VEKTOR: EIGENSCHAFTEN UND EIGENSCHAFTEN, ELEMENTE, TYPEN, BEISPIELE - WISSENSCHAFT - 2025

Die Vektoren sind mathematische Einheiten, die im Allgemeinen eine von einer Maßeinheit begleitete positive Größe und Richtung haben. Solche Eigenschaften sind sehr gut geeignet, um physikalische Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung und vieles mehr zu beschreiben.

Mit Vektoren ist es möglich, Operationen wie Addition, Subtraktion und Produkte durchzuführen. Die Division ist für Vektoren nicht definiert, und für das Produkt gibt es drei Klassen, die wir später beschreiben werden: Punktprodukt oder Punkt, Vektorprodukt oder Kreuz und Produkt eines Skalars durch einen Vektor.

Abbildung 1. Die Elemente eines Vektors. Quelle: Wikimedia Commons.

Um einen Vektor vollständig zu beschreiben, müssen alle seine Eigenschaften angegeben werden. Die Größe oder das Modul ist ein numerischer Wert, der von einer Einheit begleitet wird, während die Richtung und der Sinn mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Angenommen, ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 850 km / h in nordöstlicher Richtung von einer Stadt in eine andere. Hier haben wir einen vollständig spezifizierten Vektor, da die Größe verfügbar ist: 850 km / h, während die Richtung und der Sinn NE sind.

Vektoren werden normalerweise grafisch durch orientierte Liniensegmente dargestellt, deren Länge proportional zur Größe ist.

Um die Richtung und den Sinn festzulegen, ist eine Referenzlinie erforderlich, die normalerweise die horizontale Achse ist. Obwohl auch Norden als Referenz verwendet werden kann, ist dies bei der Geschwindigkeit der Ebene der Fall:

Abbildung 2. Ein Geschwindigkeitsvektor. Quelle: F. Zapata.

Die Figur zeigt den Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs, wie es bezeichnet v in fetter Schrift , es von einer skalaren Größe zu unterscheiden, die nur einen numerischen Wert und etwas Einheit erfordert spezifiziert werden.

Elemente eines Vektors

Wie gesagt, die Elemente des Vektors sind:

-Magnitude oder Modul, manchmal auch Absolutwert oder Norm des Vektors genannt.

-Adresse

-Sinn

In dem Beispiel in 2 beträgt der Modul von v 850 km / h. Der Modul wird als v ohne Fettdruck oder als - v - bezeichnet, wobei die Balken den absoluten Wert darstellen.

Die Richtung von v wird relativ zu Nord angegeben. In diesem Fall ist es 45º nördlich von Osten (45º NE). Schließlich informiert die Pfeilspitze über den Sinn von v .

In diesem Beispiel wurde der Ursprung des Vektors in Übereinstimmung mit dem Ursprung O des Koordinatensystems gezeichnet. Dies wird als verknüpfter Vektor bezeichnet. Wenn andererseits der Ursprung des Vektors nicht mit dem des Referenzsystems übereinstimmt, spricht man von einem freien Vektor.

Es ist zu beachten, dass diese drei Elemente zur vollständigen Angabe des Vektors notiert werden müssen, da sonst die Beschreibung des Vektors unvollständig wäre.

Rechteckige Komponenten eines Vektors

Abbildung 3. Rechteckige Komponenten eines Vektors in der Ebene. Quelle: Wikimedia Commons. Uranther

Im Bild haben wir unseren Beispielvektor v zurück , der sich in der xy-Ebene befindet.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Projektionen von v auf die x- und y-Koordinatenachse ein rechtwinkliges Dreieck bestimmen. Diese Projektionen sind v _{y und} v _x und werden als rechteckige Komponenten von v bezeichnet .

Eine Möglichkeit, v durch seine rechteckigen Komponenten zu bezeichnen, ist folgende: v =x, v _und >. Diese Klammern werden anstelle von Klammern verwendet, um die Tatsache hervorzuheben, dass es sich um einen Vektor und nicht um einen Punkt handelt, da in diesem Fall Klammern verwendet würden.

