MOMENTANE GESCHWINDIGKEIT: DEFINITION, FORMEL, BERECHNUNG UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die momentane Geschwindigkeit ist definiert als die momentane Änderung der Zeitverschiebung. Es ist ein Konzept, das dem Studium der Bewegung große Präzision verleiht. Und es ist ein Fortschritt in Bezug auf die Durchschnittsgeschwindigkeit, deren Informationen sehr allgemein sind.

Um die momentane Geschwindigkeit zu erhalten, betrachten wir ein möglichst kleines Zeitintervall. Die Differentialrechnung ist das perfekte Werkzeug, um diese Idee mathematisch auszudrücken.

Die momentane Geschwindigkeit zeigt die Geschwindigkeit des Mobiltelefons an jedem Punkt seiner Fahrt an. Quelle: Pixabay.

Ausgangspunkt ist die Durchschnittsgeschwindigkeit:

Diese Grenze wird als Derivat bezeichnet. In der Differentialrechnung haben wir:

Solange die Bewegung auf eine gerade Linie beschränkt ist, kann auf die Vektornotation verzichtet werden.

Berechnung der momentanen Geschwindigkeit: geometrische Interpretation

Die folgende Abbildung zeigt die geometrische Interpretation des Ableitungskonzepts: Es ist die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve x (t) vs. t an jedem Punkt.

Die momentane Geschwindigkeit bei P ist numerisch gleich der Steigung der Tangentenlinie zur Kurve x vs. t am Punkt P. Quelle: Quelle: す じ に く シ チ ュ ー.

Sie können sich vorstellen, wie Sie die Grenze erhalten, wenn Punkt Q nach und nach an Punkt P herangeführt wird. Es wird einen Moment geben, in dem beide Punkte so nahe beieinander liegen, dass Sie nicht in der Lage sind, einen vom anderen zu unterscheiden.

Die Linie, die sie verbindet, wird dann von einer Sekante (Linie, die sich an zwei Punkten schneidet) zu einer Tangente (Linie, die die Kurve nur an einem Punkt berührt). Um die momentane Geschwindigkeit eines sich bewegenden Teilchens zu ermitteln, sollten wir daher Folgendes haben:

• Der Graph der Position des Partikels als Funktion der Zeit. Wenn wir zu jedem Zeitpunkt die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve ermitteln, haben wir die momentane Geschwindigkeit an jedem Punkt, den das Partikel einnimmt.

Ach ja:

• Die Positionsfunktion des Teilchens x (t), die abgeleitet wird, um die Geschwindigkeitsfunktion v (t) zu erhalten, dann wird diese Funktion zu jedem Zeitpunkt t nach Belieben ausgewertet. Die Positionsfunktion wird als differenzierbar angenommen.

Einige Sonderfälle bei der Berechnung der momentanen Geschwindigkeit

-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei P beträgt 0. Eine Nullsteigung bedeutet, dass das Mobiltelefon angehalten wird und seine Geschwindigkeit natürlich 0 beträgt.

-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei P ist größer als 0. Die Geschwindigkeit ist positiv. In der obigen Grafik bedeutet dies, dass sich das Mobiltelefon von O entfernt.

-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei P ist kleiner als 0. Die Geschwindigkeit wäre negativ. In der obigen Grafik gibt es keine solchen Punkte, aber in diesem Fall würde sich das Teilchen O nähern.

-Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve ist bei P und allen anderen Punkten konstant. In diesem Fall ist der Graph eine gerade Linie und das Mobiltelefon hat eine gleichmäßige geradlinige Bewegungs-MRU (seine Geschwindigkeit ist konstant).

Im Allgemeinen ist die Funktion v (t) auch eine Funktion der Zeit, die wiederum eine Ableitung haben kann. Was wäre, wenn es nicht möglich wäre, die Ableitungen der Funktionen x (t) und v (t) zu finden?

Im Fall von x (t) kann es sein, dass die Steigung - die momentane Geschwindigkeit - abrupt das Vorzeichen ändert. Oder dass es sofort von Null auf einen anderen Wert gehen würde.

