AXIOMATISCHE METHODE: EIGENSCHAFTEN, SCHRITTE, BEISPIELE - KULTURVOKABULAR - 2025

Die axiomatische Methode oder auch Axiomatik genannt, ist ein formales Verfahren, das von den Wissenschaften verwendet wird, mit dem Aussagen oder Sätze, die Axiome genannt werden, formuliert werden, die durch ein Abzugsverhältnis miteinander verbunden sind und die Grundlage für die Hypothesen oder Bedingungen eines bestimmten Systems bilden.

Diese allgemeine Definition muss in die Entwicklung einbezogen werden, die diese Methodik im Laufe der Geschichte durchlaufen hat. Erstens gibt es eine alte oder inhaltliche Methode, die im antiken Griechenland aus Euklid geboren und später von Aristoteles entwickelt wurde.

Zweitens, bereits im 19. Jahrhundert, das Auftreten einer Geometrie mit Axiomen, die sich von denen von Euklid unterscheiden. Und schließlich die formale oder moderne axiomatische Methode, deren größter Vertreter David Hilbert war.

Über seine zeitliche Entwicklung hinaus war dieses Verfahren die Grundlage der deduktiven Methode, die in der Geometrie und Logik verwendet wurde, aus der sie stammt. Es wurde auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet.

Und es wurde sogar in der Rechtswissenschaft, Soziologie und politischen Ökonomie angewendet. Derzeit ist der wichtigste Anwendungsbereich jedoch die Mathematik und symbolische Logik sowie einige Bereiche der Physik wie Thermodynamik, Mechanik und andere Disziplinen.

Eigenschaften

Obwohl das grundlegende Merkmal dieser Methode die Formulierung von Axiomen ist, wurden diese nicht immer auf die gleiche Weise berücksichtigt.

Es gibt einige, die auf beliebige Weise definiert und konstruiert werden können. Und andere nach einem Modell, in dem die garantierte Wahrheit intuitiv betrachtet wird.

Um genau zu verstehen, woraus dieser Unterschied und seine Folgen bestehen, muss die Entwicklung dieser Methode durchlaufen werden.

Alte oder inhaltliche axiomatische Methode

Es ist dasjenige, das im antiken Griechenland gegen das 5. Jahrhundert v. Chr. Etabliert wurde. Sein Anwendungsbereich ist die Geometrie. Die grundlegende Arbeit dieser Stufe sind die Elemente von Euklid, obwohl angenommen wird, dass Pythagoras vor ihm bereits die axiomatische Methode geboren hatte.

So nehmen die Griechen bestimmte Tatsachen als Axiome, ohne logische Beweise zu verlangen, dh ohne Beweise, da sie für sie eine selbstverständliche Wahrheit sind.

Euklid seinerseits präsentiert fünf Axiome für die Geometrie:

1-Bei zwei Punkten gibt es eine Linie, die sie enthält oder verbindet.

2-Jedes Segment kann auf beiden Seiten kontinuierlich in einer unbegrenzten Linie erweitert werden.

3-Sie können einen Kreis zeichnen, der an jedem Punkt und in jedem Radius einen Mittelpunkt hat.

4-Die rechten Winkel sind alle gleich.

5-Nehmen Sie eine gerade Linie und einen Punkt, der nicht darin ist, gibt es eine gerade Linie parallel dazu und die diesen Punkt enthält. Dieses Axiom wird später als das Axiom der Parallelen bezeichnet und wurde auch wie folgt ausgesprochen: Eine einzelne Parallele kann von einem Punkt außerhalb einer Linie gezogen werden.

Sowohl Euklid als auch spätere Mathematiker sind sich jedoch einig, dass das fünfte Axiom nicht so intuitiv klar ist wie das andere 4. Selbst während der Renaissance wird versucht, das fünfte von den anderen 4 abzuleiten, aber es ist nicht möglich.

Dies führte dazu, dass bereits im 19. Jahrhundert diejenigen, die die fünf beibehalten hatten, für die euklidische Geometrie waren und diejenigen, die die fünfte leugneten, diejenigen waren, die die nichteuklidischen Geometrien schufen.

Nichteuklidische axiomatische Methode

Gerade Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai und Johann Karl Friedrich Gauss sehen die Möglichkeit, ohne Widerspruch eine Geometrie zu konstruieren, die aus anderen Axiomensystemen als denen von Euklid stammt. Dies zerstört den Glauben an die absolute Wahrheit oder a priori der Axiome und die daraus abgeleiteten Theorien.