Befindet sich der Vektor im dreidimensionalen Raum, wird eine weitere Komponente benötigt, so dass:

v =x, v _y , v _z >

Die Kenntnis der rechtwinkligen Komponenten der Betrag des Vektors berechnet wird, äquivalent zu der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks zu finden , dessen Schenkel v _x und v _{und ,.} Mit dem Satz von Pythagoras folgt:

Polare Form eines Vektors

Wenn die Größe des Vektors - v - und der Winkel θ, den er mit der Referenzachse, im Allgemeinen der horizontalen Achse, bildet, bekannt sind, wird auch der Vektor spezifiziert. Der Vektor soll dann in polarer Form ausgedrückt werden.

Die rechteckigen Komponenten sind in diesem Fall leicht zu berechnen:

Demnach wären die rechteckigen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v der Ebene:

Typen

Es gibt verschiedene Arten von Vektoren. Es gibt Vektoren für Geschwindigkeit, Position, Verschiebung, Kraft, elektrisches Feld, Impuls und vieles mehr. Wie wir bereits gesagt haben, gibt es in der Physik eine große Anzahl von Vektorgrößen.

In Bezug auf Vektoren mit bestimmten Eigenschaften können wir die folgenden Arten von Vektoren erwähnen:

-Null : Dies sind Vektoren, deren Größe 0 ist und die mit 0 bezeichnet werden . Denken Sie daran, dass der fette Buchstabe die drei grundlegenden Merkmale eines Vektors symbolisiert, während der normale Buchstabe nur das Modul darstellt.

Beispielsweise muss bei einem Körper im statischen Gleichgewicht die Summe der Kräfte ein Nullvektor sein.

- Frei und verknüpft : Freie Vektoren sind solche, deren Ursprungs- und Ankunftspunkte ein beliebiges Paar von Punkten in der Ebene oder im Raum sind, im Gegensatz zu verknüpften Vektoren, deren Ursprung mit dem des Referenzsystems übereinstimmt, mit dem sie beschrieben wurden.

Das Paar oder Moment, das von einigen Kräften erzeugt wird, ist ein gutes Beispiel für einen freien Vektor, da das Paar nicht auf einen bestimmten Punkt zutrifft.

- Equipolentes : Dies sind zwei freie Vektoren mit identischen Eigenschaften. Daher haben sie die gleiche Größe, Richtung und den gleichen Sinn.

- Koplanar oder Koplanar : Vektoren, die zur gleichen Ebene gehören.

- Gegensätze : Vektoren mit gleicher Größe und Richtung, aber entgegengesetzten Richtungen. Der einem Vektor v gegenüberliegende Vektor ist der Vektor - v und die Summe von beiden ist der Nullvektor: v + (- v ) = 0 .

- Gleichzeitig : Vektoren, deren Aktionslinien alle denselben Punkt durchlaufen.

- Schieberegler : sind die Vektoren, deren Anwendungspunkt entlang einer bestimmten Linie gleiten kann.

- Kollinear : Vektoren, die sich auf derselben Linie befinden.

- Einheitlich : die Vektoren, deren Modul 1 ist.

Orthogonale Einheitsvektoren

In der Physik gibt es einen sehr nützlichen Vektortyp, der als orthogonaler Einheitsvektor bezeichnet wird. Der orthogonale Einheitsvektor hat ein Modul gleich 1 und die Einheiten können beliebig sein, beispielsweise die von Geschwindigkeit, Position, Kraft oder anderen.

Es gibt eine Reihe spezieller Vektoren, die helfen, andere Vektoren leicht darzustellen und Operationen mit ihnen durchzuführen: Sie sind die orthogonalen Einheitsvektoren i , j und k , Einheit und senkrecht zueinander.

