Die freien Vektoren sind diejenigen, die durch ihre Größe, Richtung und Richtung vollständig spezifiziert sind, ohne dass es notwendig ist , einen Anwendungspunkt oder einen bestimmten Ursprung anzugeben.
Da auf diese Weise unendliche Vektoren gezeichnet werden können, ist ein freier Vektor keine einzelne Entität, sondern eine Menge paralleler und identischer Vektoren, die unabhängig davon sind, wo sie sich befinden.
Figure 1. Verschiedene freie Vektoren. Quelle: selbst gemacht.
Nehmen wir an, wir haben mehrere Vektoren der Größe 3, die vertikal nach oben gerichtet sind, oder der Größe 5 und sind nach rechts geneigt, wie in Abbildung 1 dargestellt.
Keiner dieser Vektoren wird zu irgendeinem Zeitpunkt spezifisch angewendet. Dann ist jeder der blauen oder grünen Vektoren repräsentativ für ihre jeweilige Gruppe, da sich ihre Eigenschaften - Modul, Richtung und Sinn - überhaupt nicht ändern, wenn sie an einen anderen Ort in der Ebene übertragen werden.
Ein freier Vektor wird im gedruckten Text normalerweise durch einen fetten Kleinbuchstaben gekennzeichnet, z. B. v. Oder mit einem Kleinbuchstaben und einem Pfeil darüber, wenn es sich um handgeschriebenen Text handelt .
Der Vorteil, den freie Vektoren haben, besteht darin, dass sie durch die Ebene oder durch den Raum bewegt werden können und ihre Eigenschaften beibehalten, da jeder Vertreter der Menge gleichermaßen gültig ist.
Deshalb werden sie in Physik und Mechanik häufig eingesetzt. Um beispielsweise die lineare Geschwindigkeit eines zu übersetzenden Volumenkörpers anzuzeigen, muss kein bestimmter Punkt auf dem Objekt ausgewählt werden. Der Geschwindigkeitsvektor verhält sich also wie ein freier Vektor.
Ein weiteres Beispiel für einen freien Vektor ist das Kräftepaar. Ein Paar besteht aus zwei Kräften gleicher Größe und Richtung, aber entgegengesetzter Richtung, die an verschiedenen Punkten auf einen Körper ausgeübt werden. Die Wirkung eines Paares besteht nicht darin, das Objekt zu bewegen, sondern dank des erzeugten Moments eine Rotation zu verursachen.
Abbildung 2 zeigt einige auf ein Lenkrad ausgeübte Kräfte. Durch die Kräfte F 1 und F 2 wird das Drehmoment erzeugt, das das Schwungrad um seine Mitte und im Uhrzeigersinn dreht.
Abbildung 2. Ein paar Kräfte, die auf ein Lenkrad wirken, drehen es im Uhrzeigersinn. Quelle: Bielasko.
Sie können einige Änderungen am Drehmoment vornehmen und trotzdem den gleichen Rotationseffekt erzielen, z. B. die Kraft erhöhen, aber den Abstand zwischen ihnen verringern. Oder halten Sie die Kraft und den Abstand ein, aber wenden Sie das Drehmoment auf ein anderes Paar von Punkten am Lenkrad an, dh drehen Sie das Drehmoment um die Mitte.
Das Moment des Paares oder einfach des Paares ist ein Vektor, dessen Modul Fd ist und der senkrecht zur Ebene des Schwungrads gerichtet ist. In dem durch Konvention gezeigten Beispiel hat die Drehung im Uhrzeigersinn eine negative Richtung.
Eigenschaften und Merkmale
Im Gegensatz zum freien Vektor v sind die Vektoren AB und CD fest (siehe Abbildung 3), da sie einen bestimmten Start- und Ankunftspunkt haben. Da sie jedoch untereinander und wiederum mit dem Vektor v teamnachsichtig sind, sind sie repräsentativ für den freien Vektor v .
Abbildung 3. Freie Vektoren, Teamlinsenvektoren und feste Vektoren. Quelle: selbst gemacht.
