WINKELGESCHWINDIGKEIT: DEFINITION, FORMEL, BERECHNUNG UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Maß für die Drehzahl und wird als der Winkel definiert, der den Positionsvektor des rotierenden Objekts pro Zeiteinheit dreht. Es ist eine Größenordnung, die die Bewegung einer Vielzahl von Objekten, die sich ständig überall drehen, sehr gut beschreibt: CDs, Autoräder, Maschinen, die Erde und viele mehr.

Ein Diagramm des «Londoner Auges» ist in der folgenden Abbildung zu sehen. Es stellt die Bewegung eines Passagiers dar, der durch den Punkt P dargestellt wird, der der Kreisbahn folgt, die als c bezeichnet wird:

Schematische Darstellung der Kreisbahn, der ein Passagier des «Londoner Auges» folgt. Quelle: selbst gemacht.

Der Passagier nimmt zum Zeitpunkt t die Position P ein und die diesem Zeitpunkt entsprechende Winkelposition ist ϕ.

Ab dem Zeitpunkt t vergeht eine Zeitspanne Δt. In diesem Zeitraum ist die neue Position des pünktlichen Passagiers P 'und die Winkelposition hat sich um einen Winkel Δϕ erhöht.

Wie berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit?

Für Rotationsgrößen werden häufig griechische Buchstaben verwendet, um sie von linearen Größen zu unterscheiden. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ω _m ist also zunächst definiert als der in einem bestimmten Zeitraum zurückgelegte Winkel.

Dann wird der Quotient Δφ / & Delta; t wird die Durchschnittswinkelgeschwindigkeit ω darstellen _m zwischen den Zeitpunkten t und t + & Delta; t.

Wenn Sie die Winkelgeschwindigkeit gerade zum Zeitpunkt t berechnen möchten , müssen Sie das Verhältnis Δϕ / Δt berechnen, wenn Δt ➡0:

Beziehung zwischen linearer und Winkelgeschwindigkeit

Die lineare Geschwindigkeit v ist der Quotient zwischen der zurückgelegten Strecke und der dafür zurückgelegten Zeit.

In der obigen Abbildung beträgt der zurückgelegte Bogen Δs. Dieser Bogen ist jedoch proportional zum zurückgelegten Winkel und zum Radius, wobei die folgende Beziehung erfüllt ist, die gültig ist, solange Δϕ im Bogenmaß gemessen wird:

Δs = r ・ Δϕ

Wenn wir den vorherigen Ausdruck durch den Zeitraffer Δt dividieren und die Grenze nehmen, wenn Δt ➡0 ist, erhalten wir:

v = r ・ ω

Gleichmäßige Drehbewegung

Abgebildet ist das berühmte "London Eye", ein 135 m hohes Spinnrad, das sich langsam dreht, damit die Leute an der Basis in die Kabinen steigen und die Londoner Landschaft genießen können. Quelle: Pixabay.

Eine Drehbewegung ist gleichmäßig, wenn zu einem beobachteten Zeitpunkt der zurückgelegte Winkel im gleichen Zeitraum gleich ist.

Wenn die Drehung gleichmäßig ist, stimmt die Winkelgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit überein.

Wenn eine vollständige Drehung durchgeführt wird, beträgt der zurückgelegte Winkel 2 & pgr; (entspricht 360 °). Daher wird bei einer gleichmäßigen Drehung die Winkelgeschwindigkeit & ohgr; mit der Periode T durch die folgende Formel in Beziehung gesetzt:

f = 1 / T.

Das heißt, bei einer gleichmäßigen Drehung wird die Winkelgeschwindigkeit mit der Frequenz in Beziehung gesetzt durch:

ω = 2π ・ f

Gelöste Probleme der Winkelgeschwindigkeit

Übung 1

Die Kabinen des großen Spinnrads "London Eye" bewegen sich langsam. Die Geschwindigkeit der Kabinen beträgt 26 cm / s und das Rad hat einen Durchmesser von 135 m.