In zwei Dimensionen sind diese Vektoren entlang der positiven Richtung sowohl der x-Achse als auch der y-Achse gerichtet. Und in drei Dimensionen wird ein Einheitsvektor in Richtung der positiven z-Achse hinzugefügt. Sie werden wie folgt dargestellt:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Ein Vektor kann durch die Einheitsvektoren i , j und k wie folgt dargestellt werden:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Zum Beispiel kann der Geschwindigkeitsvektor v in den vorherigen Beispielen wie folgt geschrieben werden:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Die Komponente in k ist nicht erforderlich, da dieser Vektor in der Ebene liegt.

Vektoraddition

Die Summe der Vektoren erscheint sehr häufig in verschiedenen Situationen, beispielsweise wenn Sie die resultierende Kraft auf ein Objekt ermitteln möchten, das von verschiedenen Kräften beeinflusst wird. Nehmen wir zunächst an, wir haben zwei freie Vektoren u und v in der Ebene, wie in der folgenden Abbildung links gezeigt:

Abbildung 4. Grafische Summe zweier Vektoren. Quelle: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach.

Es wird sofort sorgfältig auf den Vektor v übertragen , ohne seine Größe, Richtung oder seinen Sinn zu ändern, so dass sein Ursprung mit dem Ende von u übereinstimmt .

Die Vektorsumme heißt w und wird gemäß der rechten Abbildung ausgehend von u bis v gezeichnet . Es ist wichtig zu beachten, dass die Größe des Vektors w nicht unbedingt die Summe der Größen von v und u ist .

Wenn Sie sorgfältig darüber nachdenken, ist die Größe des resultierenden Vektors nur dann die Summe der Größen der Addenden, wenn beide Addenden in die gleiche Richtung weisen und den gleichen Sinn haben.

Und was passiert, wenn die Vektoren nicht frei sind? Es ist auch sehr einfach, sie hinzuzufügen. Die Vorgehensweise besteht darin, eine Komponente zu einer Komponente oder eine Analysemethode hinzuzufügen.

Betrachten wir als Beispiel die Vektoren in der folgenden Abbildung. Zunächst müssen Sie sie auf eine der zuvor erläuterten kartesischen Arten ausdrücken:

Abbildung 5. Summe zweier verknüpfter Vektoren. Quelle: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Um die x-Komponente des Summenvektors w zu erhalten , addieren Sie die jeweiligen x-Komponenten von v und u : w _x = 5 + 2 = 7. Und um w _y zu erhalten, wird ein analoges Verfahren befolgt: w _y = 1 + 3. So:

u = <7,4>

Eigenschaften der Vektoraddition

-Die Summe von zwei oder mehr Vektoren ergibt einen anderen Vektor.

-Es ist kommutativ, die Reihenfolge der Addenden ändert die Summe nicht so, dass:

u + v = v + u

- Das neutrale Element der Summe der Vektoren ist der Nullvektor: v + 0 = v

- Die Subtraktion zweier Vektoren ist definiert als die Summe des Gegenteils: v - u = v + (-u)

Vektorbeispiele

Wie wir gesagt haben, gibt es in der Physik zahlreiche Vektorgrößen. Zu den bekanntesten gehören:

-Position

-Verschiebung

- Durchschnittsgeschwindigkeit und momentane Geschwindigkeit

-Beschleunigung

-Macht

-Betrag der Bewegung

-Torque oder Moment einer Kraft

-Impuls

-Elektrisches Feld

-Magnetfeld

-Magnetisches Moment

Andererseits sind sie keine Vektoren, sondern Skalare:

-Wetter

-Masse

-Temperatur

-Volumen

-Dichte

-Mechanische Arbeit

-Energie

-Heiß

-Leistung

-Stromspannung

-Elektrischer Strom

Andere Operationen zwischen Vektoren

Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren gibt es drei weitere sehr wichtige Operationen zwischen Vektoren, da sie zu neuen sehr wichtigen physikalischen Größen führen:

-Produkt eines Skalars durch einen Vektor.

