BIJEKTIVE FUNKTION: WAS IST DAS, WIE WIRD ES GEMACHT, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Eine bijektive Funktion erfüllt die doppelte Bedingung, injektiv und surjektiv zu sein . Das heißt, alle Elemente der Domäne haben ein einzelnes Bild in der Codomäne, und die Codomäne ist wiederum gleich dem Rang der Funktion ( R _f ).

Dies wird erreicht, indem eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Elementen der Domäne und der Codomäne betrachtet wird. Ein einfaches Beispiel ist die durch die Linie F (x) = x definierte Funktion F: R → R.

Quelle: Autor

Es wird beobachtet, dass für jeden Wert der Domäne oder des Startsatzes (beide Begriffe gelten gleichermaßen) ein einzelnes Bild in der Codomäne oder dem Ankunftssatz vorhanden ist. Außerdem gibt es kein anderes Element der Codomäne als das Bild.

Auf diese Weise ist F: R → R, definiert durch die Linie F (x) = x, bijektiv

Wie macht man eine bijektive Funktion?

Um dies zu beantworten, müssen die Konzepte in Bezug auf Injektivität und Überjektivität einer Funktion sowie die Kriterien für die Konditionierung von Funktionen klar sein, um sie an die Anforderungen anzupassen.

Injektivität einer Funktion

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes der Elemente ihrer Domäne mit einem einzelnen Element der Codomäne verknüpft ist. Ein Element der Codomäne kann nur das Bild eines einzelnen Elements der Domäne sein. Auf diese Weise können die Werte der abhängigen Variablen nicht wiederholt werden.

Um eine injektive Funktion in Betracht zu ziehen , muss Folgendes erfüllt sein:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Surjektivität einer Funktion

Eine Funktion wird als surjektiv klassifiziert, wenn jedes Element ihrer Codomäne ein Bild von mindestens einem Element der Domäne ist.

Zu prüfen , eine Funktion surjektiv , muss Folgendes erfüllt sein:

Sei F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Dies ist die algebraische Methode, um festzustellen, dass es für jedes zu C _f gehörende „b“ ein zu D _f gehörendes „a“ gibt, sodass die in „a“ bewertete Funktion gleich „b“ ist.

Funktionskonditionierung

Manchmal kann eine Funktion, die nicht bijektiv ist, bestimmten Bedingungen ausgesetzt sein. Diese neuen Bedingungen können es zu einer bijektiven Funktion machen. Alle Arten von Modifikationen an der Domäne und Codomäne der Funktion sind gültig, wobei das Ziel darin besteht, die Eigenschaften der Injektivität und Surjektivität in der entsprechenden Beziehung zu erfüllen.

Beispiele: gelöste Übungen

Übung 1

Die Funktion F: R → R sei durch die Linie F (x) = 5x +1 definiert

EIN:

Es wird beobachtet, dass für jeden Wert der Domäne ein Bild in der Codomäne vorhanden ist. Dieses Bild ist einzigartig, was F zu einer injizierenden Funktion macht . In gleicher Weise beobachten wir, dass die Codomäne der Funktion gleich ihrem Rang ist. Damit ist die Bedingung der Surjektivität erfüllt .

Wenn wir gleichzeitig injektiv und surjektiv sind, können wir daraus schließen

F: R → R, definiert durch die Linie F (x) = 5x + 1, ist eine bijektive Funktion.

Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren höchster Grad der Variablen eins ist).

Übung 2

Die Funktion F: R → R sei definiert durch F (x) = 3x ² - 2

Beim Zeichnen einer horizontalen Linie wird beobachtet, dass der Graph mehr als einmal gefunden wird. Aus diesem Grund ist die Funktion F nicht injektiv und daher nicht bijektiv , solange sie in R → R definiert ist

Ebenso gibt es Codomänenwerte, die keine Bilder eines Elements der Domäne sind. Aus diesem Grund ist die Funktion nicht surjektiv, was es auch verdient, den Ankunftssatz zu konditionieren.

Wir fahren fort, die Domäne und Codomäne der Funktion zu konditionieren

F: →

Wo beobachtet wird, dass die neue Domäne die Werte von Null bis positiv unendlich abdeckt. Vermeiden Sie die Wiederholung von Werten, die die Injektivität beeinflussen.

Ebenso wurde die Codomäne modifiziert, wobei von "-2" bis positiv unendlich gezählt wurde, wobei die Werte, die keinem Element der Domäne entsprachen, aus der Codomäne entfernt wurden

Auf diese Weise kann sichergestellt werden, dass F : → definiert durch F (x) = 3x ² - 2

Es ist bijektiv

Übung 3

Die Funktion F: R → R sei definiert durch F (x) = Sen (x)

In dem Intervall variiert die Sinusfunktion ihre Ergebnisse zwischen Null und Eins.

Quelle: Autor.

Die Funktion F entspricht nicht den Kriterien der Injektivität und Surjektivität, da die Werte der abhängigen Variablen in jedem Intervall von π wiederholt werden. Darüber hinaus sind die Terme der Codomäne außerhalb des Intervalls kein Bild eines Elements der Domäne.

Bei der Untersuchung des Graphen der Funktion F (x) = Sen (x) werden Intervalle beobachtet, in denen das Verhalten der Kurve die Bijektivitätskriterien erfüllt . Wie zum Beispiel das Intervall D _f = für die Domäne. Und C _f = für die Codomäne.

Wenn die Funktion variiert, ergibt sich ein Ergebnis von 1 bis -1, ohne dass ein Wert in der abhängigen Variablen wiederholt wird. Gleichzeitig ist die Codomäne gleich den Werten, die der Ausdruck Sen (x) annimmt.

Somit ist die Funktion F: → definiert durch F (x) = Sen (x). Es ist bijektiv

Übung 4

Geben Sie die notwendigen Bedingungen für D _f und C _{f an} . Also der Ausdruck

F (x) = -x ² sei bijektiv.

Quelle: Autor

Die Wiederholung der Ergebnisse wird beobachtet, wenn die Variable entgegengesetzte Werte annimmt:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Die Domain ist konditioniert und beschränkt sich auf die rechte Seite der realen Linie.

D _f =

In gleicher Weise wird beobachtet, dass der Bereich dieser Funktion das Intervall ist, das, wenn es als Codomäne wirkt, die Bedingungen der Surjektivität erfüllt.

Auf diese Weise können wir daraus schließen

Der Ausdruck F: → definiert durch F (x) = -x ² Es ist bijektiv

Vorgeschlagene Übungen

Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen bijektiv sind:

F: → R definiert durch F (x) = 5ctg (x)

F: → R definiert durch F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R definiert durch die Linie F (x) = -5x + 4

Verweise

1. Einführung in Logik und kritisches Denken. Merrilee H. Salmon. Universität von Pittsburgh
2. Probleme in der mathematischen Analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universität Wroclaw. Polen.
3. Elemente der abstrakten Analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Abteilung für Mathematik. Universität Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Einführung in die Logik und in die Methodik der deduktiven Wissenschaften. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Prinzipien der mathematischen Analyse. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.