- Wichtige Begriffe
- Methoden
- - Schritte zum Anwenden der Netzanalyse
- Schritt 1
- Schritt 2
- Mesh abcda
- Systemlösung nach Cramer
- Schritt 1: Berechnen Sie Δ
- Schritt 3: Berechne ich
- Schritt 4: Berechnen Sie Δ
- Lösung
- Mesh 3
- Tabelle der Ströme und Spannungen in jedem Widerstand
- Cramers Regellösung
- Verweise
Die Netzanalyse ist eine Technik zum Lösen von Schaltkreisebenen. Dieses Verfahren kann in der Literatur auch als Verfahren für Schaltungsströme oder als Verfahren für Maschenströme (oder Schleifenströme) erscheinen.
Die Grundlage dieser und anderer Methoden zur Analyse elektrischer Schaltkreise sind die Kirchhoffschen Gesetze und das Ohmsche Gesetz. Kirchhoffs Gesetze wiederum sind Ausdruck zweier sehr wichtiger Prinzipien der Erhaltung in der Physik für isolierte Systeme: Sowohl die elektrische Ladung als auch die Energie werden erhalten.
Abbildung 1. Schaltkreise sind Teil unzähliger Geräte. Quelle: Pixabay.
Einerseits bezieht sich elektrische Ladung auf Strom, der in Bewegung ist, während in einem Stromkreis Energie an Spannung gebunden ist, die das Mittel ist, das für die Ausführung der Arbeit verantwortlich ist, die erforderlich ist, um die Ladung in Bewegung zu halten.
Diese Gesetze, die auf eine flache Schaltung angewendet werden, erzeugen einen Satz simultaner Gleichungen, die gelöst werden müssen, um die Strom- oder Spannungswerte zu erhalten.
Das Gleichungssystem kann mit bekannten Analysetechniken wie der Cramer-Regel gelöst werden, die die Berechnung von Determinanten erfordert, um die Lösung des Systems zu erhalten.
Abhängig von der Anzahl der Gleichungen werden sie mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner oder einer mathematischen Software gelöst. Es gibt auch viele Optionen online verfügbar.
Wichtige Begriffe
Bevor wir erklären, wie es funktioniert, definieren wir zunächst folgende Begriffe:
Zweig : Abschnitt, der ein Element der Schaltung enthält.
Knoten : Punkt, der zwei oder mehr Zweige verbindet.
Schleife: ist ein geschlossener Teil eines Stromkreises, der am selben Knoten beginnt und endet.
Netz : Schleife, die keine andere Schleife enthält (wesentliches Netz).
Methoden
Die Netzanalyse ist eine allgemeine Methode zur Lösung von Schaltkreisen, deren Elemente in Reihe, parallel oder gemischt geschaltet sind, dh wenn die Art der Verbindung nicht klar unterschieden wird. Die Schaltung muss flach sein, oder es muss zumindest möglich sein, sie als solche neu zu zeichnen.
Abbildung 2. Flache und nicht flache Schaltkreise. Quelle: Alexander, C. 2006. Grundlagen elektrischer Schaltungen. 3 .. Auflage. Mc Graw Hill.
Ein Beispiel für jeden Schaltungstyp ist in der obigen Abbildung dargestellt. Sobald der Punkt klar ist, werden wir die Methode zunächst im nächsten Abschnitt auf eine einfache Schaltung als Beispiel anwenden, aber zuerst werden wir kurz die Gesetze von Ohm und Kirchhoff überprüfen.
Ohmsches Gesetz: Sei V die Spannung, R der Widerstand und I der Strom des ohmschen Widerstandselements, wobei Spannung und Strom direkt proportional sind, wobei der Widerstand die Proportionalitätskonstante ist:
Kirchhoffs Spannungsgesetz (LKV): In jedem geschlossenen Pfad, der nur in eine Richtung zurückgelegt wird, ist die algebraische Summe der Spannungen Null. Dies schließt Spannungen aufgrund von Quellen, Widerständen, Induktivitäten oder Kondensatoren ein: ∑ E = ∑ R i . ich
Kirchhoffsches Stromgesetz (LKC): An jedem Knoten ist die algebraische Summe der Ströme Null, wobei berücksichtigt wird, dass den eingehenden Strömen ein Vorzeichen zugewiesen wird und denen, die ein anderes verlassen. Auf diese Weise: ∑ I = 0.
Bei der Maschenstrommethode ist es nicht erforderlich, das aktuelle Kirchhoffsche Gesetz anzuwenden, was zu weniger zu lösenden Gleichungen führt.
- Schritte zum Anwenden der Netzanalyse
Wir werden zunächst die Methode für eine 2-Mesh-Schaltung erläutern. Das Verfahren kann dann für größere Schaltungen erweitert werden.
Abbildung 3. Schaltung mit Widerständen und Quellen, die in zwei Maschen angeordnet sind. Quelle: F. Zapata.
Schritt 1
Ordnen Sie jedem Netz unabhängige Ströme zu und zeichnen Sie sie. In diesem Beispiel sind dies I 1 und I 2 . Sie können entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn gezeichnet werden.
Schritt 2
Wenden Sie das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (LTK) und das Ohmsche Gesetz auf jedes Netz an. Potenzielle Stürze erhalten ein Vorzeichen (-), während Anstiege ein Vorzeichen (+) erhalten.
