VIERECK: ELEMENTE, EIGENSCHAFTEN, KLASSIFIZIERUNG, BEISPIELE - MATHE - 2024

Ein Viereck ist ein Polygon mit vier Seiten und vier Eckpunkten. Seine gegenüberliegenden Seiten sind diejenigen, die keine gemeinsamen Scheitelpunkte haben, während aufeinanderfolgende Seiten diejenigen sind, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

In einem Viereck teilen sich benachbarte Winkel eine Seite, während entgegengesetzte Winkel keine gemeinsamen Seiten haben. Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Vierecks ist, dass die Summe seiner vier Innenwinkel doppelt so groß ist wie der ebene Winkel, dh 360º oder 2π Radiant.

Abbildung 1. Verschiedene Vierecke. Quelle: F. Zapata.

Diagonalen sind die Segmente, die einen Scheitelpunkt mit seinem Gegenstück verbinden. In einem bestimmten Viereck kann von jedem Scheitelpunkt eine einzelne Diagonale gezeichnet werden. Die Gesamtzahl der Diagonalen in einem Viereck beträgt zwei.

Vierecke sind Figuren, die der Menschheit seit der Antike bekannt sind. Archäologische Aufzeichnungen sowie die heute erhaltenen Konstruktionen bestätigen dies.

Ebenso haben die Vierecke auch heute noch eine wichtige Präsenz im täglichen Leben aller. Der Leser kann dieses Formular auf dem Bildschirm finden, auf dem er den Text gerade liest, an Fenstern, Türen, Autoteilen und unzähligen anderen Stellen.

Viereckige Klassifikation

Entsprechend der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten werden die Vierecke wie folgt klassifiziert:

1. Trapez, wenn es keine Parallelität gibt und das Viereck konvex ist.
2. Trapez, wenn zwischen einem einzelnen Paar gegenüberliegender Seiten Parallelität besteht.
3. Parallelogramm, wenn seine gegenüberliegenden Seiten zwei mal zwei parallel sind.

Abbildung 2. Klassifizierung und Unterklassifizierung von Vierecken. Quelle: Wikimedia Commons.

Arten von Parallelogrammen

Die Parallelogramme können wiederum nach ihren Winkeln und Seiten wie folgt klassifiziert werden:

1. Rechteck ist das Parallelogramm, dessen vier Innenwinkel gleich groß sind. Die Innenwinkel eines Rechtecks ​​bilden einen rechten Winkel (90º).
2. Quadratisch ist es ein Rechteck mit vier gleich großen Seiten.
3. Rhombus ist das Parallelogramm mit seinen vier gleichen Seiten, aber unterschiedlichen benachbarten Winkeln.
4. Rhomboid, Parallelogramm mit verschiedenen benachbarten Winkeln.

Trapez

Das Trapez ist ein konvexes Viereck mit zwei parallelen Seiten.

Abbildung 3. Grundlagen, Seiten, Höhe und Median eines Trapezes. Quelle: Wikimedia Commons.

- In einem Trapez werden die parallelen Seiten als Basen und die nicht parallelen Seiten als Seitenteile bezeichnet.

- Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den beiden Basen, dh die Länge eines Segments mit Enden an den Basen und senkrecht zu diesen. Dieses Segment wird auch als Trapezhöhe bezeichnet.

- Der Median ist das Segment, das die Mittelpunkte der Seitenteile verbindet. Es kann gezeigt werden, dass der Median parallel zu den Basen des Trapezes verläuft und seine Länge gleich dem Semisum der Basen ist.

- Die Fläche eines Trapezes ist seine Höhe multipliziert mit der Halbsumme der Basen:

Arten von Trapezoiden

-Rechteckiges Trapez : Es ist das mit einer Seite senkrecht zu den Basen. Diese Seite ist auch die Höhe des Trapezes.

- Gleichschenkliges Trapez : das mit gleich langen Seiten. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel neben den Basen gleich.

