FACTORIAL RIG: DEFINITION, FORMELN UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Das Fakultätsgerät ist eine einfache Maschine, die aus einer Anordnung von Riemenscheiben mit einem Multiplikationseffekt der Kraft besteht. Auf diese Weise kann eine Last angehoben werden, indem nur das Äquivalent eines Bruchteils des Gewichts auf das freie Ende des Seils aufgebracht wird.

Es besteht aus zwei Sätzen von Riemenscheiben: einer, der an einem Träger befestigt ist, und einer, der die resultierende Kraft auf die Last ausübt. Die Riemenscheiben sind auf einem im Allgemeinen metallischen Rahmen montiert, der sie trägt.

Abbildung 1. Schema einer Fakultätsanlage. Quelle: Pixabay

Abbildung 1 zeigt eine Fakultätsanlage, die aus zwei Gruppen mit jeweils zwei Riemenscheiben besteht. Diese Arten von Riemenscheibenanordnungen werden auch als Serienaufzüge oder Aufzüge bezeichnet.

Formeln für die faktorielle Takelage

Fall 1: Eine mobile und eine feste Riemenscheibe

Um zu verstehen, warum diese Anordnung die ausgeübte Kraft multipliziert, beginnen wir mit dem einfachsten Fall, der aus einer festen Riemenscheibe und einer beweglichen Riemenscheibe besteht.

Abbildung 2. Zwei-Riemenscheiben-Rig.

In Abbildung 2 ist eine Riemenscheibe A mittels einer Stütze an der Decke befestigt. Die Riemenscheibe A kann sich frei um ihre Achse drehen. Wir haben auch eine Riemenscheibe B, an deren Riemenscheibenwelle eine Halterung angebracht ist, auf die die Last gelegt wird. Die Riemenscheibe B kann sich nicht nur frei um ihre Achse drehen, sondern auch vertikal bewegen.

Angenommen, wir befinden uns in einer Gleichgewichtssituation. Betrachten Sie die auf die Riemenscheibe B einwirkenden Kräfte. Die Achse der Riemenscheibe B trägt ein nach unten gerichtetes Gesamtgewicht P. Wenn dies die einzige Kraft auf die Riemenscheibe B wäre, würde sie fallen, aber wir wissen, dass das Seil, das durch diese Riemenscheibe verläuft, auch zwei Kräfte ausübt, nämlich T1 und T2, die nach oben gerichtet sind.

Damit ein Translationsgleichgewicht besteht, müssen die beiden Aufwärtskräfte gleich dem Gewicht sein, das von der Achse der Riemenscheibe B getragen wird.

T1 + T2 = P.

Da sich aber auch die Riemenscheibe B im Rotationsgleichgewicht befindet, ist T1 = T2. Die Kräfte T1 und T2 stammen aus der auf die Saite ausgeübten Spannung, die als T bezeichnet wird.

Daher ist T1 = T2 = T. Einsetzen in die vorherige Gleichung bleibt es:

T + T = P.

2T = P.

Was darauf hinweist, dass die auf das Seil ausgeübte Spannung nur die Hälfte des Gewichts beträgt:

T = P / 2

Wenn die Last beispielsweise 100 kg wäre, würde es ausreichen, eine Kraft von 50 kg auf das freie Ende des Seils auszuüben, um die Last mit konstanter Geschwindigkeit anzuheben.

Fall 2: Zwei bewegliche und zwei feste Riemenscheiben

Betrachten wir nun die Spannungen und Kräfte, die auf eine Baugruppe wirken, die aus zwei Anordnungen der Stützen A und B mit jeweils zwei Riemenscheiben besteht.

Abbildung 3. Kräfte auf ein Rig mit 2 festen Riemenscheiben und 2 beweglichen Riemenscheiben.

Träger B hat die Möglichkeit, sich vertikal zu bewegen, und die auf ihn einwirkenden Kräfte sind:

- Das Gewicht P der Last, senkrecht nach unten zeigend.

- Zwei Spannungen an der großen Riemenscheibe und zwei Spannungen an der kleinen Riemenscheibe. Insgesamt vier Spannungen, die alle nach oben zeigen.

Damit ein Translationsgleichgewicht besteht, müssen die vertikal nach oben weisenden Kräfte der nach unten weisenden Last entsprechen. Das heißt, es muss erfüllt sein:

T + T + T + T = P.

Das heißt, 4 T = P.

Daraus folgt, dass die auf das freie Ende des Seils ausgeübte Kraft T aufgrund der Last, die angehoben werden soll, nur ein Viertel des Gewichts beträgt. T = P / 4.

Mit diesem Wert für die Spannung T kann die Last statisch gehalten werden oder mit konstanter Geschwindigkeit ansteigen. Wenn eine Spannung größer als dieser Wert angelegt würde, würde die Last nach oben beschleunigen, eine Bedingung, die erforderlich ist, um sie aus dem Ruhezustand zu bringen.

