GLEICHSEITIGES DREIECK: EIGENSCHAFTEN, EIGENSCHAFTEN, FORMELN, FLÄCHE - MATHE - 2025

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten, bei denen alle gleich sind. das heißt, sie haben das gleiche Maß. Für dieses Merkmal wurde der Name gleichseitig (gleiche Seiten) vergeben.

Dreiecke sind Polygone, die als die einfachsten in der Geometrie angesehen werden, da sie aus drei Seiten, drei Winkeln und drei Eckpunkten bestehen. Im Fall des gleichseitigen Dreiecks bedeutet dies, dass seine drei Winkel ebenfalls gleich sind, da es gleiche Seiten hat.

Ein Beispiel für ein gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften gleichseitiger Dreiecke

- gleiche Seiten

Gleichseitige Dreiecke sind flache und geschlossene Figuren, die aus drei Liniensegmenten bestehen. Dreiecke werden nach ihren Eigenschaften in Bezug auf ihre Seiten und Winkel klassifiziert; Das Gleichseitige wurde anhand des Maßes seiner Seiten als Parameter klassifiziert, da diese genau gleich sind, dh kongruent sind.

Das gleichseitige Dreieck ist ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks, da zwei seiner Seiten kongruent sind. Alle gleichseitigen Dreiecke sind also gleichschenklig, aber nicht alle gleichschenkligen Dreiecke sind gleichseitig.

Auf diese Weise haben gleichseitige Dreiecke die gleichen Eigenschaften wie ein gleichschenkliges Dreieck.

Gleichseitige Dreiecke können auch durch die Breite ihrer Innenwinkel als gleichseitiges spitzes Dreieck klassifiziert werden, das drei Seiten und drei Innenwinkel mit demselben Maß aufweist. Die Winkel sind spitz, dh kleiner als 90 ^oder .

- Komponenten

Dreiecke haben im Allgemeinen mehrere Linien und Punkte, aus denen sie bestehen. Sie werden verwendet, um die Fläche, die Seiten, die Winkel, den Median, die Winkelhalbierende, die Winkelhalbierende und die Höhe zu berechnen.

• Der Median : Es ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite beginnt und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt erreicht. Die drei Mediane treffen sich an einem Punkt, der als Schwerpunkt oder Schwerpunkt bezeichnet wird.
• Die Winkelhalbierende : Es ist ein Strahl, der den Winkel der Eckpunkte in zwei gleich große Winkel teilt. Deshalb wird er als Symmetrieachse bezeichnet. Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Im gleichseitigen Dreieck wird die Winkelhalbierende vom Scheitelpunkt eines Winkels zur gegenüberliegenden Seite gezogen und in der Mitte geschnitten. Diese treffen sich an einem Punkt, der als Incenter bezeichnet wird.
• Die Halbierende : Es ist ein senkrechtes Segment zur Seite des Dreiecks, dessen Ursprung in der Mitte liegt. Es gibt drei Mediatices in einem Dreieck, die sich an einem Punkt treffen, der als Umkreiszentrum bezeichnet wird.
• Die Höhe : Es ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite verläuft, und auch diese Linie verläuft senkrecht zu dieser Seite. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt zusammenfallen, der als Orthozentrum bezeichnet wird.

In der folgenden Grafik sehen wir ein Skalenendreieck, in dem einige der genannten Komponenten detailliert sind

Die Halbierende, der Median und die Halbierende fallen zusammen

Die Winkelhalbierende teilt die Seite eines Dreiecks in zwei Teile. In gleichseitigen Dreiecken wird diese Seite in zwei genau gleiche Teile geteilt, dh das Dreieck wird in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Somit fällt die aus einem beliebigen Winkel eines gleichseitigen Dreiecks gezogene Winkelhalbierende mit dem Median und der Winkelhalbierenden der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite zusammen.

Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt das Dreieck ABC mit einem Mittelpunkt D, der eine seiner Seiten in zwei Segmente AD und BD unterteilt.

Durch Zeichnen einer Linie vom Punkt D zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt wird per Definition der Median CD erhalten, der relativ zum Scheitelpunkt C und zur Seite AB ist.

Da das Segment CD das Dreieck ABC in zwei gleiche Dreiecke CDB und CDA unterteilt, bedeutet dies, dass der Kongruenzfall gehalten wird: Seite, Winkel, Seite und daher wird CD auch die Halbierende von BCD sein.

Ein Plotten Segment CD, wird der Winkel des Scheitels in zwei gleiche Winkel von 30 geteilt ^oder dem Winkel des Scheitel A noch 60 messen ^oder und der Linie CD bei einem Winkel von 90 ^oder in Bezug auf den Mittelpunkt D.

Das Segment CD bildet Winkel, die für die Dreiecke ADC und BDC das gleiche Maß haben, dh sie sind so ergänzend, dass das Maß jedes einzelnen ist:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ^oder

2 _* Med. (ADC) = 180 ^oder

Med. (ADC) = 180 ^oder ÷ 2

Med. (ADC) = 90 ^o .

Wir haben also das Segment CD, das auch die Halbierende der Seite AB ist.

Die Winkelhalbierende und die Höhe fallen zusammen

Durch Zeichnen der Winkelhalbierenden vom Scheitelpunkt eines Winkels zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke geteilt.

Damit entsteht ein Winkel 90 ^oder (gerade). Dies zeigt an, dass dieses Liniensegment vollständig senkrecht zu dieser Seite ist und per Definition diese Linie die Höhe wäre.

Somit fällt die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe relativ zur gegenüberliegenden Seite dieses Winkels zusammen.

Ortocenter, Barycenter, Incenter und koinzidentes Circumcenter

Da die Höhe, der Median, die Winkelhalbierende und die Winkelhalbierende gleichzeitig durch dasselbe Segment dargestellt werden, befinden sich in einem gleichseitigen Dreieck die Treffpunkte dieser Segmente - Orthozentrum, Winkelhalbierende, Mitte und Umfangszentrum - an derselben Stelle:

Eigenschaften

Die Haupteigenschaft von gleichseitigen Dreiecken ist, dass sie immer gleichschenklige Dreiecke sind, da gleichschenklige Dreiecke von zwei kongruenten Seiten und gleichseitige von drei Seiten gebildet werden.

Auf diese Weise erbten die gleichseitigen Dreiecke alle Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks:

Innenwinkel

Die Summe der Winkel ist immer gleich 180 ^oder , da alle Winkel kongruent sind, misst jeder dieser Winkel 60 ^oder .

Außenwinkel

Die Summe der Außenwinkel 360 ist immer gleich ^oder daher misst jeder Außenwinkel 120 ^oder . Dies liegt daran, dass die Innen- und Außenwinkel sich ergänzen, dh wenn sie hinzugefügt werden, sind sie immer gleich 180 ^° .

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, dh a + b> c, wobei a, b und c die Maße jeder Seite sind.

Kongruente Seiten

Gleichseitige Dreiecke haben alle drei Seiten mit dem gleichen Maß oder der gleichen Länge. das heißt, sie sind kongruent. Daher haben wir im vorherigen Punkt a = b = c.

Kongruente Winkel

Gleichseitige Dreiecke werden auch als gleichwinklige Dreiecke bezeichnet, da ihre drei Innenwinkel miteinander kongruent sind. Dies liegt daran, dass auch alle Seiten das gleiche Maß haben.

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch Hinzufügen der Seiten berechnet. Da in diesem Fall das gleichseitige Dreieck alle Seiten mit dem gleichen Maß hat, wird sein Umfang mit der folgenden Formel berechnet:

P = 3 _* Seite.

Wie berechnet man die Höhe?

Da die Höhe die Linie senkrecht zur Basis ist, teilt sie diese in zwei gleiche Teile, indem sie sich zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt erstreckt. Somit werden zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke gebildet.

Die Höhe (h) repräsentiert das gegenüberliegende Bein (a), die Mitte der Seite AC zum benachbarten Bein (b) und die Seite BC repräsentiert die Hypotenuse (c).

Mit dem Satz von Pythagoras kann der Wert der Höhe bestimmt werden:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Verweise

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technische Zeichnung: Aktivitätsheft.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
4. BARBOSA, JL (2006). Ebene euklidische Geometrie. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Geometrie Ein Transformationsansatz. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, RP (1886). Euklids Elemente der Geometrie.
7. Héctor Trejo, JS (2006). Geometrie und Trigonometrie.
8. León Fernández, GS (2007). Integrierte Geometrie. Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra und Trigonometrie. Pearson Ausbildung.