Das Bozen-Theorem besagt, dass, wenn eine Funktion an jedem Punkt eines geschlossenen Intervalls stetig ist und davon überzeugt ist, dass das Bild von "a" und "b" (unter der Funktion) entgegengesetzte Vorzeichen hat, es mindestens einen Punkt gibt ". c "im offenen Intervall (a, b), so dass die in" c "ausgewertete Funktion gleich 0 ist.
Dieser Satz wurde 1850 vom Philosophen, Theologen und Mathematiker Bernard Bozen formuliert. Der in der heutigen Tschechischen Republik geborene Wissenschaftler war einer der ersten Mathematiker in der Geschichte, der einen formalen Beweis für die Eigenschaften kontinuierlicher Funktionen erbrachte.
Erläuterung
Der Satz von Bozen ist auch als Zwischenwertsatz bekannt, mit dessen Hilfe bestimmte Werte, insbesondere Nullen, bestimmter reeller Funktionen einer reellen Variablen bestimmt werden können.
In einer gegebenen Funktion setzt sich f (x) fort - das heißt, dass f (a) und f (b) durch eine Kurve verbunden sind -, wobei f (a) unterhalb der x-Achse liegt (es ist negativ) und f (b) durch über der x-Achse (es ist positiv) oder umgekehrt gibt es grafisch einen Grenzpunkt auf der x-Achse, der einen Zwischenwert «c» darstellt, der zwischen «a» und «b» liegt, und den Wert von f (c) wird gleich 0 sein.
Bei der grafischen Analyse des Bozenschen Theorems ist zu erkennen, dass für jede stetige Funktion f, die in einem Intervall definiert ist, in dem f (a) * f (b) kleiner als 0 ist, mindestens eine Wurzel «c» dieser Funktion vorhanden ist des Intervalls (a, b).
Dieser Satz legt nicht die Anzahl der Punkte in diesem offenen Intervall fest, sondern besagt nur, dass es mindestens 1 Punkt gibt.
Demonstration
Um den Satz von Bozen zu beweisen, wird ohne Verlust der Allgemeinheit angenommen, dass f (a) <0 und f (b)> 0; Somit kann es viele Werte zwischen "a" und "b" geben, für die f (x) = 0 ist, aber nur einer muss angezeigt werden.
Wir beginnen mit der Bewertung von f im Mittelpunkt (a + b) / 2. Wenn f ((a + b) / 2) = 0 ist, endet der Beweis hier; andernfalls ist f ((a + b) / 2) positiv oder negativ.
Eine der Hälften des Intervalls wird so gewählt, dass die Vorzeichen der an den Extremen bewerteten Funktion unterschiedlich sind. Dieses neue Intervall wird sein.
Wenn nun f, das im Mittelpunkt von ausgewertet wird, nicht Null ist, wird dieselbe Operation wie zuvor ausgeführt; Das heißt, es wird eine Hälfte dieses Intervalls gewählt, die die Bedingung der Zeichen erfüllt. Sei dies das neue Intervall.
Wenn Sie mit diesem Vorgang fortfahren, haben Sie zwei Sequenzen {an} und {bn}, so dass:
{an} nimmt zu und {bn} nimmt ab:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Wenn Sie die Länge jedes Intervalls berechnen, müssen Sie:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Daher ist die Grenze, wenn n gegen unendlich von (bn-an) geht, gleich 0.
Wenn wir verwenden, dass {an} zunimmt und begrenzt wird und {bn} abnimmt und begrenzt wird, haben wir, dass es einen Wert «c» gibt, so dass:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Die Grenze von an ist "c" und die Grenze von {bn} ist auch "c". Daher gibt es bei jedem δ> 0 immer ein "n", so dass das Intervall innerhalb des Intervalls enthalten ist (c-δ, c + δ).
Nun muss gezeigt werden, dass f (c) = 0 ist.
Wenn f (c)> 0 ist, existiert, da f stetig ist, ein ε> 0, so dass f über das gesamte Intervall positiv ist (c - ε, c + ε). Wie oben erwähnt, gibt es jedoch einen Wert "n", so dass f das Vorzeichen ändert und darüber hinaus in (c - ε, c + ε) enthalten ist, was ein Widerspruch ist.
Wenn f (c) <0 ist, existiert, da f stetig ist, ein & epsi;> 0, so dass f während des gesamten Intervalls negativ ist (c - & epsi;, c + & epsi;); Es gibt jedoch einen Wert "n", so dass f die Anmeldung ändert. Es stellt sich heraus, dass es in (c - ε, c + ε) enthalten ist, was ebenfalls ein Widerspruch ist.
Daher ist f (c) = 0 und das wollten wir beweisen.