Folglich werden Axiome als Ausgangspunkte für eine gegebene Theorie verstanden. Auch seine Wahl und das Problem ihrer Gültigkeit in dem einen oder anderen Sinne beginnen sich auf Tatsachen außerhalb der axiomatischen Theorie zu beziehen.

Auf diese Weise erscheinen geometrische, algebraische und arithmetische Theorien, die mit Hilfe der axiomatischen Methode aufgebaut wurden.

Diese Phase gipfelt in der Schaffung axiomatischer Systeme für die Arithmetik wie die von Giuseppe Peano im Jahr 1891; David Huberts Geometrie im Jahre 1899; die Aussagen und Prädikatenberechnungen von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell in England im Jahr 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelos axiomatische Mengenlehre von 1908.

Moderne oder formale axiomatische Methode

Es ist David Hubert, der die Konzeption einer formalen axiomatischen Methode initiiert, und das führt zu ihrem Höhepunkt, David Hilbert.

Es ist genau Hilbert, der die wissenschaftliche Sprache formalisiert und ihre Aussagen als Formeln oder Zeichenfolgen betrachtet, die an sich keine Bedeutung haben. Sie erhalten nur in einer bestimmten Interpretation Bedeutung.

In "Die Grundlagen der Geometrie" erklärt er das erste Beispiel dieser Methodik. Von nun an wird die Geometrie zu einer Wissenschaft von rein logischen Konsequenzen, die aus einem System von Hypothesen oder Axiomen extrahiert werden, die besser artikuliert sind als das euklidische System.

Dies liegt daran, dass im alten System die axiomatische Theorie auf den Beweisen der Axiome basiert. Während es der formalen Theorie zugrunde liegt, ist es durch die Demonstration des Widerspruchs seiner Axiome gegeben.

Schritte

Das Verfahren, das eine axiomatische Strukturierung innerhalb wissenschaftlicher Theorien durchführt, erkennt:

a-die Wahl einer bestimmten Anzahl von Axiomen, dh einer Anzahl von Sätzen einer bestimmten Theorie, die akzeptiert werden, ohne dass sie bewiesen werden müssen.

b-die Konzepte, die Teil dieser Sätze sind, werden nicht im Rahmen der gegebenen Theorie bestimmt.

c-Die Regeln für die Definition und Ableitung der gegebenen Theorie sind festgelegt und ermöglichen die Einführung neuer Konzepte in die Theorie und leiten logisch einige Sätze von anderen ab.

d-die anderen Sätze der Theorie, dh der Satz, werden auf der Grundlage von c aus a abgeleitet.

Beispiele

Diese Methode kann durch den Beweis der beiden bekanntesten euklidischen Theoreme verifiziert werden: des Beinsatzes und des Höhensatzes.

Beide ergeben sich aus der Beobachtung dieses griechischen Geometers, dass, wenn die Höhe in Bezug auf die Hypotenuse innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks aufgetragen wird, zwei weitere Dreiecke des Originals erscheinen. Diese Dreiecke sind einander ähnlich und gleichzeitig dem Ursprungsdreieck ähnlich. Dies setzt voraus, dass ihre jeweiligen homologen Seiten proportional sind.

Es ist ersichtlich, dass die kongruenten Winkel in den Dreiecken auf diese Weise die Ähnlichkeit bestätigen, die zwischen den drei beteiligten Dreiecken gemäß dem AAA-Ähnlichkeitskriterium besteht. Dieses Kriterium besagt, dass zwei Dreiecke, die alle die gleichen Winkel haben, ähnlich sind.

Sobald gezeigt wird, dass die Dreiecke ähnlich sind, können die im ersten Satz angegebenen Proportionen festgelegt werden. Dieselbe Aussage, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Maß jedes Beins das geometrische proportionale Mittel zwischen der Hypotenuse und der Projektion des Beins darauf ist.

Der zweite Satz ist der der Höhe. Es gibt an, dass jedes rechtwinklige Dreieck, dessen Höhe gemäß der Hypotenuse gezeichnet wird, das geometrische proportionale Mittel zwischen den Segmenten ist, die durch das geometrische Mittel auf der Hypotenuse bestimmt werden.

Natürlich haben beide Theoreme weltweit zahlreiche Anwendungen, nicht nur in der Lehre, sondern auch in den Bereichen Ingenieurwesen, Physik, Chemie und Astronomie.

Verweise

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