BRAVAIS-NETZWERKE: KONZEPT, EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Bravais-Gitter sind alle vierzehn dimensionalen Einheitszellen, die in den Atomen eines Kristalls platziert werden können. Diese Zellen bestehen aus einer dreidimensionalen Anordnung von Punkten, die eine Grundstruktur bilden, die sich periodisch in den drei Raumrichtungen wiederholt.

Der Ursprung dieses Namens für grundlegende Kristallstrukturen geht auf das Jahr 1850 zurück, als Auguste Bravais zeigte, dass es nur 14 mögliche dreidimensionale grundlegende Einheitszellen gibt.

Figure 1. Bravais-Gitter sind der Satz von 14 Einheitszellen, die zur Beschreibung einer Kristallstruktur erforderlich und ausreichend sind. (Wikimedia Commons)

Die Menge von 14 Bravais-Netzwerken ist entsprechend der Geometrie der Zellen in sieben Gruppen oder Strukturen unterteilt. Diese sieben Gruppen sind:

1- Kubisch

2- Tetragonal

3- Orthorhombisch

4- Trigonal-hexagonal

5- Monoklin

6- Triklinisch

7- Trigonal

Jede dieser Strukturen definiert eine Einheitszelle, wobei dies der kleinste Teil ist, der die geometrische Anordnung der Atome im Kristall beibehält.

Eigenschaften von Bravais-Netzwerken

Die vierzehn Bravais-Netzwerke sind, wie oben erwähnt, in sieben Gruppen unterteilt. Aber jede dieser Gruppen hat ihre Einheitszellen mit ihren charakteristischen Parametern, die sind:

1- Der Netzwerkparameter (a, b, c)

2- Anzahl der Atome pro Zelle

3- Beziehung zwischen Netzwerkparameter und Atomradius

4- Koordinationsnummer

5- Verpackungsfaktor

6- Zwischenräume

7- Durch Translationen entlang der Vektoren a, b, c wird die Kristallstruktur wiederholt.

Kubische Netzwerke

Es besteht aus dem einfachen oder kubischen Gitter P, dem flächenzentrierten Gitter oder dem kubischen Gitter F und dem körperzentrierten Gitter oder dem kubischen Gitter I.

Alle kubischen Netzwerke haben die drei Netzwerkparameter, die den x-, y- und z-Richtungen des gleichen Werts entsprechen:

a = b = c

Kubisches Netzwerk P.

Es ist zweckmäßig zu beachten, dass Atome durch Kugeln dargestellt werden, deren Zentren an den Eckpunkten der kubischen Einheitszelle P liegen.

Im Fall des kubischen Gitters P beträgt die Anzahl der Atome pro Zelle 1, da sich an jedem Scheitelpunkt nur ein Achtel des Atoms innerhalb der Einheitszelle befindet, also 8 * ⅛ = 1.

Die Koordinationszahl gibt die Anzahl der Atome an, die nahe Nachbarn im Kristallgitter sind. Im Fall des kubischen Gitters P beträgt die Koordinationszahl 6.

Kubisches Netzwerk I.

In dieser Art von Netzwerk befindet sich zusätzlich zu den Atomen an den Eckpunkten des Würfels ein Atom in der Mitte des Würfels. Die Anzahl der Atome pro Einheitszelle im kubischen Gitter P beträgt also 2 Atome.

Abbildung 2. Körperzentriertes kubisches Gitter.

Kubisches Netzwerk F.

Es ist das kubische Gitter, das zusätzlich zu den Atomen in den Eckpunkten ein Atom in der Mitte der Fläche jedes Würfels hat. Die Anzahl der Atome pro Zelle beträgt 4, da jedes der sechs Gesichtsatome die Hälfte in der Zelle hat, dh 6 * ½ = 3 plus 8 * ⅛ = 1 an den Eckpunkten.

Abbildung 3. Flächenzentriertes kubisches Gitter.

Sechseckiges Netz

In diesem Fall ist die Einheitszelle ein gerades Prisma mit einer hexagonalen Basis. Hexagonale Netzwerke haben die drei entsprechenden Netzwerkparameter, die die folgende Beziehung erfüllen:

a = b ≠ c

Der Winkel zwischen Vektor a und b beträgt 120 °, wie in der Abbildung gezeigt. Während zwischen den Vektoren a und c sowie zwischen b und c rechte Winkel gebildet werden.

Abbildung 4. Sechseckiges Netzwerk.

