UNABHÄNGIGE VERANSTALTUNGEN: DEMONSTRATION, BEISPIELE, ÜBUNGEN - DUDAS - 2025

Zwei Ereignisse sind unabhängig , wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen auftritt, nicht durch die Tatsache beeinflusst wird, dass das andere auftritt - oder nicht auftritt -, wenn man bedenkt, dass diese Ereignisse zufällig auftreten.

Dieser Umstand tritt immer dann auf, wenn der Prozess, der das Ergebnis von Ereignis 1 erzeugt, die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse von Ereignis 2 in keiner Weise ändert. Wenn dies jedoch nicht geschieht, werden die Ereignisse als abhängig bezeichnet.

Abbildung 1. Farbige Murmeln werden häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse zu erklären. Quelle: Pixabay.

Eine unabhängige Ereignissituation ist wie folgt: Angenommen, zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt, einer blau und der andere rosa. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 auf dem blauen Würfel würfelt, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 auf dem rosa Würfel würfelt oder nicht.

Ein weiterer Fall von zwei unabhängigen Ereignissen ist das zweimalige Werfen einer Münze hintereinander. Das Ergebnis des ersten Wurfs hängt nicht vom Ergebnis des zweiten Wurfs ab und umgekehrt.

Beweis von zwei unabhängigen Ereignissen

Um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind, definieren wir das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in Bezug auf ein anderes. Hierzu muss zwischen exklusiven und inklusiven Veranstaltungen unterschieden werden:

Zwei Ereignisse sind exklusiv, wenn die möglichen Werte oder Elemente von Ereignis A nichts mit den Werten oder Elementen von Ereignis B gemeinsam haben.

Daher ist in zwei exklusiven Ereignissen die Menge des Schnittpunkts von A mit B das Vakuum:

Ausgenommen Ereignisse: A∩B = Ø

Im Gegenteil, wenn die Ereignisse inklusive sind, kann es vorkommen, dass ein Ergebnis von Ereignis A auch mit dem eines anderen B übereinstimmt, wobei A und B unterschiedliche Ereignisse sind. In diesem Fall:

Inklusive Veranstaltungen: A∩B ≠ Ø

Dies führt uns dazu, die bedingte Wahrscheinlichkeit von zwei inklusiven Ereignissen zu definieren, mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, wann immer Ereignis B auftritt:

P (A … B) = P (A - B) / P (B)

Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass A und B auftreten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass B unter der Bedingung von A auftritt, kann auch definiert werden:

P (B … A) = P (A - B) / P (A)

Kriterien, um zu wissen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind

Als nächstes geben wir drei Kriterien an, um festzustellen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Es reicht aus, wenn einer der drei erfüllt ist, um die Unabhängigkeit der Ereignisse zu demonstrieren.

1.- Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A bei jedem Auftreten von B auftritt, gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist, handelt es sich um unabhängige Ereignisse:

P (A … B) = P (A) => A ist unabhängig von B.

2.- Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass B bei A auftritt, gleich der Wahrscheinlichkeit von B ist, gibt es unabhängige Ereignisse:

P (B … A) = P (B) => B ist unabhängig von A.

3.- Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A und B auftreten, gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, und der Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, ist, handelt es sich um unabhängige Ereignisse. Das Gegenteil ist auch wahr.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A und B sind unabhängige Ereignisse.

Beispiele für unabhängige Ereignisse

Gummisohlen von zwei verschiedenen Lieferanten werden verglichen. Die Proben jedes Herstellers werden mehreren Tests unterzogen, aus denen geschlossen wird, ob sie innerhalb der Spezifikationen liegen oder nicht.

Abbildung 2. Verschiedene Gummisohlen. Quelle: Pixabay.

Die resultierende Zusammenfassung der 252 Proben lautet wie folgt:

Hersteller 1; 160 erfüllen die Spezifikationen; 8 erfüllen nicht die Spezifikationen.

