AREOLARGESCHWINDIGKEIT: WIE SIE BERECHNET UND ÜBUNGEN GELÖST WERDEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Areolargeschwindigkeit ist die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche und ist konstant. Es ist für jeden Planeten spezifisch und ergibt sich aus der Beschreibung von Keplers zweitem Gesetz in mathematischer Form. In diesem Artikel erklären wir, was es ist und wie es berechnet wird.

Der Boom, der die Entdeckung von Planeten außerhalb des Sonnensystems darstellt, hat das Interesse an Planetenbewegungen reaktiviert. Nichts lässt uns glauben, dass diese Exoplaneten anderen Gesetzen folgen als denen, die bereits im Sonnensystem bekannt und gültig sind: Keplers Gesetze.

Johannes Kepler war der Astronom, der ohne die Hilfe des Teleskops und unter Verwendung der Beobachtungen seines Mentors Tycho Brahe ein mathematisches Modell erstellte, das die Bewegung der Planeten um die Sonne beschreibt.

Er ließ dieses Modell in den drei Gesetzen verankert, die seinen Namen tragen und die heute noch genauso gültig sind wie 1609, als er die ersten beiden gründete, und 1618, dem Datum, an dem er das dritte aussprach.

Keplers Gesetze

Im heutigen Sprachgebrauch lauten die drei Gesetze von Kepler folgendermaßen:

1. Die Umlaufbahnen aller Planeten sind elliptisch und die Sonne befindet sich in einem Fokus.

2. Der Positionsvektor von der Sonne zu einem Planeten bewegt sich zu gleichen Zeiten über gleiche Bereiche.

3. Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zum Würfel der Semi-Major-Achse der beschriebenen Ellipse.

Ein Planet hat eine lineare Geschwindigkeit, genau wie jedes bekannte sich bewegende Objekt. Und es gibt noch mehr: Wenn man Keplers zweites Gesetz in mathematischer Form schreibt, entsteht ein neues Konzept namens Areolargeschwindigkeit, das für jeden Planeten typisch ist.

Warum bewegen sich die Planeten elliptisch um die Sonne?

Die Erde und die anderen Planeten bewegen sich um die Sonne, weil sie eine Kraft auf sie ausüben: die Anziehungskraft der Gravitation. Das gleiche passiert mit jedem anderen Stern und den Planeten, aus denen sein System besteht, wenn er sie hat.

Dies ist eine Kraft des Typs, der als zentrale Kraft bekannt ist. Gewicht ist eine zentrale Kraft, mit der jeder vertraut ist. Das Objekt, das die zentrale Kraft ausübt, sei es die Sonne oder ein entfernter Stern, zieht die Planeten in Richtung ihres Zentrums an und sie bewegen sich in einer geschlossenen Kurve.

Im Prinzip kann diese Kurve als Umfang angenähert werden, ebenso wie Nicolás Copernicus, ein polnischer Astronom, der die heliozentrische Theorie erstellt hat.

Die verantwortliche Kraft ist die Anziehungskraft. Diese Kraft hängt direkt von den Massen des Sterns und des betreffenden Planeten ab und ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung, die sie voneinander trennt.

Das Problem ist nicht so einfach, da in einem Sonnensystem alle Elemente auf diese Weise interagieren und die Materie komplexer wird. Darüber hinaus sind sie keine Teilchen, da Sterne und Planeten eine messbare Größe haben.

Aus diesem Grund liegt der Mittelpunkt der von den Planeten zurückgelegten Umlaufbahn oder des Kreislaufs nicht genau auf dem Stern, sondern an einem Punkt, der als Schwerpunkt des Sonnenplanetensystems bekannt ist.

