DIMENSIONSANALYSE: TECHNIKEN, PRINZIPIEN UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Dimensionsanalyse ist ein in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik weit verbreitetes Werkzeug, um die Phänomene des Vorhandenseins unterschiedlicher physikalischer Größen besser zu verstehen. Die Größen haben Abmessungen und daraus werden die verschiedenen Maßeinheiten abgeleitet.

Der Ursprung des Begriffs der Dimension liegt im französischen Mathematiker Joseph Fourier, der ihn geprägt hat. Fourier hat auch verstanden, dass zwei Gleichungen, um vergleichbar zu sein, hinsichtlich ihrer Dimensionen homogen sein müssen. Mit anderen Worten, Meter können nicht zu Kilogramm hinzugefügt werden.

Die Dimensionsanalyse ist daher für die Untersuchung der Größen, Dimensionen und Homogenität physikalischer Gleichungen verantwortlich. Aus diesem Grund wird es häufig verwendet, um Beziehungen und Berechnungen zu überprüfen oder Hypothesen zu komplizierten Fragen zu erstellen, die später experimentell getestet werden können.

Auf diese Weise ist die Dimensionsanalyse ein perfektes Werkzeug, um Fehler in Berechnungen zu erkennen, indem die Kongruenz oder Inkonsistenz der in ihnen verwendeten Einheiten überprüft wird, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf den Einheiten der Endergebnisse liegt.

Darüber hinaus werden mithilfe der Dimensionsanalyse systematische Experimente entworfen. Dies ermöglicht es, die Anzahl der erforderlichen Experimente zu reduzieren und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse zu erleichtern.

Eine der grundlegenden Grundlagen der Dimensionsanalyse besteht darin, dass es möglich ist, jede physikalische Größe als Produkt der Potenzen einer kleineren Größe darzustellen, die als Grundgrößen bekannt sind, von denen die anderen abgeleitet sind.

Grundgrößen und Maßformel

In der Physik werden Grundgrößen als solche angesehen, die es ermöglichen, die anderen als Funktion dieser auszudrücken. Konventionell wurden folgende gewählt: Länge (L), Zeit (T), Masse (M), Intensität des elektrischen Stroms (I), Temperatur (θ), Lichtstärke (J) und Substanzmenge (N).

Im Gegenteil, der Rest wird als abgeleitete Menge betrachtet. Einige davon sind: Fläche, Volumen, Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung, unter anderem.

Eine Dimensionsformel ist definiert als die mathematische Gleichheit, die die Beziehung zwischen einer abgeleiteten und der fundamentalen Größe darstellt.

Dimensionsanalysetechniken

Es gibt verschiedene Techniken oder Methoden zur Dimensionsanalyse. Zwei der wichtigsten sind die folgenden:

Rayleigh-Methode

Rayleigh, der zusammen mit Fourier einer der Vorläufer der Dimensionsanalyse war, entwickelte eine direkte und sehr einfache Methode, mit der wir dimensionslose Elemente erhalten können. Bei dieser Methode werden die folgenden Schritte ausgeführt:

1- Die potentielle Zeichenfunktion der abhängigen Variablen ist definiert.

2- Jede Variable wird durch ihre entsprechenden Abmessungen geändert.

3- Die Gleichungen der Homogenitätsbedingungen werden aufgestellt.

4- Die np Unbekannten werden gesetzt.

5- Die Exponenten, die in der Potentialgleichung berechnet und festgelegt wurden, werden ersetzt.

6- Die Gruppen von Variablen werden verschoben, um die dimensionslosen Zahlen zu definieren.

Buckingham-Methode

Diese Methode basiert auf dem Buckinghamschen Theorem oder Pi-Theorem, das Folgendes besagt:

Wenn es eine homogene dimensionale Beziehung zwischen einer Anzahl "n" physikalischer oder variabler Größen gibt, in der "p" verschiedene Grunddimensionen enthalten sind, gibt es auch eine dimensional homogene Beziehung zwischen n - p, unabhängigen dimensionslosen Gruppen.

Prinzip der Dimensionshomogenität

Das Fourier-Prinzip, auch als Prinzip der dimensionalen Homogenität bekannt, beeinflusst die richtige Strukturierung der Ausdrücke, die physikalische Größen algebraisch verbinden.

Es ist ein Prinzip, das mathematische Konsistenz aufweist und besagt, dass die einzige Möglichkeit darin besteht, physikalische Größen gleicher Art zu subtrahieren oder zu addieren. Daher ist es nicht möglich, eine Masse mit einer Länge oder eine Zeit mit einer Oberfläche usw. hinzuzufügen.

In ähnlicher Weise besagt das Prinzip, dass die Summe der Terme der Mitglieder der beiden Seiten der Gleichheit dieselbe Dimension haben muss, damit die physikalischen Gleichungen dimensional korrekt sind. Dieses Prinzip ermöglicht es, die Kohärenz der physikalischen Gleichungen zu gewährleisten.

Ähnlichkeitsprinzip

Das Prinzip der Ähnlichkeit ist eine Erweiterung des dimensionalen Homogenitätscharakters physikalischer Gleichungen. Es wird wie folgt angegeben:

Die physikalischen Gesetze bleiben unverändert, wenn sich die Dimensionen (Größe) eines physikalischen Ereignisses im selben Einheitensystem ändern, unabhängig davon, ob es sich um reale oder imaginäre Änderungen handelt.

Die klarste Anwendung des Ähnlichkeitsprinzips erfolgt bei der Analyse der physikalischen Eigenschaften eines Modells in kleinerem Maßstab, um die Ergebnisse im Objekt später in realer Größe zu verwenden.

Diese Praxis ist in Bereichen wie der Konstruktion und Herstellung von Flugzeugen und Schiffen sowie in großen Hydraulikwerken von wesentlicher Bedeutung.

Anwendungen

Die vielen Anwendungen der Dimensionsanalyse umfassen die unten aufgeführten.

- Suchen Sie mögliche Fehler in den ausgeführten Operationen

- Lösen Sie Probleme, deren Lösung unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten mit sich bringt.

- Entwerfen und analysieren Sie kleine Modelle.

- Beobachten Sie, wie mögliche Änderungen ein Modell beeinflussen.

Auch bei der Untersuchung der Strömungsmechanik wird die Dimensionsanalyse häufig verwendet.

Die Relevanz der Dimensionsanalyse in der Strömungsmechanik beruht darauf, wie schwierig es ist, Gleichungen in bestimmten Strömungen zu erstellen, und wie schwierig es ist, sie zu lösen, weshalb es unmöglich ist, empirische Beziehungen herzustellen. Aus diesem Grund ist es notwendig, auf die experimentelle Methode zurückzugreifen.

Gelöste Übungen

Erste Übung

Finden Sie die Dimensionsgleichung für Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Lösung

Da v = s / t ist, gilt: = L / T = L ∙ T ^-1

Ähnlich:

a = v / t

= L / T ² = L ≤ T ^-2

Zweite Übung

Bestimmen Sie die Dimensionsgleichung für den Impuls.

Lösung

Da der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, ist p = m ∙ v

So:

= M ≤ L / T = M ≤ L ≤ T ^-2

Verweise

1. Dimensionsanalyse (nd). Auf Wikipedia. Abgerufen am 19. Mai 2018 von es.wikipedia.org.
2. Dimensionsanalyse (nd). Auf Wikipedia. Abgerufen am 19. Mai 2018 von en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Dimensionsanalyse und Modelltheorie, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Physik und Chemie . Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton und Floyd James Rutherford (2002). Physik verstehen. Birkhäuser.