- Formeln und Eigenschaften
- Der Bereich unter der Kurve
- Gelöste Übungen
- - Übung 1
- Lösung
- - Übung 2
- Lösung
- Verweise
Die Riemannsche Summe ist der Name für die ungefähre Berechnung eines bestimmten Integrals mittels einer diskreten Summation mit einer endlichen Anzahl von Termen. Eine häufige Anwendung ist die Approximation des Funktionsbereichs in einem Diagramm.
Es war der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), der zunächst eine strenge Definition des Integrals einer Funktion in einem bestimmten Intervall anbot. Er machte es in einem Artikel bekannt, der 1854 veröffentlicht wurde.
Abbildung 1. Die Riemann-Summe wird für eine Funktion f und für eine Partition im Intervall definiert. Quelle: Fanny Zapata.
Die Riemannsche Summe wird auf einer Funktion y = f (x) definiert, wobei x zum geschlossenen Intervall gehört. In diesem Intervall wird eine Partition P von n Elementen erstellt:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Dies bedeutet, dass das Intervall wie folgt aufgeteilt wird:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Abbildung 1 zeigt grafisch die Riemannsche Summe der Funktion f im Intervall auf einer Partition von vier Teilintervallen, den grauen Rechtecken.
Die Summe stellt die Gesamtfläche der Rechtecke dar und das Ergebnis dieser Summe approximiert numerisch die Fläche unter der Kurve f zwischen der Abszisse x = x 0 und x = x 4 .
Natürlich verbessert sich die Annäherung an die Fläche unter der Kurve erheblich, wenn die Anzahl n der Partitionen größer ist. Auf diese Weise konvergiert die Summe gegen die Fläche unter der Kurve, wenn die Anzahl n der Partitionen gegen unendlich tendiert.
Formeln und Eigenschaften
Die Riemannsche Summe der Funktion f (x) auf der Partition:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Über das Intervall definiert, ist es gegeben durch:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k - 1 )
Wobei t k ein Wert im Intervall ist. In der Riemannschen Summe werden üblicherweise regelmäßige Intervalle der Breite Δx = (b - a) / n verwendet, wobei a und b die Minimal- und Maximalwerte der Abszisse sind, während n die Anzahl der Unterteilungen ist.
In diesem Fall lautet die richtige Summe von Riemann:
Sd (f, n) = * Δx
Abbildung 2. Riemannsche rechte Summe. Quelle: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Während die linke Summe von Riemann ausgedrückt wird als:
Wenn (f, n) = * Δx
Abbildung 3. Linke Riemann-Summe. Quelle: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Schließlich lautet die zentrale Riemannsche Summe:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Abbildung 4. Zwischen-Riemann-Summe. Quelle: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Je nachdem, wo sich der Punkt t k im Intervall befindet, kann die Riemannsche Summe den genauen Wert der Fläche unter der Kurve der Funktion y = f (x) überschätzen oder unterschätzen. Mit anderen Worten, die Rechtecke können entweder aus der Kurve herausragen oder etwas darunter liegen.
Der Bereich unter der Kurve
Die Haupteigenschaft der Riemannschen Summe, aus der sich ihre Bedeutung ergibt, ist, dass das Ergebnis der Summe gegen das bestimmte Integral der Funktion konvergiert, wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich tendiert:
Gelöste Übungen
- Übung 1
Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals zwischen a = -2 bis b = +2 der Funktion:
f (x) = x 2
Nutzen Sie eine Riemannsche Summe. Finden Sie dazu zuerst die Summe für n reguläre Partitionen des Intervalls und nehmen Sie dann die mathematische Grenze für den Fall, dass die Anzahl der Partitionen gegen unendlich tendiert.
Lösung
Dies sind die folgenden Schritte:
- Zunächst wird das Partitionsintervall wie folgt definiert:
Δx = (b - a) / n.
-Dann sieht die Riemann-Summe rechts, die der Funktion f (x) entspricht, folgendermaßen aus:
-Und dann wird es in der Summe sorgfältig ersetzt:
-Der nächste Schritt besteht darin, die Summierungen zu trennen und die konstanten Größen als gemeinsamen Faktor für jede Summe zu verwenden. Es ist zu berücksichtigen, dass der Index i ist, daher werden die Zahlen und Terme mit n als konstant betrachtet:
-Jede Summe wird ausgewertet, da es für jeden von ihnen entsprechende Ausdrücke gibt. Zum Beispiel gibt die erste der Summen n:
-Finally ist das zu berechnende Integral:
Der Leser kann überprüfen, ob dies das genaue Ergebnis ist, das durch Lösen des unbestimmten Integrals und Bewerten der Integrationsgrenzen nach der Barrow-Regel erhalten werden kann.
- Übung 2
Bestimmen Sie ungefähr den Bereich unter der Funktion:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Geben Sie x = -1 und x = + 1 mit einer zentralen Riemann-Summe mit 10 Partitionen ein. Vergleichen Sie mit dem genauen Ergebnis und schätzen Sie die prozentuale Differenz.
Lösung
Der Schritt oder das Inkrement zwischen zwei aufeinanderfolgenden diskreten Werten ist:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Die Partition P, auf der die Rechtecke definiert sind, sieht also folgendermaßen aus:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Da jedoch die zentrale Summe gewünscht wird, wird die Funktion f (x) an den Mittelpunkten der Teilintervalle ausgewertet, dh in der Menge:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
Die (zentrale) Riemannsche Summe sieht folgendermaßen aus:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + … + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Da die Funktion f symmetrisch ist, ist es möglich, die Summe auf nur 5 Terme zu reduzieren und das Ergebnis mit zwei zu multiplizieren:
S = 2 · 0,2 · {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Die in diesem Beispiel angegebene Funktion ist keine andere als die bekannte Gaußsche Glocke (normalisiert, mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung von Eins). Die Fläche unter der Kurve im Intervall für diese Funktion beträgt bekanntermaßen 0,6827.
Abbildung 5. Fläche unter einer Gaußschen Glocke, angenähert durch eine Riemannsche Summe. Quelle: F. Zapata.
Dies bedeutet, dass die ungefähre Lösung mit nur 10 Termen der exakten Lösung mit drei Dezimalstellen entspricht. Der prozentuale Fehler zwischen dem ungefähren und dem exakten Integral beträgt 0,07%.
Verweise
- Casteleiro, JM & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralrechnung (Illustrated ed.). Madrid: ESIC Editorial.
- Unican. Geschichte des Integralkonzepts. Wiederhergestellt von: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann summiert. Wiederhergestellt von: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemannsumme. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Riemann-Integration. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com