MANOMETERDRUCK: ERKLÄRUNG, FORMELN, GLEICHUNGEN, BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Der Manometerdruck P _m ist derjenige, der in Bezug auf einen Referenzdruck gemessen wird, der in den meisten Fällen als der atmosphärische Druck P _atm auf Meereshöhe gewählt wird. Es ist dann ein relativer Druck, ein anderer Begriff, unter dem es auch bekannt ist.

Die andere Art und Weise, wie der Druck normalerweise gemessen wird, besteht darin, ihn mit dem absoluten Vakuum zu vergleichen, dessen Druck immer Null ist. In diesem Fall sprechen wir vom absoluten Druck, den wir als P _{a bezeichnen werden} .

Abbildung 1. Absolutdruck und Manometerdruck. Quelle: F. Zapata.

Die mathematische Beziehung zwischen diesen drei Größen ist:

So:

Abbildung 1 veranschaulicht diese Beziehung auf bequeme Weise. Da der Vakuumdruck 0 ist, ist der absolute Druck immer positiv, ebenso wie der atmosphärische Druck P _atm .

Manometerdruck wird häufig verwendet, um Drücke über dem atmosphärischen Druck zu bezeichnen, wie sie beispielsweise in Reifen oder am Meeresboden oder in einem Schwimmbad zu finden sind, die durch das Gewicht der Wassersäule ausgeübt werden. . In diesen Fällen ist P _m > 0, da P _a > P _atm .

Es gibt jedoch absolute Drücke unter P _atm . In diesen Fällen ist P _m <0 und wird als Vakuumdruck bezeichnet und sollte nicht mit dem bereits beschriebenen Vakuumdruck verwechselt werden, bei dem es sich um das Fehlen von Partikeln handelt, die Druck ausüben können.

Formeln und Gleichungen

Der Druck in einer Flüssigkeit - Flüssigkeit oder Gas - ist eine der wichtigsten Variablen in ihrer Studie. In einer stationären Flüssigkeit ist der Druck unabhängig von der Ausrichtung an allen Punkten in derselben Tiefe gleich, während die Bewegung von Flüssigkeiten in den Rohren durch Druckänderungen verursacht wird.

Der mittlere Druck ist definiert als der Quotient zwischen der Kraft senkrecht zu einer Oberfläche F _⊥ und der Fläche der Oberfläche A, der mathematisch wie folgt ausgedrückt wird:

Der Druck ist eine skalare Größe, deren Abmessungen die Kraft pro Flächeneinheit sind. Die Maßeinheiten im Internationalen Einheitensystem (SI) sind Newton / m ² , Pascal genannt und zu Ehren von Blaise Pascal (1623-1662) als Pa abgekürzt.

Vielfache wie Kilo (10 ³ ) und Mega (10 ⁶ ) werden häufig verwendet, da der atmosphärische Druck normalerweise im Bereich von 90.000 bis 102.000 Pa liegt, was 90 bis 102 kPa entspricht. Drücke in der Größenordnung von Megapascal sind keine Seltenheit, daher ist es wichtig, sich mit den Präfixen vertraut zu machen.

In angelsächsischen Einheiten wird der Druck in Pfund / ft ² gemessen , es ist jedoch üblich, ihn in Pfund / Zoll ² oder psi (Pfund-Kraft pro Quadratzoll) durchzuführen.

Variation des Drucks mit der Tiefe

Je mehr wir in einem Pool oder im Meer ins Wasser tauchen, desto mehr Druck spüren wir. Im Gegensatz dazu nimmt der atmosphärische Druck mit zunehmender Höhe ab.

Der mittlere atmosphärische Druck auf Meereshöhe liegt bei 101.300 Pa oder 101,3 kPa, während er im Marianengraben im westlichen Pazifik - der tiefsten bekannten Tiefe - etwa 1000-mal höher ist und sich am Gipfel des Everest befindet nur 34 kPa.

