Die diskrete Mathematik entspricht einem Bereich der Mathematik, der für das Studium der Menge natürlicher Zahlen verantwortlich ist. das heißt, die Menge von zählbaren endlichen und unendlichen Zahlen, bei denen die Elemente einzeln einzeln gezählt werden können.

Diese Mengen werden als diskrete Mengen bezeichnet. Ein Beispiel für diese Mengen sind ganze Zahlen, Graphen oder logische Ausdrücke, und sie werden in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft angewendet, hauptsächlich in der Informatik oder im Computer.

Beschreibung

In der diskreten Mathematik sind die Prozesse zählbar, sie basieren auf ganzen Zahlen. Dies bedeutet, dass keine Dezimalzahlen verwendet werden und daher keine Annäherungen oder Grenzwerte wie in anderen Bereichen verwendet werden. Zum Beispiel kann ein Unbekannter gleich 5 oder 6 sein, aber niemals 4,99 oder 5,9.

Andererseits sind in der grafischen Darstellung die Variablen diskret und werden aus einer endlichen Menge von Punkten angegeben, die nacheinander gezählt werden, wie in der Abbildung gezeigt:

Diskrete Mathematik ergibt sich aus der Notwendigkeit, eine genaue Studie zu erhalten, die kombiniert und getestet werden kann, um sie in verschiedenen Bereichen anzuwenden.

Wofür ist diskrete Mathematik?

Diskrete Mathematik wird in mehreren Bereichen verwendet. Unter den wichtigsten sind die folgenden:

Kombinatorisch

Studieren Sie endliche Mengen, in denen Elemente geordnet oder kombiniert und gezählt werden können.

Diskrete Verteilungstheorie

Untersucht Ereignisse, die in Räumen auftreten, in denen Proben zählbar sind, in denen kontinuierliche Verteilungen verwendet werden, um diskrete Verteilungen zu approximieren, oder umgekehrt.

Informationstheorie

Es bezieht sich auf die Codierung von Informationen, die zum Entwerfen und Übertragen und Speichern von Daten wie analogen Signalen verwendet werden.

Computing

Durch diskrete Mathematik werden Probleme mithilfe von Algorithmen gelöst sowie was berechnet werden kann und wie lange es dauert (Komplexität).

Die Bedeutung der diskreten Mathematik in diesem Bereich hat in den letzten Jahrzehnten insbesondere für die Entwicklung von Programmiersprachen und Software zugenommen.

Kryptographie

Es basiert auf diskreter Mathematik, um Sicherheitsstrukturen oder Verschlüsselungsmethoden zu erstellen. Ein Beispiel für diese Anwendung sind Kennwörter, die Bits mit Informationen separat senden.

Durch die Untersuchung der Eigenschaften der ganzen Zahlen und der Primzahlen (Theorie der Zahlen) können diese Sicherheitsmethoden erstellt oder zerstört werden.

Logik

Diskrete Strukturen, die im Allgemeinen eine endliche Menge bilden, werden verwendet, um Theoreme zu beweisen oder beispielsweise Software zu verifizieren.

Graphentheorie

Es ermöglicht die Lösung logischer Probleme mithilfe von Knoten und Linien, die eine Art Diagramm bilden, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

In der Mathematik gibt es verschiedene Mengen, die bestimmte Zahlen nach ihren Merkmalen gruppieren. So haben wir zum Beispiel:

- Satz natürlicher Zahlen N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Menge von ganzen Zahlen E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Teilmenge der rationalen Zahlen Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Menge reeller Zahlen R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Sets werden mit Großbuchstaben des Alphabets benannt. Während die Elemente in Kleinbuchstaben, in geschweiften Klammern ({}) und durch Kommas (,) getrennt sind. Sie werden in der Regel in Diagrammen wie Venn und Caroll sowie rechnerisch dargestellt.

Bei grundlegenden Operationen wie Vereinigung, Schnittmenge, Komplement, Differenz und kartesischem Produkt werden die Mengen und ihre Elemente basierend auf der Zugehörigkeitsbeziehung behandelt.

Es gibt verschiedene Arten von Mengen, die in der diskreten Mathematik am häufigsten untersucht werden:

Endliche Menge

Es ist eines, das eine endliche Anzahl von Elementen hat und das einer natürlichen Anzahl entspricht. So ist beispielsweise A = {1, 2, 3,4} eine endliche Menge mit 4 Elementen.

Unendliches Buchhaltungsset

Es ist eines, bei dem es eine Entsprechung zwischen den Elementen einer Menge und den natürlichen Zahlen gibt; Das heißt, von einem Element aus können alle Elemente einer Menge nacheinander aufgelistet werden.

Auf diese Weise entspricht jedes Element jedem Element der Menge natürlicher Zahlen. Beispielsweise:

Die Menge der ganzen Zahlen Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} kann als Z = {0, 1, -1, 2, -2…} aufgeführt werden. Auf diese Weise ist es möglich, eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Elementen von Z und den natürlichen Zahlen herzustellen, wie im folgenden Bild zu sehen ist: