DREIECKE: GESCHICHTE, ELEMENTE, KLASSIFIKATION, EIGENSCHAFTEN - WISSENSCHAFT - 2025

Die Dreiecke sind flache und geschlossene geometrische Figuren, die aus drei Seiten bestehen. Ein Dreieck wird durch drei Linien bestimmt, die zwei mal zwei schneiden und drei Winkel miteinander bilden. Die dreieckige Form voller Symbolik ist in unzähligen Objekten und als Konstruktionselement vorhanden.

Der Ursprung des Dreiecks geht in der Geschichte verloren. Aus den archäologischen Beweisen ist bekannt, dass die primitive Menschheit es gut wusste, da die archäologischen Überreste bestätigen, dass es in Werkzeugen und Waffen verwendet wurde.

Abbildung 1. Dreiecke. Quelle: Publicdomainpictures.

Es ist auch offensichtlich, dass die alten Ägypter eine solide Kenntnis der Geometrie und insbesondere der Dreiecksform besaßen. Sie spiegelten sich in den architektonischen Elementen der monumentalen Gebäude wider.

Im Rhind-Papyrus finden sich Formeln zur Berechnung von Flächen von Dreiecken und Trapezoiden sowie einige Volumina und andere Konzepte der rudimentären Trigonometrie.

Es ist bekannt, dass die Babylonier in der Lage waren, die Fläche des Dreiecks und anderer geometrischer Figuren zu berechnen, die sie für praktische Zwecke wie Landteilungen verwendeten. Sie kannten sich auch mit vielen Eigenschaften von Dreiecken aus.

Es waren jedoch die alten Griechen, die viele der heute vorherrschenden geometrischen Konzepte systematisierten, obwohl ein Großteil dieses Wissens nicht exklusiv war, da es sicherlich mit diesen anderen alten Zivilisationen geteilt wurde.

Dreieckselemente

Die Elemente eines Dreiecks sind in der folgenden Abbildung angegeben. Es gibt drei: Eckpunkte, Seiten und Winkel.

Abbildung 2. Notation von Dreiecken und ihren Elementen. Quelle: Wikimedia Commons, modifiziert von F. Zapata

-Vertices : sind die Schnittpunkte der Linien, deren Segmente das Dreieck bestimmen. In der obigen Abbildung schneidet beispielsweise die Linie L _AC , die das Segment AC enthält, die Linie L _AB , die das Segment AB enthält, genau am Punkt A.

- Seiten : Zwischen jedem Scheitelpunktpaar wird ein Liniensegment gezeichnet, das eine Seite des Dreiecks bildet. Dieses Segment kann durch die Endbuchstaben oder durch Verwendung eines bestimmten Buchstabens gekennzeichnet werden. In dem Beispiel von 2 wird die Seite AB auch als "c" bezeichnet.

- Winkel : Zwischen jeder Seite mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt entsteht ein Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem des Dreiecks übereinstimmt. Im Allgemeinen wird der Winkel durch einen griechischen Buchstaben bezeichnet, wie am Anfang angegeben.

Um ein bestimmtes Dreieck mit einer bestimmten Form und Größe zu erstellen, müssen Sie nur einen der folgenden Datensätze verwenden:

-Die drei Seiten, ganz offensichtlich im Fall eines Dreiecks.

- Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, und sofort wird die verbleibende Seite gezeichnet.

-Zwei (Innen-) Winkel und die Seite zwischen ihnen. Durch Erweiterung werden die beiden fehlenden Seiten gezeichnet und das Dreieck ist fertig.

Notation

Im Allgemeinen werden in der Dreiecksnotation die folgenden Konventionen verwendet: Scheitelpunkte werden durch lateinische Großbuchstaben, Seiten durch lateinische Kleinbuchstaben und Winkel durch griechische Buchstaben angegeben (siehe Abbildung 2).

Auf diese Weise wird das Dreieck nach seinen Eckpunkten benannt. Zum Beispiel ist das Dreieck links in Abbildung 2 das Dreieck ABC und das Dreieck rechts das Dreieck A'B'C '.