-Skalentrapez : das mit seinen Seiten unterschiedlicher Länge. Seine entgegengesetzten Winkel können einer spitz und der andere stumpf sein, aber es kann auch vorkommen, dass beide stumpf oder beide spitz sind.

Abbildung 4. Arten von Trapez. Quelle: F. Zapata.

Parallelogramm

Das Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten zwei mal zwei parallel sind. In einem Parallelogramm sind die entgegengesetzten Winkel gleich und die benachbarten Winkel sind ergänzend, oder anders ausgedrückt, die benachbarten Winkel addieren sich zu 180º.

Wenn ein Parallelogramm einen rechten Winkel hat, sind auch alle anderen Winkel vorhanden, und die resultierende Figur wird als Rechteck bezeichnet. Wenn das Rechteck jedoch auch benachbarte Seiten gleicher Länge hat, sind alle Seiten gleich und die resultierende Figur ist ein Quadrat.

Abbildung 5. Parallelogramme. Das Rechteck, das Quadrat und die Raute sind Parallelogramme. Quelle: F. Zapata.

Wenn ein Parallelogramm zwei benachbarte Seiten gleicher Länge hat, sind alle Seiten gleich lang, und die resultierende Figur ist eine Raute.

Die Höhe eines Parallelogramms ist ein Segment mit Enden an den gegenüberliegenden Seiten und senkrecht zu diesen.

Fläche eines Parallelogramms

Die Fläche eines Parallelogramms ist das Produkt aus Basis und Höhe, wobei die Basis eine Seite senkrecht zur Höhe ist (Abbildung 6).

Diagonalen eines Parallelogramms

Das Quadrat der Diagonale, das von einem Scheitelpunkt ausgeht, ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Seiten, die an den Scheitelpunkt angrenzen, plus dem Doppelprodukt dieser Seiten durch den Kosinus des Winkels dieses Scheitelpunkts:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Abbildung 6. Parallelogramm. Gegenwinkel, Höhe, Diagonalen. Quelle: F. Zapata.

Das Quadrat der Diagonale gegenüber dem Scheitelpunkt eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Seiten neben dem Scheitelpunkt und subtrahiert das Doppelprodukt dieser Seiten durch den Kosinus des Winkels dieses Scheitelpunkts:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Gesetz der Parallelogramme

In jedem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate seiner Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Das Rechteck ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten zwei mal zwei parallel sind und das auch einen rechten Winkel hat. Mit anderen Worten, das Rechteck ist eine Art Parallelogramm mit einem rechten Winkel. Da es sich um ein Parallelogramm handelt, hat das Rechteck gegenüberliegende Seiten gleicher Länge a = c und b = d.

Aber wie in jedem Parallelogramm sind die benachbarten Winkel ergänzend und die entgegengesetzten Winkel gleich. Da das Rechteck einen rechten Winkel hat, bildet es in den anderen drei Winkeln notwendigerweise rechte Winkel. Mit anderen Worten, in einem Rechteck messen alle Innenwinkel 90º oder π / 2 Bogenmaß.

Diagonalen eines Rechtecks

In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang, wie unten gezeigt wird. Die Argumentation ist wie folgt; Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln und erbt daher alle Eigenschaften des Parallelogramms, einschließlich der Formel, die die Länge der Diagonalen angibt:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

mit α = 90º

Da Cos (90º) = 0 ist, passiert Folgendes:

f ² = g ² = a ² + d ²

Das heißt, f = g, und daher sind die Längen f und g der beiden Diagonalen des Rechtecks ​​gleich und ihre Länge ist gegeben durch:

Wenn in einem Rechteck mit benachbarten Seiten a und b eine Seite als Basis genommen wird, ist die andere Seite die Höhe und folglich die Fläche des Rechtecks:

Fläche des Rechtecks ​​= Axt b.

Der Umfang ist die Summe aller Seiten des Rechtecks, aber da die Gegensätze gleich sind, folgt, dass für ein Rechteck mit den Seiten a und b der Umfang durch die folgende Formel gegeben ist:

Umfang des Rechtecks ​​= 2 (a + b)

Abbildung 7. Rechteck mit den Seiten a und b. Die Diagonalen f und g sind gleich lang. Quelle: F. Zapata.

