KLASSIFIKATION VON REELLEN ZAHLEN - WISSENSCHAFT - 2025

Die Hauptklassifikation von reellen Zahlen ist in natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen unterteilt. Reelle Zahlen werden durch den Buchstaben R dargestellt.

Es gibt viele Möglichkeiten, wie die verschiedenen reellen Zahlen konstruiert oder beschrieben werden können, von einfacheren bis zu komplexeren Formen, abhängig von der durchzuführenden mathematischen Arbeit.

Wie werden reelle Zahlen klassifiziert?

- Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen werden durch den Buchstaben (n) dargestellt und sind diejenigen, die zum Zählen verwendet werden (0,1,2,3,4…). Zum Beispiel "Es gibt fünfzehn Rosen im Garten", "Die Bevölkerung Mexikos beträgt 126 Millionen Menschen" oder "Die Summe von zwei und zwei ist vier ". Es ist zu beachten, dass einige Klassifikationen 0 als natürliche Zahl enthalten und andere nicht.

Zwei Kinder machen eine Summe von zwei natürlichen Zahlen.

Natürliche Zahlen enthalten keine Dezimalzahlen. Daher können "Die Bevölkerung Mexikos beträgt 126,2 Millionen Menschen" oder "Die Temperatur beträgt 24,5 Grad Celsius" nicht als natürliche Zahlen angesehen werden.

Im allgemeinen Sprachgebrauch, wie zum Beispiel in Grundschulen, können natürliche Zahlen als Zählzahlen bezeichnet werden, um negative ganze Zahlen und Null auszuschließen.

Natürliche Zahlen sind die Grundlagen, auf denen viele andere Sätze von Zahlen durch Erweiterung konstruiert werden können: unter anderem ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen.

Die Eigenschaften natürlicher Zahlen wie die Teilbarkeit und Verteilung von Primärzahlen werden in der Zahlentheorie untersucht. Zähl- und Ordnungsprobleme wie Aufzählungen und Partitionierung werden in der Kombinatorik untersucht.

Sie haben verschiedene Eigenschaften wie: Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division usw.

Ordnungs- und Kardinalzahlen

Natürliche Zahlen können ordinal oder kardinal sein.

Die Kardinalzahlen wären diejenigen, die als natürliche Zahlen verwendet werden, wie wir zuvor in den Beispielen erwähnt haben. "Ich habe zwei Kekse", "Ich bin Vater von drei Kindern", "Die Schachtel enthält zwei kostenlose Cremes".

Ordnungszahlen sind solche, die Ordnung ausdrücken oder eine Position angeben. Zum Beispiel wird in einem Rennen die Reihenfolge der Ankunft der Läufer aufgelistet, beginnend mit dem Sieger und endend mit dem letzten, der die Ziellinie erreicht hat.

Auf diese Weise wird gesagt, dass der Gewinner der "Erste", der Nächste der "Zweite", der Nächste der "Dritte" usw. bis zum letzten ist. Diese Zahlen können zur Vereinfachung des Schreibens durch einen Buchstaben im oberen rechten Teil dargestellt werden (1., 2., 3., 4. usw.).

- Ganzzahlen

Ganze Zahlen bestehen aus diesen natürlichen Zahlen und ihren Gegensätzen, dh negativen Zahlen (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Wie natürliche Zahlen enthalten auch diese nicht diejenigen, die einen Dezimalteil haben.

Ein Beispiel für ganze Zahlen wäre "Vor 30º im Durchschnitt in Deutschland", "Ich war am Monatsende bei 0", "Um in den Keller zu gelangen, müssen Sie die Aufzugstaste -1 drücken".

Ganze Zahlen können wiederum nicht mit einer Bruchkomponente geschrieben werden. Zum Beispiel sind Zahlen wie 8.58 oder √2 keine ganzen Zahlen.

Ganze Zahlen werden durch den Buchstaben (Z) dargestellt. Z ist eine Teilmenge der Gruppe der rationalen Zahlen Q, die wiederum die Gruppe der reellen Zahlen R bilden. Wie natürliche Zahlen ist Z eine unendlich zählbare Gruppe.

Die ganzen Zahlen bilden die kleinste Gruppe und die kleinste Menge der natürlichen Zahlen. In der algebraischen Zahlentheorie werden Ganzzahlen manchmal als irrationale Ganzzahlen bezeichnet, um sie von algebraischen Ganzzahlen zu unterscheiden.

