POISSON-VERHÄLTNIS: KOEFFIZIENT, FORMELN, WERTE, BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Das Poisson - Verhältnis ist eine dimensionslose Größe, die für jedes Material charakteristisch ist. Es ist ein Hinweis auf die Verformung eines Materialstücks vor dem Aufbringen bestimmter Kräfte.

Wenn ein Materialstück, das einer Spannung oder Kompression ausgesetzt ist, eine Verformung erfährt, ist das Verhältnis zwischen der Querverformung und der Längsverformung genau das Poisson-Verhältnis.

Abbildung 1. Das Poisson-Verhältnis misst die Beziehung zwischen Längsdehnung und Querverengung. (Vorbereitet von Ricardo Pérez)

Beispielsweise dehnt sich ein Gummizylinder, der an seinen Enden einer Spannung ausgesetzt ist, in Längsrichtung aus, verengt sich jedoch quer. Abbildung 1 zeigt einen Stab mit den ursprünglichen Abmessungen: Länge L und Durchmesser D.

Die Stange wird an ihren Enden einer Spannung T ausgesetzt, und infolge dieser Spannung wird sie gedehnt, so dass die neue Länge L '> L ist. Wenn sie jedoch gedehnt wird, verengt sich ihr Durchmesser ebenfalls auf den neuen Wert: D. '<D.

Der Quotient zwischen der Dehnung (positiv) und der Verengung (negativ) multipliziert mit (-1) ist eine positive Zahl zwischen 0 und 0,5. Diese Zahl ist das sogenannte Poisson-Verhältnis ν (griechischer Buchstabe nu).

Poisson-Verhältnisformel

Um das Poisson-Verhältnis zu berechnen, muss die Längs- und Querdehnung bestimmt werden.

Die Längsdehnung ε _L ist die Dehnung geteilt durch die ursprüngliche Länge:

ε _L = (L '- L) / L.

In ähnlicher Weise ist die Querdehnung & egr; _T die radiale Verengung geteilt durch den ursprünglichen Durchmesser:

ε _T = (D '- D) / D.

Daher wird das Poisson-Verhältnis nach der folgenden Formel berechnet:

ν = - ε _T / ε _L.

Beziehung zum Elastizitätsmodul und zum Steifigkeitsmodul

Das Poisson-Verhältnis ν hängt mit dem Elastizitätsmodul E (oder dem Elastizitätsmodul) und dem Steifigkeitsmodul G durch die folgende Formel zusammen:

Poisson-Verhältniswert für Materialien

Abbildung 2. Edelstahl hat ein Poisson-Verhältnis zwischen 0,30 und 0,31. Quelle: Pixabay.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

Eine Stange aus einem bestimmten Kunststoff hat eine Länge von 150 mm und einen kreisförmigen Querschnitt von 20 mm Durchmesser. Bei einer Druckkraft F von 612,25 kg-f wird eine Verkürzung von 14 mm und gleichzeitig eine Zunahme des Stabdurchmessers um 0,85 mm beobachtet.

Berechnung:

a) Längsdehnung.

b) Die Querdehnung.

c) Das Poisson-Verhältnis dieses Materials.

d) Elastizitätsmodul von Young entsprechend dem Material.

e) Der Steifigkeitsmodul für diesen Kunststoff.

Lösung für

Es sei daran erinnert, dass die Längsdehnung εL die Dehnung geteilt durch die ursprüngliche Länge ist:

εL = (L '- L) / L.

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Es ist zu beachten, dass die Längsdehnung dimensionslos ist und in diesem Fall negativ war, weil ihre Längsabmessung abnahm.

Lösung b

In ähnlicher Weise ist die Querdehnung & egr; T die radiale Verjüngung, geteilt durch den ursprünglichen Durchmesser:

εT = (D '- D) / D.

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Die Querdehnung war positiv, da der Durchmesser der Stange zugenommen hat.

Lösung c

Für die Berechnung des Poisson-Verhältnisses müssen wir uns daran erinnern, dass es als das Negative des Quotienten zwischen der Querverformung und der Längsverformung definiert ist:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Es ist zu beachten, dass das Poisson-Verhältnis eine positive dimensionslose Zahl ist und für die meisten Materialien zwischen 0 und 0,5 liegt.

Lösung d

Der Elastizitätsmodul von Young, der mit dem Buchstaben E bezeichnet wird, ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Nach E steht die Normalspannung σL wie folgt in Beziehung zur Dehnung εL:

σL = E εL

Die Normalspannung ist definiert als der Quotient zwischen der Normalkraft (in diesem Fall parallel zur Stabachse) und der Querschnittsfläche:

σL = F / A = F / (π / 4 · D ^ 2)

In dieser Übung beträgt die Kraft F 612,25 kg-f, die in Newton umgerechnet werden muss. Dies ist die SI-Krafteinheit:

F = 612,25 kg-f = 612,25 · 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Der Querschnitt von Fläche A beträgt seinerseits:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Schließlich ist die normale Belastung der Stange:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 · 10 & supmin; & sup4; m & supmin; ² = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Um den Elastizitätsmodul von Young zu berechnen, lösen wir nach E aus dem Hookeschen Gesetz σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Lösung e

Der Steifigkeitsmodul G hängt durch diese Formel mit dem Elastizitätsmodul E und dem Poisson-Verhältnis ν zusammen:

E / (2 G) = 1 + ν

Von dort können wir nach G lösen:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Beispiel 2

Es gibt ein Kupferkabel mit einem Durchmesser von 4 mm und einer Länge von 1 m. Wenn Sie wissen, dass der Elastizitätsmodul von Kupfer 110.000 beträgt und das Poisson-Verhältnis 0,34 beträgt, schätzen Sie die Dehnung und Verengung des Durchmessers, die der Draht erfährt, wenn ein Gewicht von 100 kg-f daran aufgehängt wird.

Lösung

Zunächst muss die normale Zugspannung, die das Gewicht auf den Draht ausübt, nach folgender Formel berechnet werden:

σL = F / A = F / (π / 4 · D ^ 2)

Die Kraft F beträgt 980 N und die Querschnittsfläche beträgt:

A = (π / 4 · D · 2) = (3,1416 / 4) · (4 · 10 & supmin; ³ m) & supmin; ² = 1,2566 · 10 & supmin; & sup5; m & supmin; ²

Dann ist die Zugspannung:

σL = 980 N / 1,2566 · 10 & supmin; & sup5; m & supmin; ² = 77,986,000 Pa

Berechnung der Drahtdehnung

Der Elastizitätsmodul von Young, der mit dem Buchstaben E bezeichnet wird, ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz, die die Normalspannung σL mit der Dehnung εL in Beziehung setzt:

σL = E εL

Von dort kann die Längsdehnung des Kupferdrahtes gelöst werden:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 · 10 & supmin; & sup4;

Berechnung der Querdehnung

Um die Querdehnung zu kennen, wird das Poisson-Verhältnis angewendet:

ν = - εT / εL

Schließlich ist die Querdehnung:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Berechnung der absoluten Kabeldehnung

Um die absolute Dehnung des Kabels zu ermitteln, muss die folgende Beziehung angewendet werden:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Das heißt, mit diesem Gewicht dehnte sich das Kabel kaum um 0,709 Millimeter.

Berechnung der Abnahme des Durchmessers

Um die absolute Schrumpfung des Durchmessers zu erhalten, verwenden wir die folgende Formel:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 Millimeter.

Diese Verengung des Durchmessers ist so gering, dass sie mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist, selbst für die Messung ist ein hochpräzises Instrument erforderlich.

Verweise

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