Die Anzahl der Atome pro Zelle wird wie folgt berechnet:

- In jeder der 2 Basen des hexagonalen Prismas befinden sich 6 Atome in den sechs Eckpunkten. Jedes dieser Atome nimmt ⅙ der Elementarzelle ein.

- In der Mitte jeder der 2 hexagonalen Basen befindet sich 1 Atom, das eine halbe Einheitszelle einnimmt.

- In den 6 Seitenflächen des hexagonalen Prismas befinden sich 3 Atome, die jeweils ⅔ der Einheitszelle einnehmen, und 3 Atome, die jeweils ⅓ des Volumens der Einheitszelle einnehmen.

(6 x ⅙) x 2 + ½ x 2 + ⅔ x 3 + ⅓ x 3 = 6

Die Beziehung zwischen den Gitterparametern a und b mit dem Atomradius R unter der Annahme, dass alle Atome den gleichen Radius haben und in Kontakt stehen, ist:

a / R = b / R = 2

Beispiele

Metalle sind die Hauptbeispiele für kristalline Strukturen und auch die einfachsten, da sie im Allgemeinen nur aus einem Atomtyp bestehen. Es gibt aber auch andere nichtmetallische Verbindungen, die ebenfalls kristalline Strukturen bilden, wie Diamant, Quarz und viele andere.

- Das Bügeleisen

Eisen hat eine einfache kubische Einheitszelle mit einem Gitter- oder Kantenparameter a = 0,297 nm. In 1 mm gibt es 3,48 x 10 ^ 6 Einheitszellen.

- Kupfer

Es hat eine flächenzentrierte kubische Kristallstruktur, die nur aus Kupferatomen besteht.

- Wertvolle Edelsteine

Edelsteine ​​sind kristalline Strukturen aus im Wesentlichen derselben Verbindung, jedoch mit kleinen Anteilen an Verunreinigungen, die häufig für ihre Farbe verantwortlich sind.

Diamant

Es besteht ausschließlich aus Kohlenstoff und enthält keine Verunreinigungen, weshalb es farblos ist. Diamant hat eine kubische (isometrisch-hexoktaedrische) Kristallstruktur und ist das härteste bekannte Material.

Quarz

Es besteht aus Siliciumdioxid, ist im Allgemeinen farblos oder weiß. Seine kristalline Struktur ist trigonal-trapezoedrisch.

Rubin

Edelsteine ​​haben im Allgemeinen eine grüne Farbe, eine monokline Struktur und bestehen aus Eisen-Magnesium-Calcium-Silikat.

Topas

Übung 1

Finden Sie die Beziehung zwischen dem Gitterparameter und dem Atomradius für ein kubisches Gitter F.

Lösung: Zunächst wird angenommen, dass die Atome als Kugeln mit dem gesamten Radius R in "Kontakt" miteinander dargestellt sind, wie in der Abbildung gezeigt. Es bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem:

(4 R) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 = 2 a ^ 2

Daher lautet die Kanten-Radius-Beziehung:

a / R = 4 / √2

Übung 2

Finden Sie die Beziehung zwischen dem Gitterparameter und dem Atomradius für ein kubisches Gitter I (körperzentriert).

Lösung: Es wird angenommen, dass Atome als Kugeln mit dem gesamten Radius R in "Kontakt" miteinander dargestellt werden, wie in der Abbildung gezeigt.

Es werden zwei rechtwinklige Dreiecke gebildet, eines der Hypotenuse √2a und das andere der Hypotenuse √3a, wie mit dem Satz von Pythagoras bewiesen werden kann. Von dort haben wir, dass die Beziehung zwischen dem Gitterparameter und dem Atomradius für ein kubisches Gitter I (im Körper zentriert) ist:

a / R = 4 / √3

Übung 3

Finden Sie den Packungsfaktor F für eine Einheitszelle einer kubischen Struktur F (kubisch flächenzentriert), in der die Atome den Radius R haben und in "Kontakt" stehen.

Lösung: Der Packungsfaktor F ist definiert als der Quotient zwischen dem von den Atomen in der Elementarzelle eingenommenen Volumen und dem Volumen der Zelle:

F = V Atome / V Zelle

Wie oben gezeigt, beträgt die Anzahl der Atome pro Einheitszelle in einem flächenzentrierten kubischen Gitter 4, daher beträgt der Packungsfaktor:

F = 4 / =…

… 4 / ^ 3 = (√2) π / 6 = 0,74

Verweise

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