Allgemeiner Fall: n bewegliche Riemenscheiben und n feste Riemenscheiben

Gemäß dem, was in den vorhergehenden Fällen gesehen wurde, gibt es für jede Riemenscheibe der mobilen Baugruppe ein paar Aufwärtskräfte, die von dem Seil ausgeübt werden, das durch die Riemenscheibe verläuft. Diese Kraft kann jedoch nichts anderes sein als die Spannung, die am freien Ende auf das Seil ausgeübt wird.

Damit für jede Riemenscheibe der mobilen Baugruppe eine vertikale Kraft nach oben entsteht, die 2 T wert ist. Da sich jedoch n Riemenscheiben in der beweglichen Baugruppe befinden, ergibt sich folgende Gesamtkraft, die vertikal nach oben zeigt:

2 n T.

Für ein vertikales Gleichgewicht ist Folgendes erforderlich:

2 n T = P.

daher ist die am freien Ende ausgeübte Kraft:

T = P / (2 n)

In diesem Fall kann gesagt werden, dass die auf die Last ausgeübte Kraft T 2 n-mal multipliziert wird.

Wenn wir zum Beispiel ein Fakultätsgerät mit 3 festen und 3 beweglichen Riemenscheiben hätten, wäre die Anzahl n gleich 3. Wenn andererseits die Last P = 120 kg wäre, wäre die am freien Ende ausgeübte Kraft T = 120 kg / (2 · 3) = 20 kg.

Gelöste Übungen

Übung 1

Stellen Sie sich ein Fakultätsgerät vor, das aus zwei festen und zwei beweglichen Riemenscheiben besteht. Die maximale Spannung, der das Seil standhalten kann, beträgt 60 kg. Bestimmen Sie, welche maximale Last platziert werden kann.

Lösung

Wenn die Last ruht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hängt ihr Gewicht P mit der Spannung T zusammen, die mittels der folgenden Beziehung auf das Seil ausgeübt wird:

P = 2 n T.

Da es sich um ein Rig mit zwei beweglichen und zwei festen Riemenscheiben handelt, ist n = 2.

Die maximale Last, die platziert werden kann, wird erhalten, wenn T den maximal möglichen Wert hat, der in diesem Fall 60 kg beträgt.

Maximale Belastung = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

Übung 2

Finden Sie die Beziehung zwischen der Seilspannung und dem Gewicht der Last in einem faktoriellen Rig mit zwei Riemenscheiben, in dem die Last mit der Beschleunigung a beschleunigt wird.

Lösung

Der Unterschied dieses Beispiels zu dem, was bisher gesehen wurde, besteht darin, dass die Dynamik des Systems berücksichtigt werden muss. Also schlagen wir Newtons zweites Gesetz vor, um die gewünschte Beziehung zu finden.

Abbildung 4. Dynamik des Fakultätsgeräts.

In Abbildung 4 zeichnen wir die Kräfte aufgrund der Spannung T des Seils gelb. Der bewegliche Teil des Hebezeugs hat eine Gesamtmasse M. Wir nehmen als Referenzsystem eines auf Höhe der ersten festen Riemenscheibe und positiv nach unten.

Y1 ist die Position der untersten Riemenscheibenwelle.

Wir wenden das zweite Newtonsche Gesetz an, um die Beschleunigung a1 des beweglichen Teils des Rigs zu bestimmen:

-4 T + Mg = M a1

Da das Gewicht der Last P = Mg ist, wobei g die Erdbeschleunigung ist, kann die obige Beziehung geschrieben werden:

-4T + P = P (a1 / g)

Wenn wir die Spannung bestimmen wollten, die auf das Seil ausgeübt wird, wenn eine bestimmte Gewichtslast P mit der Beschleunigung a1 beschleunigt, würde die vorherige Beziehung folgendermaßen aussehen:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Beachten Sie, dass a1 = 0 ist, wenn das System in Ruhe ist oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, und wir denselben Ausdruck wiederherstellen würden, den wir in Fall 2 erhalten haben.

Übung 3

In diesem Beispiel wird dieselbe Takelage aus Übung 1 mit demselben Seil verwendet, das maximal 60 kg Spannung trägt. Eine bestimmte Last steigt an und beschleunigt sie in 0,5 s aus der Ruhe auf 1 m / s unter Verwendung der maximalen Spannung des Seils. Finden Sie das maximale Gewicht der Ladung.

Lösung

Wir werden die in Übung 2 erhaltenen Ausdrücke und das Referenzsystem in Abbildung 4 verwenden, bei dem die positive Richtung vertikal nach unten verläuft.

Die Beschleunigung der Last beträgt a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

Das Gewicht der Last in Kilogramm Kraft ist gegeben durch

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 · 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Dies ist das maximal mögliche Gewicht der Last, ohne dass das Seil bricht. Es ist zu beachten, dass der erhaltene Wert kleiner ist als der in Beispiel 1 erhaltene, bei dem angenommen wurde, dass die Last eine Beschleunigung von Null aufweist, dh in Ruhe oder bei konstanter Geschwindigkeit.

Verweise

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