ORTHONORMALE BASIS: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Eine orthonormale Basis wird mit Vektoren gebildet, die senkrecht zueinander stehen und deren Modul ebenfalls 1 ist (Einheitsvektoren). Denken wir daran, dass eine Basis B in einem Vektorraum V als ein Satz linear unabhängiger Vektoren definiert ist, die diesen Raum erzeugen können.

Ein Vektorraum ist wiederum eine abstrakte mathematische Einheit, unter deren Elementen Vektoren sind, die im Allgemeinen physikalischen Größen wie Geschwindigkeit, Kraft und Verschiebung oder auch Matrizen, Polynomen und Funktionen zugeordnet sind.

Abbildung 1. Orthonormale Basis in der Ebene. Quelle: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektoren haben drei unterschiedliche Elemente: Größe oder Modul, Richtung und Sinn. Eine orthonormale Basis ist besonders nützlich, um sie darzustellen und damit zu arbeiten, da jeder Vektor, der zu einem bestimmten Vektorraum V gehört, als lineare Kombination der Vektoren geschrieben werden kann, die die orthonormale Basis bilden.

Auf diese Weise werden Operationen zwischen Vektoren wie Addition, Subtraktion und den verschiedenen in diesem Raum definierten Produkttypen analytisch ausgeführt.

Zu den am häufigsten verwendeten Basen in der Physik gehört die Basis, die durch die Einheitsvektoren i , j und k gebildet wird , die die drei unterschiedlichen Richtungen des dreidimensionalen Raums darstellen: Höhe, Breite und Tiefe. Diese Vektoren werden auch als kanonische Einheitsvektoren bezeichnet.

Wenn stattdessen die Vektoren in einer Ebene bearbeitet werden, würden zwei dieser drei Komponenten ausreichen, während für eindimensionale Vektoren nur eine erforderlich ist.

Eigenschaften der Basen

1- Eine Basis B ist der kleinstmögliche Satz von Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen.

2- Die Elemente von B sind linear unabhängig.

3- Jede Basis B eines Vektorraums V ermöglicht es, alle Vektoren von V als lineare Kombination davon auszudrücken, und diese Form ist für jeden Vektor eindeutig. Aus diesem Grund wird B auch als Erzeugungssystem bezeichnet.

4- Der gleiche Vektorraum V kann unterschiedliche Basen haben.

Beispiele für Basen

Hier sind einige Beispiele für orthonormale Basen und Basen im Allgemeinen:

Die kanonische Basis in ℜ

Wird auch als natürliche Basis oder Standardbasis von ℜ ^{n bezeichnet} , wobei ℜ ^{n der} n-dimensionale Raum ist, beispielsweise ist der dreidimensionale Raum ℜ ³ . Der Wert von n wird als Dimension des Vektorraums bezeichnet und als dim (V) bezeichnet.

Alle zu ℜ ⁿ gehörenden Vektoren werden durch geordnete n-Anzeigen dargestellt. Für den Raum ℜ ⁿ lautet die kanonische Basis:

e ₁ = <1,0 ,. . . , 0>; e ₂ = <0,1 ,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0 ,. . . , 1>

In diesem Beispiel haben wir die Notation mit Klammern oder "Klammern" und fett für die Einheitsvektoren e ₁ , e ₂ , e ₃ … verwendet.

Die kanonische Basis in ℜ

Die bekannten Vektoren i , j und k lassen dieselbe Darstellung zu und alle drei reichen aus, um die Vektoren in ℜ ³ darzustellen :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Dies bedeutet, dass die Basis folgendermaßen ausgedrückt werden kann:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Um zu überprüfen, ob sie linear unabhängig sind, ist die mit ihnen gebildete Determinante ungleich Null und auch gleich 1:

Es muss auch möglich sein, jeden zu ℜ ³ gehörenden Vektor als lineare Kombination davon zu schreiben . Zum Beispiel würde eine Kraft, deren rechteckige Komponenten F _x = 4 N, F _y = -7 N und F _z = 0 N sind, in Vektorform wie folgt geschrieben:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Daher bilden i , j und k ein Generatorsystem von ℜ ³ .