In diesem Fall würde der Graph x (t) Punkte oder Ecken an den Stellen plötzlicher Änderungen darstellen. Ganz anders als im vorherigen Bild, in dem die Kurve x (t) eine glatte Kurve ist, ohne Punkte, Ecken, Diskontinuitäten oder abrupte Änderungen.

Die Wahrheit ist, dass für echte Handys die glatten Kurven diejenigen sind, die das Verhalten des Objekts am besten darstellen.

Die Bewegung ist im Allgemeinen ziemlich komplex. Die Handys können für eine Weile angehalten werden, aus der Ruhe beschleunigen, um eine Geschwindigkeit zu erreichen und sich vom Startpunkt zu entfernen, die Geschwindigkeit für eine Weile beibehalten und dann bremsen, um wieder anzuhalten und so weiter.

Wieder können sie wieder beginnen und in die gleiche Richtung weiterfahren. Betätigen Sie entweder den Rückwärtsgang und kehren Sie zurück. Dies wird als abwechslungsreiche Bewegung in einer Dimension bezeichnet.

Hier einige Beispiele für die Berechnung der momentanen Geschwindigkeit verdeutlichen die Verwendung der angegebenen Definitionen:

Gelöste Übungen mit sofortiger Geschwindigkeit

Übung 1

Ein Teilchen bewegt sich entlang einer geraden Linie mit dem folgenden Bewegungsgesetz:

Alle Einheiten befinden sich im internationalen System. Finden:

a) Die Position des Partikels bei t = 3 Sekunden.

b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall zwischen t = 0 s und t = 3 s.

c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall zwischen t = 0 s und t = 3 s.

d) Die momentane Geschwindigkeit des Partikels aus der vorherigen Frage bei t = 1 s.

Antworten

a) Um die Position des Partikels zu ermitteln, wird das Bewegungsgesetz (Positionsfunktion) bei t = 3 ausgewertet:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Es ist kein Problem, dass die Position negativ ist. Das Zeichen (-) zeigt an, dass sich das Partikel links vom Ursprung O befindet.

b) Bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit werden die End- und Anfangspositionen des Partikels zu den angegebenen Zeiten benötigt: x (3) und x (0). Die Position bei t = 3 ist x (3) und ist aus dem vorherigen Ergebnis bekannt. Die Position bei t = 0 Sekunden ist x (0) = -10 m.

Da die Endposition mit der Ausgangsposition identisch ist, wird sofort geschlossen, dass die mittlere Geschwindigkeit 0 ist.

c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit. Der Abstand ist nun das Modul oder die Größe der Verschiebung, daher:

Abstand = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Beachten Sie, dass die zurückgelegte Strecke immer positiv ist.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Hier ist es notwendig, die erste Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit zu finden. Dann wird es für t = 1 Sekunde ausgewertet.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Übung 2

Unten sehen Sie die grafische Darstellung der Position eines Mobiltelefons als Funktion der Zeit. Finden Sie die momentane Geschwindigkeit bei t = 2 Sekunden.

Diagramm der Position gegen die Zeit für ein Mobiltelefon. Quelle: selbst gemacht.

Antworten

Zeichnen Sie die Tangentenlinie bei t = 2 Sekunden zur Kurve und ermitteln Sie dann ihre Steigung, wobei Sie zwei beliebige Punkte auf der Linie nehmen.

Um die momentane Geschwindigkeit am angegebenen Punkt zu berechnen, zeichnen Sie die Tangentenlinie zu diesem Punkt und ermitteln Sie deren Steigung. Quelle: selbst gemacht.

In diesem Beispiel nehmen wir zwei Punkte, die leicht zu visualisieren sind, deren Koordinaten (2 s, 10 m) und der Schnitt mit der vertikalen Achse (0 s, 7 m) sind:

Verweise

1. Giancoli, D. Physics. Prinzipien mit Anwendungen. 6 ^th Ausgabe. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Körperlich. Band 1. Dritte Ausgabe in Spanisch. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. 7 ^ma . Auflage. Mexiko. Cengage Learning Editors. 23-25.