Hersteller 2; 80 erfüllen die Spezifikationen; 4 erfüllen nicht die Spezifikationen.

Ereignis A: "dass die Probe vom Hersteller 1 stammt".

Ereignis B: "dass die Probe den Spezifikationen entspricht."

Wir möchten wissen, ob diese Ereignisse A und B unabhängig sind oder nicht, für die wir eines der drei im vorherigen Abschnitt genannten Kriterien anwenden.

Kriterium: P (B … A) = P (B) => B ist unabhängig von A.

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B … A) = P (A - B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Schlussfolgerung: Die Ereignisse A und B sind unabhängig.

Angenommen, Ereignis C: "Die Probe stammt von Hersteller 2"

Wird Ereignis B unabhängig von Ereignis C sein?

Wir wenden eines der Kriterien an.

Kriterium: P (B … C) = P (B) => B ist unabhängig von C.

P (B … C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Basierend auf den verfügbaren Daten ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Gummisohle die Spezifikationen erfüllt, vom Hersteller unabhängig.

Konvertieren Sie ein unabhängiges Ereignis in ein abhängiges Ereignis

Schauen wir uns das folgende Beispiel an, um zwischen abhängigen und unabhängigen Ereignissen zu unterscheiden.

Wir haben eine Tasche mit zwei weißen Schokoladenkugeln und zwei schwarzen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, einen weißen oder einen schwarzen Ball zu bekommen, ist beim ersten Versuch gleich.

Angenommen, das Ergebnis war ein Spielball. Wenn der gezogene Ball im Beutel ersetzt wird, wiederholt sich die ursprüngliche Situation: zwei weiße und zwei schwarze Bälle.

Bei einem zweiten Event oder Unentschieden sind die Chancen, einen Spielball oder einen schwarzen Ball zu ziehen, identisch mit dem ersten Mal. Sie sind daher unabhängige Ereignisse.

Wenn der im ersten Event gezogene Spielball nicht ersetzt wird, weil wir ihn gegessen haben, besteht beim zweiten Draw eine größere Chance, einen schwarzen Ball zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zweite Extraktion wieder weiß wird, unterscheidet sich von der des ersten Ereignisses und wird durch das vorherige Ergebnis bedingt.

Übungen

- Übung 1

In eine Schachtel legen wir die 10 Murmeln von Abbildung 1, von denen 2 grün, 4 blau und 4 weiß sind. Zwei Murmeln werden zufällig ausgewählt, eine zuerst und eine später. Es wird gebeten, die
Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass keiner von ihnen unter den folgenden Bedingungen blau ist:

a) Mit Ersatz, dh den ersten Marmor vor der zweiten Auswahl in die Schachtel zurückgeben. Geben Sie an, ob es sich um unabhängige oder abhängige Ereignisse handelt.

b) Ohne Ersatz, so dass der erste extrahierte Marmor zum Zeitpunkt der zweiten Auswahl aus der Schachtel gelassen wird. Geben Sie in ähnlicher Weise an, ob es sich um abhängige oder unabhängige Ereignisse handelt.

Lösung für

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass der erste extrahierte Marmor nicht blau ist, was 1 minus der Wahrscheinlichkeit ist, dass er blau P (A) ist, oder direkt, dass er nicht blau ist, weil er grün oder weiß herausgekommen ist:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nicht blau sein) = 1 - (2/5) = 3/5

Ach ja:

P (grün oder weiß) = 6/10 = 3/5.

Wenn der extrahierte Marmor zurückgegeben wird, ist alles wie zuvor. Bei dieser zweiten Ziehung besteht ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit von 3/5, dass der gezeichnete Marmor nicht blau ist.

P (nicht blau, nicht blau) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Die Ereignisse sind unabhängig, da der extrahierte Marmor in die Schachtel zurückgebracht wurde und das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des zweiten nicht beeinflusst.