Andere orthonormale Basen in ℜ

Die im vorherigen Abschnitt beschriebene Standardbasis ist nicht die einzige orthonormale Basis in ℜ ³ . Hier haben wir zum Beispiel die Grundlagen:

B ₁ = {;; <- sin & thgr;, cos & thgr;, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Es kann gezeigt werden, dass diese Basen orthonormal sind, dafür erinnern wir uns an die Bedingungen, die erfüllt sein müssen:

-Die Vektoren, die die Basis bilden, müssen orthogonal zueinander sein.

-Jeder von ihnen muss einheitlich sein.

Wir können dies überprüfen, indem wir wissen, dass die von ihnen gebildete Determinante ungleich Null und gleich 1 sein muss.

Die Basis B ₁ ist genau die der Zylinderkoordinaten ρ, φ und z, eine andere Art, Vektoren im Raum auszudrücken.

Abbildung 2. Zylinderkoordinaten. Quelle: Wikimedia Commons. Mathefan.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Zeigen Sie, dass die Basis B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} ist orthonormal.

Lösung

Um zu zeigen, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen, verwenden wir das Skalarprodukt, das auch als internes Produkt oder Punktprodukt zweier Vektoren bezeichnet wird.

Lassen Sie zwei beliebige Vektoren u und v , ihr Punktprodukt ist definiert durch:

u • v = uv cosθ

Um die Vektoren ihrer Module zu unterscheiden, verwenden wir Fettdruck für den ersten und Normalbuchstaben für den zweiten. θ ist der Winkel zwischen u und v. Wenn sie also senkrecht sind, bedeutet dies, dass θ = 90º ist und das Skalarprodukt Null ist.

Alternativ, wenn die Vektoren in Bezug auf ihre Komponenten angegeben sind: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, das kommutative Skalarprodukt von beiden, wird folgendermaßen berechnet:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Auf diese Weise sind die Skalarprodukte zwischen jedem Vektorpaar jeweils:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

Für die zweite Bedingung wird das Modul jedes Vektors berechnet, das erhalten wird durch:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Somit sind die Module jedes Vektors:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Daher sind alle drei Einheitsvektoren. Schließlich ist die Determinante, die sie bilden, ungleich Null und gleich 1:

- Übung 2

Schreiben Sie die Koordinaten des Vektors w = <2, 3,1> in Bezug auf die obige Basis.

Lösung

Dazu wird der folgende Satz verwendet:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Dies bedeutet, dass wir den Vektor in Basis B schreiben können, indem wir die Koeffizienten < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n > verwenden, für die wir die angegebenen Skalarprodukte berechnen müssen:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Mit den erhaltenen Skalarprodukten wird eine Matrix konstruiert, die als w-Koordinatenmatrix bezeichnet wird.

Daher werden die Koordinaten des Vektors w in der Basis B ausgedrückt durch:

_B =

Die Koordinatenmatrix ist nicht der Vektor, da ein Vektor nicht mit seinen Koordinaten übereinstimmt. Dies sind nur eine Reihe von Zahlen, die dazu dienen, den Vektor in einer bestimmten Basis auszudrücken, nicht den Vektor als solchen. Sie hängen auch von der ausgewählten Basis ab.

Schließlich würde nach dem Theorem der Vektor w wie folgt ausgedrückt:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Mit: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, dh die Vektoren der Basis B.

Verweise

1. Larson, R. Grundlagen der linearen Algebra. 6 .. Auflage. Lernen einbinden.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7 .. Auflage. Band 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Lineare Algebra. Einheit 10. Orthonormale Basen. Wiederhergestellt von: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla Universität. Zylinderkoordinaten. Vektorbasis. Wiederhergestellt von: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Orthonormale Basis. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.