- Rationale Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen wird durch den Buchstaben (Q) dargestellt und enthält alle Zahlen, die als Bruchteil ganzer Zahlen geschrieben werden können.

Das heißt, dieser Satz enthält natürliche Zahlen (4/1), ganze Zahlen (-4/1) und exakte Dezimalzahlen (15,50 = 1550/100).

Die Verteilung von 1/6 des Käses ist eine rationale Zahl.

Die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl endet immer nach einer endlichen Anzahl von Ziffern (Beispiel: 15,50) oder wenn sich dieselbe endliche Folge von Ziffern immer wieder zu wiederholen beginnt (Beispiel: 0,3456666666666666…). Daher sind in der Menge der rationalen Zahlen Zahlen enthalten. reine Zeitungen oder gemischte Zeitungen.

Zusätzlich repräsentiert jede wiederholte oder terminale Dezimalstelle eine rationale Zahl. Diese Aussagen gelten nicht nur für Basis 10, sondern auch für jede andere ganzzahlige Basis.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational. Zu den irrationalen Zahlen gehören beispielsweise √2, π und e. Da der gesamte Satz rationaler Zahlen zählbar ist und die Gruppe der reellen Zahlen nicht zählbar ist, kann gesagt werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Rationale Zahlen können formal als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen (p, q) definiert werden, so dass q ≠ 0 oder die durch (p1, q1) (p2, q2) definierte äquivalente Beziehung nur dann ist, wenn p1, q2 = p2q1.

Rationale Zahlen bilden zusammen mit Addition und Multiplikation Felder, die ganze Zahlen bilden und in jedem Zweig enthalten sind, der ganze Zahlen enthält.

- Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden. Rationale Zahlen sind Zahlen, die aus Brüchen ganzer Zahlen bestehen.

Als Folge von Cantors Test, der besagt, dass alle reellen Zahlen unzählbar und rationale Zahlen zählbar sind, kann geschlossen werden, dass fast alle reellen Zahlen irrational sind.

Wenn der Längenradius zweier Liniensegmente eine irrationale Zahl ist, kann gesagt werden, dass diese Liniensegmente nicht vergleichbar sind; Dies bedeutet, dass es keine ausreichende Länge gibt, so dass jeder von ihnen mit einem bestimmten ganzzahligen Vielfachen davon "gemessen" werden kann.

Unter den irrationalen Zahlen befinden sich der Radius π eines Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, die Eulernummer (e), die goldene Zahl (φ) und die Quadratwurzel von zwei; Darüber hinaus sind alle Quadratwurzeln natürlicher Zahlen irrational. Die einzige Ausnahme von dieser Regel sind perfekte Quadrate.

Es ist ersichtlich, dass irrationale Zahlen, wenn sie in einem Zahlensystem positionell ausgedrückt werden (wie zum Beispiel in Dezimalzahlen), nicht enden oder sich wiederholen.

Dies bedeutet, dass sie keine Ziffernfolge enthalten, die Wiederholung, mit der eine Zeile der Darstellung erstellt wird.

Vereinfachung der irrationalen Zahl pi.

Beispiel: Die Dezimaldarstellung der Zahl π beginnt mit 3.14159265358979, es gibt jedoch keine endliche Anzahl von Ziffern, die π genau darstellen können, und sie können auch nicht wiederholt werden.

Der Beweis, dass die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl enden oder sich wiederholen muss, unterscheidet sich von dem Beweis, dass eine Dezimalerweiterung eine rationale Zahl sein muss; Obwohl diese Tests einfach und etwas langwierig sind, erfordern sie einige Arbeit.

Normalerweise nehmen Mathematiker im Allgemeinen nicht den Begriff "Beenden oder Wiederholen", um das Konzept einer rationalen Zahl zu definieren.

Irrationale Zahlen können auch über nicht kontinuierliche Fraktionen behandelt werden.

Verweise

1. Reelle Zahlen klassifizieren. Von chilimath.com wiederhergestellt.
2. Natürliche Zahl. Von wikipedia.org wiederhergestellt.
3. Klassifizierung von Zahlen. Von ditutor.com wiederhergestellt.
4. Von wikipedia.org wiederhergestellt.
5. Irrationale Zahl. Von wikipedia.org wiederhergestellt.