Es ist auch möglich, andere Notationen zu verwenden. Beispielsweise wird der Winkel α in Fig. 2 als BAC bezeichnet. Beachten Sie, dass der Buchstabe des Scheitelpunkts in die Mitte geht und die Buchstaben gegen den Uhrzeigersinn geschrieben sind.

In anderen Fällen wird der Winkel mit einem Caret bezeichnet:

α = ∠A

Arten von Dreiecken

Es gibt verschiedene Kriterien für die Klassifizierung von Dreiecken. Am üblichsten ist es, sie nach dem Maß ihrer Seiten oder nach dem Maß ihrer Winkel zu klassifizieren. Abhängig vom Maß ihrer Seiten können die Dreiecke sein: Skalen, gleichschenklig oder gleichseitig:

-Scaleno : seine drei Seiten sind unterschiedlich.

-Isósceles : Es hat zwei gleiche Seiten und eine andere Seite.

-Equilátero : Die drei Seiten sind gleich.

Abbildung 3. Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Seiten. Quelle: F. Zapata

Entsprechend dem Maß ihrer Winkel werden die Dreiecke wie folgt benannt:

- Hindernis , wenn einer der Innenwinkel größer als 90 ° ist.

- Akuter Winkel , wenn die drei Innenwinkel des Dreiecks spitz sind, dh weniger als 90 °

- Rechteck , falls einer seiner Innenwinkel 90º wert ist. Die Seiten, die 90º bilden, werden Beine genannt und die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse.

Abbildung 4. Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Innenwinkeln. Quelle: F. Zapata.

Kongruenz von Dreiecken

Wenn zwei Dreiecke dieselbe Form und Größe haben, werden sie als kongruent bezeichnet. Kongruenz hängt natürlich mit Gleichheit zusammen. Warum spricht Geometrie also von "zwei kongruenten Dreiecken" anstelle von "zwei gleichen Dreiecken"?

Nun, es wird bevorzugt, den Begriff "Kongruenz" zu verwenden, um an der Wahrheit festzuhalten, da zwei Dreiecke dieselbe Form und Größe haben können, aber in der Ebene unterschiedlich ausgerichtet sind (siehe Abbildung 3). Aus geometrischer Sicht wären sie nicht mehr genau gleich.

Abbildung 5. Kongruente Dreiecke, aber nicht unbedingt gleich, da ihre Ausrichtung in der Ebene unterschiedlich ist. Quelle: F. Zapata.

Kongruenzkriterien

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eines der folgenden Ereignisse eintritt:

-Die drei Seiten messen das gleiche (wieder ist dies die offensichtlichste).

-Sie haben zwei identische Seiten und mit dem gleichen Winkel zwischen ihnen.

- Beide haben zwei identische Innenwinkel und die Seite zwischen diesen Winkeln misst den gleichen Wert.

Wie zu sehen ist, geht es darum, dass die beiden Dreiecke die erforderlichen Bedingungen erfüllen, damit ihre Form und Größe beim Bau genau gleich sind.

Die Kongruenzkriterien sind sehr nützlich, da in der Praxis unzählige Teile und mechanische Teile in Serie hergestellt werden müssen, so dass ihre Maße und Formen genau gleich sind.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Ein Dreieck ähnelt einem anderen, wenn es dieselbe Form hat, auch wenn es unterschiedliche Größen hat. Um sicherzustellen, dass die Form gleich ist, müssen die Innenwinkel den gleichen Wert haben und die Seiten proportional sein.

Abbildung 6. Zwei ähnliche Dreiecke: Ihre Größen unterscheiden sich, aber ihre Proportionen sind gleich. Quelle: F. Zapata.

Die Dreiecke in Abbildung 2 sind ebenso ähnlich wie die in Abbildung 6. Auf diese Weise:

Für die Seiten gelten die folgenden Ähnlichkeitsverhältnisse:

Eigenschaften

Die grundlegenden Eigenschaften von Dreiecken sind wie folgt:

-Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180º.