Wofür ist das?
Aus seiner grafischen Interpretation wird der Satz von Bozen verwendet, um Wurzeln oder Nullen in einer stetigen Funktion durch Halbierung (Approximation) zu finden, eine inkrementelle Suchmethode, bei der die Intervalle immer durch 2 geteilt werden.
Dann wird ein Intervall genommen oder wo der Vorzeichenwechsel auftritt, und der Vorgang wird wiederholt, bis das Intervall immer kleiner wird, um sich dem gewünschten Wert nähern zu können; das heißt, auf den Wert, den die Funktion 0 macht.
Um den Satz von Bozen anzuwenden und so die Wurzeln zu finden, die Nullen einer Funktion zu begrenzen oder eine Lösung für eine Gleichung zu finden, werden die folgenden Schritte ausgeführt:
- Es wird überprüft, ob f eine stetige Funktion des Intervalls ist.
- Wenn das Intervall nicht angegeben ist, muss man dort finden, wo die Funktion stetig ist.
- Es wird überprüft, ob die Extreme des Intervalls bei der Bewertung in f entgegengesetzte Vorzeichen ergeben.
- Wenn keine entgegengesetzten Vorzeichen erhalten werden, muss das Intervall unter Verwendung des Mittelpunkts in zwei Teilintervalle unterteilt werden.
- Bewerten Sie die Funktion im Mittelpunkt und stellen Sie sicher, dass die Bozen-Hypothese erfüllt ist, wobei f (a) * f (b) <0 ist.
- Abhängig vom Vorzeichen (positiv oder negativ) des gefundenen Wertes wird der Vorgang mit einem neuen Teilintervall wiederholt, bis die oben genannte Hypothese erfüllt ist.
Gelöste Übungen
Übung 1
Bestimmen Sie, ob die Funktion f (x) = x 2 - 2 mindestens eine reelle Lösung im Intervall hat.
Lösung
Wir haben die Funktion f (x) = x 2 - 2. Da es ein Polynom ist, bedeutet es, dass es in jedem Intervall stetig ist.
Es wird gefragt, ob es in dem Intervall eine echte Lösung gibt, daher ist es jetzt nur noch erforderlich, die Extreme des Intervalls in der Funktion zu ersetzen, um das Vorzeichen dieser zu kennen und um zu wissen, ob sie die Bedingung erfüllen, dass sie unterschiedlich sind:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (positiv)
Daher ist das Vorzeichen von f (1) ≠ das Vorzeichen von f (2).
Dies stellt sicher, dass es mindestens einen Punkt "c" gibt, der zu dem Intervall gehört, in dem f (c) = 0 ist.
In diesem Fall kann der Wert von "c" leicht wie folgt berechnet werden:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Somit gehört √2 ≈ 1,4 zum Intervall und erfüllt f (√2) = 0.
Übung 2
Zeigen Sie, dass die Gleichung x 5 + x + 1 = 0 mindestens eine reale Lösung hat.
Lösung
Beachten wir zunächst, dass f (x) = x 5 + x + 1 eine Polynomfunktion ist, was bedeutet, dass sie auf allen reellen Zahlen stetig ist.
In diesem Fall wird kein Intervall angegeben, daher müssen Werte intuitiv ausgewählt werden, vorzugsweise nahe 0, um die Funktion zu bewerten und die Vorzeichenänderungen zu finden:
Wenn Sie das Intervall verwenden, müssen Sie:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Da es keinen Vorzeichenwechsel gibt, wird der Vorgang mit einem weiteren Intervall wiederholt.
Wenn Sie das Intervall verwenden, müssen Sie:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
In diesem Intervall gibt es einen Vorzeichenwechsel: Vorzeichen von f (-1) ≠ Vorzeichen von f (0), was bedeutet, dass die Funktion f (x) = x 5 + x + 1 mindestens eine reelle Wurzel «c» hat. in dem Intervall, so dass f (c) = 0. Mit anderen Worten, es ist wahr, dass x 5 + x + 1 = 0 eine echte Lösung in dem Intervall hat.
Verweise
- Bronshtein I, SK (1988). Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten. . Editorial MIR.
- George, A. (1994). Mathematik und Geist. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Mathematische Analyse. In drei Bänden. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Lehrer der Sekundarstufe. Band II. WÜTEND.
- Mateos, ML (2013). Grundlegende Eigenschaften der Analyse in R. Editores, 20. Dezember.
- Piskunov, N. (1980). Differential- und Integralrechnung. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Mathematik für die Wirtschaftsanalyse. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Kontinuierliche Symmetrie: Von Euklid zu Klein. American Mathematical Soc.