TRANSZENDENTE FUNKTIONEN: TYPEN, DEFINITIONEN, EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die elementaren transzendentalen Funktionen sind die exponentiellen, logarithmischen, trigonometrischen, inversen trigonometrischen Funktionen, hyperbolischen und inversen hyperbolischen Funktionen. Das heißt, sie sind diejenigen, die nicht durch ein Polynom, einen Quotienten aus Polynomen oder Wurzeln von Polynomen ausgedrückt werden können.

Die nicht-elementaren transzendenten Funktionen werden auch als Sonderfunktionen bezeichnet und unter diesen kann die Fehlerfunktion benannt werden. Die algebraischen Funktionen (Polynome, Quotienten von Polynomen und Wurzeln von Polynomen) bilden zusammen mit den elementaren transzendentalen Funktionen das, was in der Mathematik als Elementarfunktionen bekannt ist.

Transzendente Funktionen werden auch als solche betrachtet, die sich aus Operationen zwischen transzendenten Funktionen oder zwischen transzendenten und algebraischen Funktionen ergeben. Diese Operationen sind: die Summe und Differenz von Funktionen, Produkt und Quotient von Funktionen sowie die Zusammensetzung von zwei oder mehr Funktionen.

Definition und Eigenschaften

Exponentialfunktion

Es ist eine reale Funktion einer realen unabhängigen Variablen der Form:

f (x) = a ^ x = a ^x

Dabei ist a eine feste positive reelle Zahl (a> 0), die als Basis bezeichnet wird. Der Zirkumflex oder hochgestellte Index wird verwendet, um die Potenzierungsoperation zu bezeichnen.

Sagen wir a = 2, dann sieht die Funktion folgendermaßen aus:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Was für mehrere Werte der unabhängigen Variablen x ausgewertet wird:

Unten sehen Sie ein Diagramm, in dem die Exponentialfunktion für mehrere Werte der Basis dargestellt wird, einschließlich der Basis e (Neperzahl e ≃ 2,72). Die Basis e ist so wichtig, dass wir allgemein von einer Exponentialfunktion sprechen, die wir an e ^ x denken, die auch als exp (x) bezeichnet wird.

Abbildung 1. Exponentialfunktion a ^ x für verschiedene Werte der Basis a. (Eigene Ausarbeitung)

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Aus 1 ist ersichtlich, dass die Domäne der Exponentialfunktionen die reellen Zahlen sind (Dom f = R ) und der Bereich oder Pfad die positiven reellen Zahlen sind (Ran f = R ⁺ ).

Andererseits durchlaufen unabhängig vom Wert der Basis a alle Exponentialfunktionen den Punkt (0, 1) und den Punkt (1, a).

Wenn die Basis a> 1 ist, nimmt die Funktion zu und wenn 0 <a <1 ist, nimmt die Funktion ab.

Die Kurven von y = a ^ x und y = (1 / a) ^ x sind symmetrisch zur Y-Achse.

Mit Ausnahme des Falles a = 1 ist die Exponentialfunktion injektiv, dh jedem Wert des Bildes entspricht ein und nur ein Startwert.

Logarithmische Funktion

Es ist eine reelle Funktion einer reellen unabhängigen Variablen, die auf der Definition des Logarithmus einer Zahl basiert. Der auf einer Zahl x basierende Logarithmus ist die Zahl y, auf die die Basis angehoben werden muss, um das Argument x zu erhalten:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Das heißt, die Logarithmusfunktion basierend auf ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion basierend auf.

Beispielsweise:

log ₂ 1 = 0, da 2 ^ 0 = 1

Ein anderer Fall, log ₂ 4 = 2, weil 2 ^ 2 = 4

Der Wurzellogarithmus von 2 ist log ₂ √2 = ½, weil 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, da 2 ^ (- 2) = ¼

Unten sehen Sie eine grafische Darstellung der Logarithmusfunktion in verschiedenen Basen.

Abbildung 2. Exponentialfunktion für verschiedene Werte der Basis. (Eigene Ausarbeitung)

Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Die Domäne der Logarithmusfunktion y (x) = log a (x) sind die positiven reellen Zahlen R + . Der Stellweg oder reelle Zahlen R .