Die resultierende Umlaufbahn ist elliptisch. Das folgende Bild zeigt es am Beispiel der Erde und der Sonne:

Abbildung 1. Die Erdumlaufbahn ist elliptisch, wobei sich die Sonne in einem der Brennpunkte befindet. Wenn sich die Erde und die Sonne in maximaler Entfernung befinden, befindet sich die Erde im Aphel. Und wenn der Abstand minimal ist, sprechen wir von Perihel.

Das Aphel ist die am weitesten von der Sonne entfernte Position auf der Erde, während das Perihel der nächstgelegene Punkt ist. Die Ellipse kann abhängig von den Eigenschaften des Stern-Planeten-Systems mehr oder weniger abgeflacht sein.

Die Aphelion- und Perihelwerte variieren jährlich, da die anderen Planeten Störungen verursachen. Für andere Planeten werden diese Positionen als Apoaster bzw. Periaster bezeichnet.

Die Größe der Lineargeschwindigkeit eines Planeten ist nicht konstant

Kepler entdeckte, dass ein Planet, wenn er die Sonne umkreist, während seiner Bewegung gleiche Flächen zu gleichen Zeiten ausfegt. Abbildung 2 zeigt grafisch die Bedeutung davon:

Abbildung 2. Der Positionsvektor eines Planeten in Bezug auf die Sonne ist r. Wenn der Planet seine Umlaufbahn beschreibt, bewegt er sich in einer Zeit Δt über einen Ellipsenbogen Δs.

Mathematisch wird die Tatsache, dass A ₁ gleich A ₂ ist, folgendermaßen ausgedrückt:

Die zurückgelegten Bögen Δs sind klein, so dass sich jeder Bereich dem eines Dreiecks annähern kann:

Da Δs = v Δt ist, wobei v die lineare Geschwindigkeit des Planeten an einem bestimmten Punkt ist, haben wir durch Ersetzen:

Und da das Zeitintervall Δt gleich ist, erhalten wir:

Da r ₂ > r ₁ , dann v ₁ > v _{2 ist} , ist mit anderen Worten die Lineargeschwindigkeit eines Planeten nicht konstant. Tatsächlich bewegt sich die Erde schneller, wenn sie sich im Perihel befindet, als wenn sie sich im Aphel befindet.

Daher ist die lineare Geschwindigkeit der Erde oder eines Planeten um die Sonne keine Größe, die zur Charakterisierung der Bewegung dieses Planeten dient.

Areolare Geschwindigkeit

Mit dem folgenden Beispiel zeigen wir, wie die Areolargeschwindigkeit berechnet wird, wenn einige Parameter der Planetenbewegung bekannt sind:

Übung

Ein Exoplanet bewegt sich nach Keplers Gesetzen auf einer elliptischen Umlaufbahn um seine Sonne. Wenn es sich am Periaster befindet, beträgt sein Radiusvektor r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, und wenn es sich am Apoaster befindet, beträgt es r ₂ = 15 · 10 ⁷ km. Die lineare Geschwindigkeit an ihrem Periaster beträgt v ₁ = 1000 km / s.

Berechnung:

A) Die Größe der Geschwindigkeit am Apoastro.

B) Die Areolargeschwindigkeit des Exoplaneten.

C) Die Länge der Semi-Major-Achse der Ellipse.

Antwort auf)

Die Gleichung wird verwendet:

in denen numerische Werte eingesetzt werden.

Jeder Begriff wird wie folgt identifiziert:

v ₁ = Geschwindigkeit in Apoastro; v ₂ = Geschwindigkeit am Periaster, r ₁ = Abstand vom Apoaster,

r ₂ = Abstand vom Periaster.

Mit diesen Werten erhalten Sie:

Antwort B)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Mexiko. Cengage Learning Editors. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung. Von pwg.gsfc.nasa.gov wiederhergestellt
3. Hinweis: Die vorgeschlagene Übung wurde aus dem folgenden Text in einem McGrawHill-Buch übernommen und geändert. Leider handelt es sich um ein isoliertes Kapitel im PDF-Format ohne Titel oder Autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf