THEORETISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT: WIE MAN ES BEKOMMT, BEISPIELE, ÜBUNGEN - DUDAS - 2025

Die theoretische (oder Laplace-) Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E auftritt, das zu einem Probenraum S gehört, in dem alle Ereignisse die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben, wird in mathematischer Notation definiert als: P (E) = n (E) / N (S)

Wobei P (E) die Wahrscheinlichkeit ist, die als Quotient zwischen der Gesamtzahl möglicher Ergebnisse des Ereignisses E, das wir n (E) nennen, geteilt durch die Gesamtzahl N (S) möglicher Ergebnisse im Probenraum S angegeben wird.

Abbildung 1. Beim Werfen eines sechsseitigen Würfels beträgt die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass sich der dreipunktierte Kopf oben befindet, ⅙. Quelle: Pixabay.

Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, wird jedoch häufig als Prozentsatz ausgedrückt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit ein Wert zwischen 0% und 100%.

Die Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist in vielen Bereichen wie Handel, Versicherungsunternehmen, Glücksspiel und vielen anderen sehr wichtig.

Wie erhalte ich die theoretische Wahrscheinlichkeit?

Ein anschaulicher Fall ist der Fall von Gewinnspielen oder Lotterien. Angenommen, 1.000 Tickets werden ausgestellt, um ein Smartphone zu verlosen. Da die Ziehung zufällig erfolgt, hat jedes der Tickets die gleiche Chance, ein Gewinner zu sein.

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine Person, die ein Ticket mit der Nummer 81 kauft, ein Gewinner ist, wird die folgende theoretische Wahrscheinlichkeitsberechnung durchgeführt:

P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%

Das obige Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn die Ziehung unendlich oft wiederholt würde, würde jedes 1000-fache Ticket 81 durchschnittlich einmal ausgewählt.

Wenn jemand aus irgendeinem Grund alle Tickets erwirbt, ist es sicher, dass er den Preis gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit, den Preis zu gewinnen, wenn Sie alle Tickets haben, wird wie folgt berechnet:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Das heißt, diese Wahrscheinlichkeit 1 oder 100% bedeutet, dass es absolut sicher ist, dass dieses Ergebnis eintreten wird.

Wenn jemand 500 Tickets besitzt, sind die Gewinn- oder Verlustchancen gleich. Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit wird in diesem Fall wie folgt berechnet:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Wer kein Ticket kauft, hat keine Gewinnchance und seine theoretische Wahrscheinlichkeit wird wie folgt bestimmt:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Beispiele

Beispiel 1

Sie haben eine Münze mit einem Gesicht auf der einen Seite und einem Schild oder Siegel auf der anderen Seite. Wie hoch ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass die Münze beim Werfen hochkommt?

P (Gesicht) = n (Gesicht) / N (Gesicht + Schild) = ½ = 0,5 = 50%

Das Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn eine große Anzahl von Würfen gemacht würde, würde durchschnittlich jeder zweite Wurf einer von ihnen auftauchen.

In Prozent ausgedrückt bedeutet die Interpretation des Ergebnisses, dass bei einer unendlich großen Anzahl von Würfen durchschnittlich von 100 von ihnen 50 zu Köpfen führen würden.

Beispiel 2

In einer Box befinden sich 3 blaue Murmeln, 2 rote Murmeln und 1 grüne. Wie hoch ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass ein Marmor, wenn Sie ihn aus der Schachtel nehmen, rot wird?

Abbildung 2. Wahrscheinlichkeit der Extraktion von farbigen Murmeln. Quelle: F. Zapata.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es rot herauskommt, ist:

P (rot) = Anzahl günstiger Fälle / Anzahl möglicher Fälle

Das heißt:

P (rot) = Anzahl der roten Murmeln / Gesamtzahl der Murmeln

Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Marmor gezeichnet wird, wie folgt:

P (rot) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Während die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zeichnen eines grünen Marmors:

P (grün) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Schließlich ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Blindentnahme einen blauen Marmor zu erhalten, wie folgt:

P (blau) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Das heißt, für jeweils 2 Versuche ist das Ergebnis in einem von ihnen blau und in einem anderen Versuch in einer anderen Farbe, unter der Voraussetzung, dass der extrahierte Marmor ersetzt wird und die Anzahl der Versuche sehr, sehr groß ist.

Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfelwurf einen Wert kleiner oder gleich 4 erhält.

Lösung

Um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses zu berechnen, wird die Definition der theoretischen Wahrscheinlichkeit angewendet:

P (≤4) = Anzahl günstiger Fälle / Anzahl möglicher Fälle

P (≤ 5) = 5/6 = = 83,33%

Übung 2

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinanderfolgenden Würfen eines normalen sechsseitigen Würfels 5 zweimal würfeln.

Lösung

Um diese Übung zu beantworten, erstellen Sie eine Tabelle, in der alle Möglichkeiten aufgeführt sind. Die erste Ziffer gibt das Ergebnis des ersten Würfels und die zweite das Ergebnis des anderen an.

Um die theoretische Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir die Gesamtzahl der möglichen Fälle kennen. In diesem Fall gibt es, wie aus der vorherigen Tabelle ersichtlich, 36 Möglichkeiten.

Wenn man sich auch die Tabelle ansieht, wird gefolgert, dass die Anzahl der Fälle, die für das Ereignis günstig sind, dass in den zwei aufeinanderfolgenden Starts 5 herauskommt, nur 1 ist, farblich hervorgehoben, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis auftritt, wie folgt:

P (5 × 5) = 1/36.

Dieses Ergebnis könnte auch unter Verwendung einer der Eigenschaften der theoretischen Wahrscheinlichkeit erzielt worden sein, die besagt, dass die kombinierte Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse das Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten ist.

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf 5 würfelt, ⅙. Der zweite Wurf ist völlig unabhängig vom ersten, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass 5 im zweiten gewürfelt wird, ebenfalls ⅙. Die kombinierte Wahrscheinlichkeit ist also:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Übung 3

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine Zahl kleiner als 2 und beim zweiten Wurf eine Zahl größer als 2 gewürfelt wird.

Lösung

Auch hier muss eine Tabelle möglicher Ereignisse erstellt werden, in der diejenigen unterstrichen sind, bei denen der erste Wurf weniger als 2 und im zweiten mehr als 2 war.

Insgesamt gibt es 4 von insgesamt 36 Möglichkeiten. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist:

P (2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitssatzes, der besagt:

Das gleiche Ergebnis wird erhalten:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Der mit diesem Verfahren erhaltene Wert stimmt mit dem vorherigen Ergebnis durch die theoretische oder klassische Definition der Wahrscheinlichkeit überein.

Übung 4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln die Summe der Werte 7 beträgt?

Lösung

Um in diesem Fall die Lösung zu finden, wurde eine Tabelle mit Möglichkeiten erstellt, in der die Fälle, die die Bedingung erfüllen, dass die Summe der Werte 7 ist, farbig angegeben wurden.

In der Tabelle können 6 mögliche Fälle gezählt werden. Die Wahrscheinlichkeit ist also:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Verweise

1. Canavos, G. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8 .. Auflage. Engagieren.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Wahrscheinlichkeitstheorie. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften. Pearson.