Quadrat

Das Quadrat ist ein Rechteck, dessen benachbarte Seiten gleich lang sind. Wenn das Quadrat Seite a hat, haben seine Diagonalen f und g die gleiche Länge, dh f = g = (√2) a.

Die Fläche eines Quadrats ist seine Seite im Quadrat:

Fläche eines Quadrats = a ²

Der Umfang eines Quadrats ist doppelt so groß wie die Seite:

Umfang eines Quadrats = 4 a

Abbildung 8. Quadrat mit Seite a, das die Fläche, den Umfang und die Länge der Diagonalen angibt. Quelle: F. Zapata ..

Diamant

Die Raute ist ein Parallelogramm, dessen benachbarte Seiten gleich lang sind. Da jedoch in einem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich sind, sind alle Seiten einer Raute gleich lang.

Die Diagonalen einer Raute sind unterschiedlich lang, schneiden sich aber rechtwinklig.

Abbildung 9. Raute der Seite a, die ihre Fläche, ihren Umfang und die Länge ihrer Diagonalen angibt. Quelle: F. Zapata.

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen Sie, dass sich in einem Viereck (nicht gekreuzt) die Innenwinkel zu 360 ° addieren.

Abbildung 10: Es wird gezeigt, wie sich die Summe der Winkel eines Vierecks zu 360 ° summiert. Quelle: F. Zapata.

Ein viereckiges ABCD wird betrachtet (siehe 10) und die Diagonale BD wird gezeichnet. Es werden zwei Dreiecke ABD und BCD gebildet. Die Summe der Innenwinkel des Dreiecks ABD ist:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Und die Summe der Innenwinkel des Dreiecks BCD ist:

β2 + γ + δ ₂ = 180 °

Addieren wir die beiden Gleichungen, die wir erhalten:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Gruppierung:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Durch Gruppieren und Umbenennen wird schließlich gezeigt, dass:

α + β + δ + γ = 360º

Beispiel 2

Zeigen Sie, dass der Median eines Trapezes parallel zu seinen Basen ist und seine Länge das Semisum der Basen ist.

Abbildung 11. Median MN des Trapezes ABCD. Quelle: F. Zapata.

Der Median eines Trapezes ist das Segment, das die Mittelpunkte seiner Seiten, dh die nicht parallelen Seiten, verbindet. In dem in Abbildung 11 gezeigten Trapez ABCD ist der Median MN.

Da M der Mittelpunkt von AD und N der Mittelpunkt von BC ist, sind die AM / AD- und BN / BC-Verhältnisse gleich.

Das heißt, AM ist proportional zu BN im gleichen Verhältnis wie AD zu BC, daher sind die Bedingungen für die Anwendung des (reziproken) Theorems von Thales gegeben, der Folgendes besagt:

"Wenn proportionale Segmente in drei oder mehr Linien bestimmt werden, die von zwei Sekanten geschnitten werden, sind diese Linien alle parallel."

In unserem Fall wird der Schluss gezogen, dass die Leitungen MN, AB und DC parallel zueinander sind, daher:

"Der Median eines Trapezes ist parallel zu seinen Basen."

Nun wird der Thales-Satz angewendet:

"Eine Reihe von Parallelen, die von zwei oder mehr Sekanten geschnitten werden, bestimmen proportionale Segmente."

In unserem Fall ist AD = 2 AM, AC = 2 AO, so dass das Dreieck DAC dem Dreieck MAO ähnlich ist und folglich DC = 2 MO.

Ein ähnliches Argument erlaubt es uns zu bestätigen, dass CAB CON ähnlich ist, wobei CA = 2 CO und CB = 2 CN. Daraus folgt unmittelbar, dass AB = 2 ON ist.