-Das Punktprodukt oder Punktprodukt zwischen Vektoren

-Und das Kreuz- oder Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren.

Produkt eines Skalars und eines Vektors

Betrachten Sie das zweite Newtonsche Gesetz, das besagt, dass die Kraft F und die Beschleunigung a proportional sind. Die Proportionalitätskonstante ist daher die Masse m des Objekts:

F = m. zu

Masse ist ein Skalar; Kraft und Beschleunigung sind ihrerseits Vektoren. Da die Kraft durch Multiplikation der Masse mit der Beschleunigung erhalten wird, ist sie das Ergebnis des Produkts eines Skalars und eines Vektors.

Diese Art von Produkt führt immer zu einem Vektor. Hier ist ein weiteres Beispiel: das Ausmaß der Bewegung. Sei P der Impulsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor und wie immer m die Masse:

P = m. v

Punktprodukt oder Punktprodukt zwischen Vektoren

Wir haben mechanische Arbeit auf die Liste der Größen gesetzt, die keine Vektoren sind. Die Arbeit in der Physik ist jedoch das Ergebnis einer Operation zwischen Vektoren, die als Skalarprodukt, Innenprodukt oder Punktprodukt bezeichnet werden.

Lassen Sie die Vektoren v und u den Punkt oder das Skalarprodukt zwischen ihnen definieren als:

v ∙ u = - v - ∙ - u - cos θ

Wobei θ der Winkel zwischen den beiden ist. Aus der gezeigten Gleichung folgt sofort, dass das Ergebnis des Punktprodukts ein Skalar ist und dass, wenn beide Vektoren senkrecht sind, ihr Punktprodukt 0 ist.

Zurück zur mechanischen Arbeit W ist dies das Skalarprodukt zwischen dem Kraftvektor F und dem Verschiebungsvektor ℓ .

Wenn Vektoren hinsichtlich ihrer Komponenten verfügbar sind, ist das Punktprodukt auch sehr einfach zu berechnen. Wenn v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, das Punktprodukt zwischen den beiden ist:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Das Punktprodukt zwischen Vektoren ist daher kommutativ:

v ∙ u = u ∙ v

Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zwischen Vektoren

Wenn v und u unsere beiden Beispielvektoren sind, definieren wir das Vektorprodukt als:

v x u = w

Daraus folgt unmittelbar, dass das Kreuzprodukt einen Vektor ergibt, dessen Modul definiert ist als:

Wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, daher v x u ≠ u x v. Tatsächlich ist v x u = - (u x v).

Wenn die beiden Beispielvektoren als Einheitsvektoren ausgedrückt werden, wird die Berechnung des Vektorprodukts erleichtert:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Kreuzprodukte zwischen Einheitsvektoren

Das Kreuzprodukt zwischen identischen Einheitsvektoren ist Null, da der Winkel zwischen ihnen 0º beträgt. Aber zwischen verschiedenen Einheitsvektoren beträgt der Winkel zwischen ihnen 90º und sin 90º = 1.

Das folgende Diagramm hilft, diese Produkte zu finden. In Pfeilrichtung hat es eine positive und in die entgegengesetzte Richtung eine negative Richtung:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Wenn wir die Verteilungseigenschaft anwenden, die für die Produkte zwischen Vektoren plus die Eigenschaften von Einheitsvektoren noch gültig ist, haben wir:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Gelöste Übungen

- Übung 1

Angesichts der Vektoren:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Was muss der Vektor w sein, damit die Summe v + u + w 6 i + 8 j -10 k beträgt ?

Lösung

Daher muss Folgendes erfüllt sein:

Die Antwort lautet: w = 9 i +7 j - 18 k

- Übung 2

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren v und u in Aufgabe 1?

Lösung

Wir werden das Punktprodukt verwenden. Aus der Definition haben wir:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Ersetzen dieser Werte:

Verweise

1. Figueroa, D. (2005). Reihe: Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6 .. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14 .. Ed. Band 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. 7 .. Ed. Cengage Learning.