Es ist klar, dass Druck und Tiefe (oder Höhe) zusammenhängen. Um herauszufinden, wird im Fall einer ruhenden Flüssigkeit (statisches Gleichgewicht) ein scheibenförmiger Teil der Flüssigkeit betrachtet, der in einem Behälter eingeschlossen ist (siehe Abbildung 2). Die Scheibe hat einen Querschnitt von Fläche A, Gewicht dW und Höhe dy.

Abbildung 2. Differentialelement der Flüssigkeit im statischen Gleichgewicht. Quelle: Fanny Zapata.

Wir nennen P den in der Tiefe vorhandenen Druck „y“ und P + dP den in der Tiefe vorhandenen Druck (y + dy). Da die Dichte ρ des Fluids das Verhältnis zwischen seiner Masse dm und seinem Volumen dV ist, haben wir:

Daher beträgt das Gewicht dW des Elements:

Und jetzt gilt Newtons zweites Gesetz:

Lösung der Differentialgleichung

Wenn beide Seiten integriert werden und berücksichtigt wird, dass die Dichte ρ sowie die Schwerkraft g konstant sind, wird der gesuchte Ausdruck gefunden:

Wenn im vorherigen Ausdruck P ₁ als atmosphärischer Druck und y ₁ als Oberfläche der Flüssigkeit gewählt wird, dann befindet sich y ₂ in einer Tiefe h und ΔP = P ₂ - P _atm ist der Manometerdruck als Funktion der Tiefe:

Wenn Sie den absoluten Druckwert benötigen, addieren Sie einfach den atmosphärischen Druck zum vorherigen Ergebnis.

Beispiele

Ein als Manometer bezeichnetes Gerät wird zur Messung des Überdrucks verwendet, der im Allgemeinen Druckunterschiede bietet. Am Ende wird das Funktionsprinzip eines U-Rohr-Manometers beschrieben, aber nun schauen wir uns einige wichtige Beispiele und Konsequenzen der zuvor abgeleiteten Gleichung an.

Pascals Prinzip

Die Gleichung ΔP = ρg (Y ₂ - y ₁ ) kann geschrieben werden als P = Po + ρgh, wobei P der Druck in der Tiefe h ist, während P _o der Druck an der Oberfläche des Fluids ist. normalerweise P _atm .

Offensichtlich steigt P jedes Mal um den gleichen Betrag an, solange es sich um eine Flüssigkeit handelt, deren Dichte konstant ist. Dies ist genau das, was angenommen wurde, als die ρ-Konstante betrachtet und außerhalb des im vorherigen Abschnitt gelösten Integrals platziert wurde.

Das Pascalsche Prinzip besagt, dass jeder Anstieg des Drucks einer eingeschlossenen Flüssigkeit im Gleichgewicht ohne Variation auf alle Punkte der Flüssigkeit übertragen wird. Mit dieser Eigenschaft ist es möglich, die auf den kleinen Kolben links ausgeübte Kraft F ₁ zu multiplizieren und auf der rechten Seite F ₂ zu erhalten .

Abbildung 3. Das Pascal-Prinzip wird in der Hydraulikpresse angewendet. Quelle: Wikimedia Commons.

Autobremsen arbeiten nach diesem Prinzip: Auf das Pedal wird eine relativ geringe Kraft ausgeübt, die dank der im System verwendeten Flüssigkeit an jedem Rad in eine größere Kraft auf den Bremszylinder umgewandelt wird.

Stevins hydrostatisches Paradoxon

Das hydrostatische Paradoxon besagt, dass die Kraft aufgrund des Drucks einer Flüssigkeit am Boden eines Behälters gleich oder größer als das Gewicht der Flüssigkeit selbst sein kann. Wenn Sie den Behälter jedoch auf die Waage stellen, wird normalerweise das Gewicht der Flüssigkeit (plus natürlich des Behälters) registriert. Wie kann man dieses Paradox erklären?

Wir gehen davon aus, dass der Druck am Boden des Behälters ausschließlich von der Tiefe abhängt und unabhängig von der Form ist, wie im vorherigen Abschnitt festgestellt wurde.

Abbildung 4. Die Flüssigkeit erreicht in allen Behältern die gleiche Höhe und der Druck am Boden ist gleich. Quelle: F. Zapata.