Kurz gesagt, AB = 2 ON und DC = 2 MO. Wenn wir also hinzufügen, haben wir:

AB + DC = 2 EIN + 2 MO = 2 (MO + EIN) = 2 MN

Schließlich wird MN gelöscht:

MN = (AB + DC) / 2

Und es wird geschlossen, dass der Median eines Trapezes die Halbsumme der Basen misst oder anders ausgedrückt: Der Median misst die Summe der Basen, geteilt durch zwei.

Beispiel 3

Zeigen Sie, dass sich in einer Raute die Diagonalen rechtwinklig schneiden.

Abbildung 12. Raute und Demonstration, dass sich ihre Diagonalen im rechten Winkel schneiden. Quelle: F. Zapata.

Die Tafel in Abbildung 12 zeigt den notwendigen Aufbau. Zuerst wird das Parallelogramm ABCD mit AB = BC gezeichnet, dh einer Raute. Die Diagonalen AC und DB bestimmen acht in der Abbildung gezeigte Winkel.

Unter Verwendung des Satzes (aip), der besagt, dass abwechselnde Innenwinkel zwischen durch eine Sekante geschnittenen Parallelen gleiche Winkel bestimmen, können wir Folgendes feststellen:

α ₁ = γ ₁ , α ₂ = γ ₂ , δ ₁ = β ₁ und δ ₂ = β ₂ . (*)

Da andererseits die benachbarten Seiten einer Raute gleich lang sind, werden vier gleichschenklige Dreiecke bestimmt:

DAB, BCD, CDA und ABC

Nun wird der Satz des Dreiecks (gleichschenklig) aufgerufen, der besagt, dass die Winkel neben der Basis gleich groß sind, woraus geschlossen wird, dass:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ und α ₁ = γ2 (**)

Wenn die Beziehungen (*) und (**) kombiniert werden, wird die folgende Winkelgleichheit erreicht:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ einerseits und β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 andererseits.

Wenn wir uns an den Satz der gleichen Dreiecke erinnern, der besagt, dass zwei Dreiecke mit einer gleichen Seite zwischen zwei gleichen Winkeln gleich sind, haben wir:

AOD = AOB und folglich auch die Winkel ∡AOD = ∡AOB.

Dann ist ∡AOD + ∡AOB = 180º, aber da beide Winkel gleich groß sind, haben wir 2 ∡AOD = 180º, was impliziert, dass ∡AOD = 90º ist.

Das heißt, es wird geometrisch gezeigt, dass sich die Diagonalen einer Raute rechtwinklig schneiden.

Übungen gelöst

- Übung 1

Zeigen Sie, dass in einem rechten Trapez die nicht rechten Winkel komplementär sind.

Lösung

Abbildung 13. Rechtes Trapez. Quelle: F. Zapata.

Das Trapez ABCD ist mit parallelen Basen AB und DC aufgebaut. Der Innenwinkel von Scheitelpunkt A ist richtig (er misst 90 °), also haben wir ein rechtes Trapez.

Die Winkel α und δ sind Innenwinkel zwischen zwei Parallelen AB und DC, daher sind sie gleich, dh δ = α = 90º.

Andererseits wurde gezeigt, dass sich die Summe der Innenwinkel eines Vierecks zu 360 ° summiert, dh:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Das Obige führt zu:

β + δ = 180º

Bestätigung, was zeigen wollte, dass die Winkel β und δ komplementär sind.

- Übung 2

Ein Parallelogramm ABCD hat AB = 2 cm und AD = 1 cm, zusätzlich beträgt der Winkel BAD 30º. Bestimmen Sie die Fläche dieses Parallelogramms und die Länge seiner beiden Diagonalen.

Lösung

Die Fläche eines Parallelogramms ist das Produkt aus der Länge seiner Basis und seiner Höhe. In diesem Fall wird die Länge des Segments b = AB = 2 cm zugrunde gelegt, die andere Seite hat die Länge a = AD = 1 cm und die Höhe h wird wie folgt berechnet:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Also: Fläche = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Verweise

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2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathematik 2. Grupo Editorial Patria.
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9. Wikipedia. Vierecke. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com