Berechnen Sie mit diesen Daten:

i) Die Winkelgeschwindigkeit des Rades

ii) Die Rotationsfrequenz

iii) Die Zeit, die eine Kabine benötigt, um eine vollständige Kurve zu fahren.

Antworten:

i) Die Geschwindigkeit v in m / s beträgt: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Der Radius beträgt den halben Durchmesser: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π · f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 Umdrehungen / s

f = 6,13 · 10 & supmin; & sup4; Umdrehungen / s = 0,0368 Umdrehungen / min = 2,21 Umdrehungen / Stunde.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 Runde / Stunde = 0,45311 Stunde = 27 Minuten 11 Sekunden

Übung 2

Ein Spielzeugauto bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 2 m. Bei 0 s ist seine Winkelposition 0 rad, aber nach einer Zeit t ist seine Winkelposition gegeben durch:

φ (t) = 2 ・ t

Bestimmen:

i) Die Winkelgeschwindigkeit

ii) Die lineare Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt.

Antworten:

i) Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelposition: ω = φ '(t) = 2.

Mit anderen Worten, das Spielzeugauto hat zu jeder Zeit eine konstante Winkelgeschwindigkeit von 2 rad / s.

ii) Die lineare Geschwindigkeit des Fahrzeugs beträgt: v = r ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h

Übung 3

Das gleiche Auto aus der vorherigen Übung beginnt anzuhalten. Seine Winkelposition als Funktion der Zeit ergibt sich aus folgendem Ausdruck:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Bestimmen:

i) Die Winkelgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt

ii) Die lineare Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt

iii) Die Zeit, die benötigt wird, um anzuhalten, sobald es anfängt, sich zu verlangsamen

iv) Der zurückgelegte Winkel

v) zurückgelegte Strecke

Antworten:

i) Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelposition: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Die lineare Geschwindigkeit des Fahrzeugs zu jedem Zeitpunkt ist gegeben durch:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Die Zeit, die benötigt wird, um ab dem Moment anzuhalten, in dem sie zu bremsen beginnt, wird bestimmt, indem der Moment bekannt ist, in dem die Geschwindigkeit v (t) Null wird.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Dies bedeutet, dass es 2 s nach dem Start des Bremsens stoppt.

iv) In der Zeitspanne von 2 Sekunden vom Beginn des Bremsens bis zum Anhalten wird ein durch φ (2) gegebener Winkel zurückgelegt:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 Grad

v) In der Zeitspanne von 2 s vom Beginn des Bremsens bis zum Stopp wird eine Strecke s zurückgelegt, die gegeben ist durch:

s = r ≤ φ = 2 m ≤ 2 rad = 4 m

Übung 4

Die Räder eines Autos haben einen Durchmesser von 80 cm. Wenn das Auto mit 100 km / h fährt. Finden Sie: i) die Winkeldrehzahl der Räder, ii) die Drehzahl der Räder, iii) die Anzahl der Umdrehungen, die das Rad in einer Fahrt von 1 Stunde macht.

Antworten:

i) Zunächst werden wir die Geschwindigkeit des Autos von km / h auf h / s umrechnen

v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Die Winkelgeschwindigkeit der Räder ist gegeben durch:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Die Drehfrequenz der Räder ist gegeben durch:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 Umdrehungen / s

Die Rotationsfrequenz wird üblicherweise in Umdrehungen pro Minute U / min ausgedrückt

f = 11,05 Umdrehungen / s = 11,05 Umdrehungen / (1/60) min = 663,15 U / min

iii) Die Anzahl der Runden, die das Rad in einer einstündigen Fahrt fährt, wird in dem Wissen berechnet, dass 1 Stunde = 60 Minuten ist und dass die Häufigkeit die Anzahl der Runden N geteilt durch die Zeit ist, in der diese N Runden gefahren werden.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (Umdrehungen / min) x 60 min = 39788,7 Umdrehungen.

Verweise

1. Giancoli, D. Physics. Prinzipien mit Anwendungen. 6. Auflage. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Körperlich. Band 1. Dritte Ausgabe in Spanisch. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. 7 .. Auflage. Mexiko. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org