-Für jedes Dreieck beträgt die Summe seiner Außenwinkel 360 °.

- Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Innenwinkel, die diesem Winkel nicht benachbart sind.

Theoreme

Thales 'erster Satz

Sie werden dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben, der mehrere Theoreme zur Geometrie entwickelt hat. Der erste von ihnen gibt Folgendes an:

Abbildung 7. Satz von Thales. Quelle: F. Zapata.

Mit anderen Worten:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales 'erster Satz ist auf ein Dreieck anwendbar, zum Beispiel haben wir links das blaue Dreieck ABC, das durch die roten Parallelen rechts geschnitten wird:

Abbildung 8. Thales-Theorem und ähnliche Dreiecke.

Das violette Dreieck AB'C 'ähnelt dem blauen Dreieck ABC, daher kann nach dem Satz von Thales Folgendes geschrieben werden:

AB´ / AC´ = AB / AC

Und es stimmt mit dem überein, was zuvor im Segment der Ähnlichkeit von Dreiecken erklärt wurde. Übrigens können parallele Linien auch vertikal oder parallel zur Hypotenuse sein, und ähnliche Dreiecke werden auf die gleiche Weise erhalten.

Thales 'zweiter Satz

Dieser Satz bezieht sich auch auf ein Dreieck und einen Kreis mit dem Mittelpunkt O, wie die unten gezeigten. In dieser Figur ist AC ein Durchmesser des Umfangs und B ist ein Punkt darauf, wobei B sich von A und B unterscheidet.

Der zweite Satz von Thales besagt:

Abbildung 9. Thales 'zweiter Satz. Quelle: Wikimedia Commons. Induktive Last.

Der Satz von Pythagoras

Dies ist einer der bekanntesten Sätze in der Geschichte. Es stammt vom griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos (569 - 475 v. Chr.) Und gilt für ein rechtwinkliges Dreieck. Sagt so:

Wenn wir als Beispiel das blaue Dreieck in Abbildung 8 oder das lila Dreieck nehmen, da beide Rechtecke sind, kann Folgendes festgestellt werden:

AC ² = AB ² + BC ² (blaues Dreieck)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (lila Dreieck)

Die Fläche eines Dreiecks

Die Fläche des Dreiecks ist gegeben durch das Produkt seiner Basis a und seiner Höhe h, geteilt durch 2. Und durch Trigonometrie kann diese Höhe als h = b sinθ geschrieben werden.

Abbildung 10. Bereich des Dreiecks. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiele für Dreiecke

Beispiel 1

Es wird gesagt, dass es Thales mit seinem ersten Satz gelungen ist, die Höhe der Großen Pyramide in Ägypten, eines der 7 Weltwunder der Antike, zu messen, indem er den Schatten gemessen hat, den sie auf den Boden projiziert hat und der von einem in den Boden getriebenen Pfahl projiziert wurde.

Dies ist der Überblick über das von Tales befolgte Verfahren:

Abbildung 11. Schema zur Messung der Höhe der Großen Pyramide anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken. Quelle: Wikimedia Commons. Dake

Thales nahm zu Recht an, dass die Sonnenstrahlen parallel treffen. In diesem Sinne stellte er sich das große rechte Dreieck rechts vor.

Dort ist D die Höhe der Pyramide und C der Abstand über dem Boden, gemessen von der Mitte bis zum Schatten, den die Pyramide auf den Wüstenboden wirft. Das Messen von C mag mühsam sein, ist aber sicherlich einfacher als das Messen der Höhe der Pyramide.

Links ist das kleine Dreieck mit den Beinen A und B, wobei A die Höhe des Pfahls ist, der vertikal in den Boden getrieben wird, und B der Schatten ist, den er wirft. Beide Längen sind messbar, ebenso wie C (C ist gleich der Länge des Schattens + der halben Länge der Pyramide).

Also, durch Ähnlichkeit von Dreiecken:

A / B = D / C.