Lösung b

Gehen Sie für die erste Extraktion wie im vorherigen Abschnitt vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht blau ist, beträgt 3/5.

Für die zweite Extraktion haben wir 9 Murmeln im Beutel, da der erste nicht zurückgekehrt ist, aber nicht blau war, daher gibt es im Beutel 9 Murmeln und 5 nicht blau:

P (grün oder weiß) = 5/9.

P (keine ist blau) = P (zuerst nicht blau). P (zweite nicht blau / erste nicht blau) = (3/5). (5/9) = 1/3

In diesem Fall handelt es sich nicht um unabhängige Ereignisse, da das erste Ereignis das zweite bedingt.

- Übung 2

Ein Geschäft hat 15 Hemden in drei Größen: 3 kleine, 6 mittlere und 6 große. 2 Shirts werden zufällig ausgewählt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Shirts klein sind, wenn eines zuerst genommen wird und kein anderes im Los ersetzt wird?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Hemden klein sind, wenn eines zuerst gezogen, im Stapel ersetzt und das zweite entfernt wird?

Lösung für

Hier sind zwei Ereignisse:

Ereignis A: Das erste ausgewählte Shirt ist klein

Ereignis B: Das zweite ausgewählte Shirt ist klein

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A auftritt, ist: P (A) = 3/15

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt, ist: P (B) = 2/14, da ein Hemd bereits entfernt wurde (14 verbleiben), aber zusätzlich, wenn Ereignis A erfüllt werden soll, muss das erste entfernte Hemd klein sein und daher beide sind 2 klein.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass A und B das Produkt der Wahrscheinlichkeiten sind, ist:

P (A und B) = P (B … A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und B auftreten, gleich dem Produkt, dass Ereignis A auftritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt, wenn Ereignis A.

Es sollte erwähnt werden, dass:

P (B … A) = 2/14

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt, unabhängig davon, ob Ereignis A auftritt oder nicht, beträgt:

P (B) = (2/14), wenn der erste klein war, oder P (B) = 3/14, wenn der erste nicht klein war.

Im Allgemeinen kann Folgendes geschlossen werden:

P (B … A) ist nicht gleich P (B) => B ist nicht unabhängig von A.

Lösung b

Wieder gibt es zwei Ereignisse:

Ereignis A: Das erste ausgewählte Shirt ist klein

Ereignis B: Das zweite ausgewählte Shirt ist klein

P (A) = 3/15

Denken Sie daran, dass unabhängig vom Ergebnis das aus der Charge gezogene Hemd ersetzt wird und erneut ein Hemd nach dem Zufallsprinzip gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, wenn Ereignis A eintritt, ist:

P (B … A) = 3/15

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B auftreten, ist:

P (A und B) = P (B … A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Beachten Sie, dass:

P (B … A) ist gleich P (B) => B ist unabhängig von A.

- Übung 3

Betrachten Sie zwei unabhängige Ereignisse A und B. Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A auftritt, 0,2 und die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt, 0,3 beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten?

Lösung 2

In dem Wissen, dass die Ereignisse unabhängig sind, ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist. Das heißt,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 · 0,3 = 0,06

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit weitaus geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis unabhängig vom Ergebnis des anderen eintritt. Oder anders ausgedrückt, viel niedriger als die individuellen Gewinnchancen.

Verweise

1. Berenson, M. 1985. Statistik für Management und Wirtschaft. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse. Wiederhergestellt von: monterreyinstitute.org
3. Mathematiklehrer. Unabhängige Veranstaltungen. Wiederhergestellt von: youtube.com
4. Superprof. Arten von Ereignissen, abhängige Ereignisse. Wiederhergestellt von: superprof.es
5. Virtueller Tutor. Wahrscheinlichkeit. Wiederhergestellt von: vitutor.net
6. Wikipedia. Unabhängigkeit (Wahrscheinlichkeit). Wiederhergestellt von: wikipedia.com