Unabhängig von der Basis durchläuft die Logarithmusfunktion immer den Punkt (1,0) und der Punkt (a, 1) gehört zum Graphen dieser Funktion.

In dem Fall, dass die Basis a größer als Eins ist (a> 1), nimmt die Logarithmusfunktion zu. Aber wenn (0 <a <1), dann ist es eine abnehmende Funktion.

Sinus-, Cosinus- und Tangentenfunktionen

Die Sinusfunktion weist jedem x-Wert eine reelle Zahl zu, wobei x das Maß eines Winkels im Bogenmaß darstellt. Um den Wert des Sen (x) eines Winkels zu erhalten, wird der Winkel im Einheitskreis dargestellt und die Projektion dieses Winkels auf die vertikale Achse ist der diesem Winkel entsprechende Sinus.

Der trigonometrische Kreis und Sinus für verschiedene Winkelwerte X1, X2, X3 und X4 sind unten gezeigt (in Abbildung 3).

Abbildung 3. Trigonometrischer Kreis und Sinus verschiedener Winkel. (Eigene Ausarbeitung)

Auf diese Weise definiert, ist der Maximalwert, den die Funktion Sen (x) haben kann, 1, was auftritt, wenn x = π / 2 + 2π n ist, wobei n eine ganze Zahl (0, ± 1, ± 2,) ist. Der minimale Wert, den die Funktion Sen (x) annehmen kann, tritt auf, wenn x = 3π / 2 + 2π n ist.

Die Kosinusfunktion y = Cos (x) wird auf ähnliche Weise definiert, aber die Projektion der Winkelpositionen P1, P2 usw. wird auf der horizontalen Achse des trigonometrischen Kreises ausgeführt.

Andererseits ist die Funktion y = Tan (x) der Quotient zwischen der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion.

Unten sehen Sie eine grafische Darstellung der transzendenten Funktionen Sen (x), Cos (x) und Tan (x).

Abbildung 4. Diagramm der transzendenten Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens. (Eigene Ausarbeitung)

Derivate und Integrale

Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung y 'der Exponentialfunktion y = a ^ x ist die Funktion a ^ x multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Im speziellen Fall der Basis e ist die Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selbst.

Integral der Exponentialfunktion

Das unbestimmte Integral von a ^ x ist die Funktion selbst geteilt durch den natürlichen Logarithmus der Basis.

Im speziellen Fall der Basis e ist das Integral der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selbst.

Tabelle der Ableitungen und Integrale transzendenter Funktionen

Nachfolgend finden Sie eine Übersichtstabelle der wichtigsten transzendenten Funktionen, ihrer Ableitungen und unbestimmten Integrale (Antiderivative):

Tabelle der Ableitungen und unbestimmten Integrale für einige transzendente Funktionen. (Eigene Ausarbeitung)

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Funktion, die sich aus der Zusammensetzung der Funktion f (x) = x ^ 3 mit der Funktion g (x) = cos (x) ergibt:

(Nebel) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Seine Ableitung und sein unbestimmtes Integral ist:

Beispiel 2

Finden Sie die Zusammensetzung der Funktion g mit der Funktion f, wobei g und f die im vorherigen Beispiel definierten Funktionen sind:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Es ist zu beachten, dass die Zusammensetzung von Funktionen keine kommutative Operation ist.

Die Ableitung und das unbestimmte Integral für diese Funktion sind jeweils:

Das Integral wurde angegeben, da es nicht möglich ist, das Ergebnis als Kombination von Elementarfunktionen genau zu schreiben.

Verweise

1. Berechnung einer einzelnen Variablen. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. November 2008
2. Der implizite Funktionssatz: Geschichte, Theorie und Anwendungen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. November. 2012
3. Multivariable Analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. Dezember. 2010
4. Systemdynamik: Modellierung, Simulation und Steuerung von mechatronischen Systemen. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. März 2012
5. Kalkül: Mathematik und Modellierung. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. Januar 1999
6. Wikipedia. Transzendente Funktion. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com