Schauen wir uns ein paar verschiedene Container an. Wenn sie mit Flüssigkeit gefüllt werden, erreichen sie alle die gleiche Höhe h. Die Highlights haben den gleichen Druck, da sie sich in der gleichen Tiefe befinden. Die Kraft aufgrund des Drucks an jedem Punkt kann jedoch vom Gewicht abweichen (siehe Beispiel 1 unten).

Übungen

Übung 1

Vergleichen Sie die Kraft, die durch den Druck auf den Boden jedes Behälters ausgeübt wird, mit dem Gewicht der Flüssigkeit und erklären Sie, warum die Unterschiede, falls vorhanden.

Behälter 1

Abbildung 5. Der Druck am Boden entspricht in seiner Größe dem Gewicht der Flüssigkeit. Quelle: Fanny Zapata.

In diesem Behälter ist die Fläche der Basis A, daher:

Das Gewicht und die Druckkraft sind gleich.

Behälter 2

Abbildung 6. Die Druckkraft in diesem Behälter ist größer als das Gewicht. Quelle: F. Zapata.

Der Behälter hat einen schmalen und einen breiten Teil. In der Abbildung rechts wurde es in zwei Teile geteilt und die Geometrie wird verwendet, um das Gesamtvolumen zu ermitteln. Der Bereich A ₂ befindet sich außerhalb des Behälters, h ₂ ist die Höhe des schmalen Teils, h ₁ ist die Höhe des breiten Teils (Boden).

Das volle Volumen ist das Volumen der Basis + das Volumen des schmalen Teils. Mit diesen Daten haben wir:

Vergleicht man das Gewicht der Flüssigkeit mit der Kraft aufgrund des Drucks, so stellt sich heraus, dass dies größer als das Gewicht ist.

Was passiert ist, dass die Flüssigkeit auch Kraft auf den Teil der Stufe im Behälter ausübt (siehe die roten Pfeile in der Abbildung), die in der obigen Berechnung enthalten sind. Diese Aufwärtskraft wirkt den nach unten ausgeübten entgegen und das von der Waage registrierte Gewicht ist das Ergebnis davon. Demnach beträgt die Größe des Gewichts:

W = Kraft auf den Boden - Kraft auf den abgestuften Teil = ρ. G. Bei ₁ .h - ρ. G. A _.. h ₂

Übung 2

Die Abbildung zeigt ein Manometer mit offenem Rohr. Es besteht aus einem U-Rohr, in dem ein Ende atmosphärischen Druck hat und das andere mit S verbunden ist, dem System, dessen Druck gemessen werden soll.

Abbildung 7. Rohrmanometer öffnen. Quelle: F. Zapata.

Die Flüssigkeit in der Röhre (in der Abbildung gelb) kann Wasser sein, obwohl Quecksilber vorzugsweise verwendet wird, um die Größe der Vorrichtung zu verringern. (Ein Unterschied von 1 Atmosphäre oder 101,3 kPa erfordert eine 10,3 Meter lange Wassersäule, nichts tragbares).

Es wird gebeten, den Überdruck P _m im System S als Funktion der Höhe H der Flüssigkeitssäule zu ermitteln.

Lösung

Der Druck am Boden für beide Zweige des Rohrs ist der gleiche, da sie sich in der gleichen Tiefe befinden. Sei P _A der Druck am Punkt A, der sich bei y _{1 befindet,} und P _B der Druck am Punkt B auf der Höhe y ₂ . Da sich Punkt B an der Grenzfläche von Flüssigkeit und Luft befindet, beträgt der Druck dort P _o . In diesem Zweig des Manometers beträgt der Druck am Boden:

Der Druck unten für den Ast links beträgt:

Dabei ist P der absolute Druck des Systems und ρ die Dichte des Fluids. Beide Drücke ausgleichen:

Auflösen nach P:

Daher ist der Überdruck P _m gegeben durch P - P _o = ρ.g. H und um seinen Wert zu haben, reicht es aus, die Höhe zu messen, bis zu der die manometrische Flüssigkeit aufsteigt, und sie mit dem Wert von g und der Dichte der Flüssigkeit zu multiplizieren.

Verweise

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