Die Haupteigenschaften von freien Vektoren sind die folgenden:
-Jeder Vektor AB (siehe Abbildung 2) ist wie gesagt repräsentativ für den freien Vektor v .
-Das Modul, die Richtung und der Sinn sind bei jedem Vertreter des freien Vektors gleich. In 2 stellen die Vektoren AB und CD den freien Vektor v dar und sind Teamlinsen.
- Wenn ein Punkt P im Raum gegeben ist, ist es immer möglich, einen Vertreter des freien Vektors v zu finden, dessen Ursprung in P liegt, und dieser Vertreter ist eindeutig. Dies ist die wichtigste Eigenschaft von freien Vektoren und die, die sie so vielseitig macht.
- Ein nullfreier Vektor wird als 0 bezeichnet und ist die Menge aller Vektoren, denen Größe, Richtung und Sinn fehlen.
-Wenn der Vektor AB den freien Vektor v darstellt , repräsentiert der Vektor BA den freien Vektor - v .
-Die Notation V 3 wird verwendet , um die Menge aller freien Vektoren im Raum zu bezeichnen, und V 2 , um alle freien Vektoren in der Ebene zu bezeichnen.
Gelöste Übungen
Mit freien Vektoren können die folgenden Operationen ausgeführt werden:
-Summe
-Subtraktion
-Multiplikation des Skalars durch einen Vektor
-Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren.
-Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren
-Lineare Kombination von Vektoren
Und mehr.
-Übung 1
Ein Schüler versucht, von einem Punkt am Ufer eines Flusses zu einem anderen gegenüber zu schwimmen. Um dies zu erreichen, schwimmt es direkt mit einer Geschwindigkeit von 6 km / h in senkrechter Richtung, jedoch hat die Strömung eine Geschwindigkeit von 4 km / h, die es ablenkt.
Berechnen Sie die resultierende Geschwindigkeit des Schwimmers und wie stark er von der Strömung abgelenkt wird.
Lösung
Die resultierende Geschwindigkeit des Schwimmers ist die Vektorsumme seiner Geschwindigkeit (in Bezug auf den Fluss, vertikal nach oben gezogen) und der Geschwindigkeit des Flusses (von links nach rechts gezogen), die wie in der folgenden Abbildung gezeigt ausgeführt wird:
Die Größe der resultierenden Geschwindigkeit entspricht der Hypotenuse des gezeigten rechtwinkligen Dreiecks, daher:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Die Richtung kann durch den Winkel in Bezug auf die Senkrechte zum Ufer berechnet werden:
α = arctg (4/6) = 33,7º oder 56,3º in Bezug auf das Ufer.
Übung 2
Finden Sie den Moment des in der Abbildung gezeigten Kraftpaares:
Lösung
Der Moment wird berechnet durch:
M = r x F.
Die Einheiten des Augenblicks sind lb-f.ft. Da sich das Paar in der Ebene des Bildschirms befindet, ist das Moment senkrecht dazu gerichtet, entweder nach außen oder nach innen.
Da das Drehmoment im Beispiel dazu neigt, das Objekt, auf das es angewendet wird (was in der Abbildung nicht gezeigt ist), im Uhrzeigersinn zu drehen, wird davon ausgegangen, dass dieses Moment zur Innenseite des Bildschirms zeigt und ein negatives Vorzeichen hat.
Die Größe des Moments ist M = Fdsen a, wobei a der Winkel zwischen der Kraft und dem Vektor r ist. Sie müssen einen Punkt auswählen, für den der Moment berechnet werden soll. Dies ist ein freier Vektor. Der Ursprung des Bezugssystems wird gewählt, daher geht r von O zum Angriffspunkt jeder Kraft.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. Fuß
Das Nettomoment ist die Summe von M 1 und M 2 : -17329,5 lb-f. Fuß.
Verweise
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- Vektoradditionsrechner. Wiederhergestellt von: 1728.org
- Vektoren. Wiederhergestellt von: en.wikibooks.org