen wurde. Und Event B ist das erste Mal mit der kleinen Hose. So:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Schließlich mit der Multiplikationsregel:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Übung gelöst

In einer Studie zur Pünktlichkeit auf kommerziellen Flügen stehen folgende Daten zur Verfügung:

-P (B) = 0,83 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flugzeug pünktlich abhebt.

-P (A) = 0,81 ist die Wahrscheinlichkeit einer pünktlichen Landung.

-P (B∩A) = 0,78 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Flug pünktlich ankommt und pünktlich startet.

Es wird gebeten zu berechnen:

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug pünktlich landet, wenn es pünktlich startet?

b) Entspricht die oben genannte Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit, dass Sie pünktlich abgereist sind, wenn Sie pünktlich gelandet sind?

c) Und schließlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es pünktlich ankommt, da es nicht pünktlich abreist?

Abbildung 2. Pünktlichkeit auf kommerziellen Flügen ist wichtig, da Verspätungen Verluste in Millionenhöhe verursachen. Quelle: Pixabay.

Lösung für

Zur Beantwortung der Frage wird die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit verwendet:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A und B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Lösung b

In diesem Fall werden die Ereignisse in der Definition ausgetauscht:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A und B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Beachten Sie, dass sich diese Wahrscheinlichkeit geringfügig von der vorherigen unterscheidet, wie bereits erwähnt.

Lösung c

Die Wahrscheinlichkeit, nicht pünktlich abzureisen, beträgt 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, wir werden es P (B ^C ) nennen, da es das komplementäre Ereignis ist, pünktlich zu starten. Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A und B ^C ) / P (B ^C )

Andererseits:

P (A∩B ^C ) = P (Landung pünktlich) - P (Landung pünktlich und Start pünktlich) = 0,81-0,78 = 0,03

In diesem Fall ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Verweise

1. Canavos, G. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8 .. Auflage. Engagieren.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Wahrscheinlichkeitstheorie. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften. Pearson.
6. Wikipedia. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.