Und die Höhe der Großen Pyramide ist: D = C. (A / B)

Beispiel 2

Die Fachwerke im Zivilbau sind Bauwerke aus dünnen, geraden Holz- oder Metallstäben, die in vielen Gebäuden als Stütze dienen. Sie werden auch als Traversen, Traversen oder Traversen bezeichnet.

In ihnen sind die Dreiecke immer vorhanden, da die Balken an Punkten miteinander verbunden sind, die als Knoten bezeichnet werden und fest oder artikuliert sein können.

Abbildung 12. Das Dreieck befindet sich im Rahmen dieser Brücke. Quelle: PxHere.

Beispiel 3

Das als Triangulation bekannte Verfahren ermöglicht es, die Position unzugänglicher Punkte zu ermitteln, wobei andere Entfernungen bekannt sind, die leichter zu messen sind, vorausgesetzt, es wird ein Dreieck gebildet, das die gewünschte Position zwischen seinen Eckpunkten enthält.

In der folgenden Abbildung möchten wir beispielsweise wissen, wo sich das Schiff im Meer befindet, bezeichnet als B.

Abbildung 13. Triangulationsschema zur Lokalisierung des Schiffes. Quelle: Wikimedia Commons. Colette

Zunächst wird der Abstand zwischen zwei Punkten an der Küste gemessen, die in der Abbildung A und C sind. Anschließend müssen die Winkel α und β mit Hilfe eines Theodoliten bestimmt werden, einer Vorrichtung zur Messung vertikaler und horizontaler Winkel.

Mit all diesen Informationen wird ein Dreieck gebaut, in dessen oberem Scheitelpunkt das Schiff liegt. Es bleibt, den Winkel γ unter Verwendung der Eigenschaften der Dreiecke und der Abstände AB und CB unter Verwendung der Trigonometrie zu berechnen, um die Position des Schiffes im Meer zu bestimmen.

Übungen

Übung 1

In der gezeigten Abbildung sind die Sonnenstrahlen parallel. Auf diese Weise wirft der 5 Meter hohe Baum einen 6 Meter hohen Schatten auf den Boden. Gleichzeitig beträgt der Schatten des Gebäudes 40 Meter. Finden Sie nach Thales 'erstem Satz die Höhe des Gebäudes.

Abbildung 14. Schema für die aufgelöste Übung 1. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Das rote Dreieck hat Seiten von 5 bzw. 6 Metern, während das blaue Dreieck die Höhe H - die Höhe des Gebäudes - und die Basis 40 Meter hat. Beide Dreiecke sind daher ähnlich:

Übung 2

Sie müssen den horizontalen Abstand zwischen zwei Punkten A und B kennen, diese befinden sich jedoch auf sehr unebenem Boden.

Ungefähr in der Mitte (P _m ) des Geländes sticht ein Vorsprung von 1,75 Metern hervor. Wenn das Maßband eine Länge von 26 Metern anzeigt, gemessen von A bis zum Vorsprung und 27 Meter von B bis zum selben Punkt, ermitteln Sie den Abstand AB.

Abbildung 15. Schema für die aufgelöste Übung 2. Quelle: Jiménez, R. Mathematics II. Geometrie und Trigonometrie.

Lösung

Der Satz von Pythagoras wird auf eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke in der Abbildung angewendet. Beginnend mit dem links:

Hypotenuse = c = 26 Meter

Höhe = a = 1,75 Meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Wenden Sie nun Pythagoras im Dreieck rechts an, diesmal c = 27 Meter, a = 1,75 Meter. Mit diesen Werten:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Der Abstand AB wird durch Addition dieser Ergebnisse ermittelt:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Verweise

1. Baldor, JA 1973. Ebenen- und Raumgeometrie. Zentralamerikanisches Kultur.
2. Barredo, D. Die Geometrie des Dreiecks. Wiederhergestellt von: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Mathematik II. Geometrie und Trigonometrie. Zweite Ausgabe. Pearson.
4. Wentworth, G. Flugzeuggeometrie. Wiederhergestellt von: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Dreieck. Wiederhergestellt von: es. wikipedia.org.