Mesh abcda
Ausgehend von Punkt a und in Richtung des Stroms finden wir einen möglichen Anstieg der Batterie E1 (+), dann einen Abfall von R 1 (-) und dann einen weiteren Abfall von R 3 (-).
Gleichzeitig wird der Widerstand R 3 auch vom Strom I 2 gekreuzt , jedoch in entgegengesetzter Richtung, weshalb er einen Anstieg (+) darstellt. Die erste Gleichung sieht folgendermaßen aus:
Dann wird es berücksichtigt und die Begriffe werden neu gruppiert:
---------
-50 I 1 + 10 I 2 = -12
Da es sich um ein 2 x 2-Gleichungssystem handelt, kann es leicht durch Reduktion gelöst werden, indem die zweite Gleichung mit 5 multipliziert wird, um das unbekannte I 1 zu eliminieren :
-50 I 1 + 10 I 2 = -12
Sofort wird der Strom I 1 aus einer der ursprünglichen Gleichungen gelöscht :
Das negative Vorzeichen im Strom I 2 bedeutet, dass der Strom im Netz 2 in der entgegengesetzten Richtung zu der gezogenen zirkuliert.
Die Ströme in jedem Widerstand sind wie folgt:
Der Strom I 1 = 0,16 A fließt durch den Widerstand R 1 in der gezogenen Richtung, durch den Widerstand R 2 fließt der Strom I 2 = 0,41 A in die entgegengesetzte Richtung zu dem gezogenen und durch den Widerstand R 3 fließt i 3 = 0,16- ( -0,41) A = 0,57 A nach unten.
Systemlösung nach Cramer
In Matrixform kann das System wie folgt gelöst werden:
Schritt 1: Berechnen Sie Δ
Die erste Spalte wird durch die unabhängigen Terme des Gleichungssystems ersetzt, wobei die Reihenfolge beibehalten wird, in der das System ursprünglich vorgeschlagen wurde:
Schritt 3: Berechne ich
Schritt 4: Berechnen Sie Δ
Abbildung 4. 3-Mesh-Schaltung. Quelle: Boylestad, R. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse.2da. Auflage. Pearson.
Lösung
Die drei Maschenströme werden, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, in beliebige Richtungen gezogen. Jetzt werden die Maschen ab einem beliebigen Punkt durchlaufen:
Abbildung 5. Netzströme für Übung 2. Quelle: F. Zapata, modifiziert von Boylestad.
Mesh 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
Mesh 3
Gleichungssystem
Obwohl die Zahlen groß sind, kann es mit Hilfe eines wissenschaftlichen Taschenrechners schnell gelöst werden. Denken Sie daran, dass die Gleichungen geordnet werden müssen, und fügen Sie Nullen an den Stellen hinzu, an denen das Unbekannte nicht erscheint, wie es hier erscheint.
Die Maschenströme sind:
Die Ströme I 2 und I 3 zirkulieren entgegen der in der Figur gezeigten Richtung, da sie sich als negativ herausstellten.
Tabelle der Ströme und Spannungen in jedem Widerstand
| Widerstand (Ω) | Strom (Ampere) | Spannung = IR (Volt) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 - I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15.3 |
| 3300 | 0,00062 | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2.64 |
| 7500 | 0,00048 | 3,60 |
| 6800 | I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0.00014 | 0,95 |
Cramers Regellösung
Da es sich um große Zahlen handelt, ist es zweckmäßig, die wissenschaftliche Notation zu verwenden, um direkt mit ihnen zu arbeiten.
Berechnung von I 1
Die farbigen Pfeile in der 3 x 3-Determinante geben an, wie die numerischen Werte zu finden sind, wobei die angegebenen Werte multipliziert werden. Beginnen wir damit, die der ersten Klammer in der Determinante Δ zu erhalten:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Sofort erhalten wir die zweite Klammer in derselben Determinante, die von links nach rechts bearbeitet wird (für diese Klammer wurden die farbigen Pfeile in der Abbildung nicht gezeichnet). Wir laden den Leser ein, dies zu überprüfen:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10 11
In ähnlicher Weise kann der Leser auch die Werte für die Determinante & Dgr; 1 überprüfen .
Wichtig: Zwischen beiden Klammern steht immer ein negatives Vorzeichen.
Schließlich wird der Strom I 1 durch I 1 = Δ 1 / Δ erhalten
Berechnung von I 2
Die Prozedur kann wiederholt werden, um I 2 zu berechnen , in diesem Fall, um die Determinante & Dgr; 2 zu berechnen , wird die zweite Spalte der Determinante & Dgr ; durch die Spalte der unabhängigen Terme ersetzt und ihr Wert wird gemäß der erläuterten Prozedur gefunden.
Da es jedoch aufgrund großer Zahlen umständlich ist, insbesondere wenn Sie keinen wissenschaftlichen Taschenrechner haben, ist es am einfachsten, den bereits berechneten Wert von I 1 in der folgenden Gleichung zu ersetzen und zu lösen nach:
Berechnung von I3
Einmal mit den Werten von I 1 und I 2 in der Hand, wird der von I 3 direkt durch Substitution gefunden.
Verweise
- Alexander, C. 2006. Grundlagen elektrischer Schaltungen. 3 .. Auflage. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse.2da. Auflage. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Reihe: Physik für Wissenschaft und Technik. Band 5. Elektrische Wechselwirkung. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Elektromagnetismus. 2 .. Auflage. Industrielle Universität von Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14 .. Ed. Band 2.