SARRUS-REGEL: WORAUS ES BESTEHT UND WELCHE ARTEN VON DETERMINANTEN - KULTURVOKABULAR - 2025

Die Regel Sarrus wird verwendet, um das Ergebnis von 3 × 3 Determinanten zu berechnen. Diese werden verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen und herauszufinden, ob sie kompatibel sind.

Kompatible Systeme erleichtern den Erhalt der Lösung. Sie werden auch verwendet, um zu bestimmen, ob Vektorsätze linear unabhängig sind, und um die Basis des Vektorraums zu bilden.

Diese Anwendungen basieren auf der Invertierbarkeit der Matrizen. Wenn eine Matrix regulär ist, unterscheidet sich ihre Determinante von 0. Wenn sie singulär ist, ist ihre Determinante gleich 0. Determinanten können nur in quadratischen Matrizen berechnet werden.

Um Matrizen beliebiger Ordnung zu berechnen, kann der Satz von Laplace verwendet werden. Dieser Satz ermöglicht es uns, Matrizen mit hohen Dimensionen in Summen kleiner Determinanten zu vereinfachen, die wir aus der Hauptmatrix zerlegen.

Es besagt, dass die Determinante einer Matrix gleich der Summe der Produkte jeder Zeile oder Spalte multipliziert mit der Determinante ihrer angrenzenden Matrix ist.

Dies reduziert die Determinanten, so dass eine Determinante des Grades n zu n Determinanten von n-1 wird. Wenn wir diese Regel nacheinander anwenden, können wir Determinanten der Dimension 2 (2 × 2) oder 3 (3 × 3) erhalten, deren Berechnung viel einfacher ist.

Sarrus-Regel

Pierre Frederic Sarrus war ein französischer Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Die meisten seiner mathematischen Abhandlungen basieren auf Methoden zur Lösung von Gleichungen und der Variationsrechnung innerhalb numerischer Gleichungen.

In einer seiner Abhandlungen löste er eines der komplexesten Rätsel der Mechanik. Um die Probleme der Gelenkstücke zu lösen, führte Sarrus die Transformation alternativer geradliniger Bewegungen in gleichmäßige Kreisbewegungen ein. Dieses neue System ist als Sarrus-Mechanismus bekannt.

Die Forschung, die diesem Mathematiker den größten Ruhm einbrachte, war die Einführung einer neuen Methode zur Berechnung von Determinanten in dem Artikel "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Neue Methode zur Lösung von Gleichungen), der in der Jahr 1833. Diese Art der Lösung linearer Gleichungen ist als Sarrus-Regel bekannt.

Mit der Sarrus-Regel können wir die Determinante einer 3 × 3-Matrix berechnen, ohne den Satz von Laplace verwenden zu müssen, wodurch eine viel einfachere und intuitivere Methode eingeführt wird. Um den Wert der Sarrus-Regel zu überprüfen, nehmen wir eine beliebige Matrix der Dimension 3:

Die Berechnung seiner Determinante würde unter Verwendung des Produkts seiner Hauptdiagonalen durchgeführt, wobei das Produkt der inversen Diagonalen subtrahiert wird. Dies wäre wie folgt:

Die Sarrus-Regel ermöglicht es uns, bei der Berechnung der Diagonalen der Determinante eine viel einfachere Sicht zu erhalten. Dies würde durch Hinzufügen der ersten beiden Spalten auf der Rückseite der Matrix vereinfacht. Auf diese Weise wird für die Berechnung des Produkts deutlicher ersichtlich, welche seine Hauptdiagonalen und welche die umgekehrten sind.

Durch dieses Bild können wir die Anwendung der Sarrus-Regel sehen, wir fügen Zeile 1 und 2 unterhalb der grafischen Darstellung der Anfangsmatrix ein. Auf diese Weise sind die Hauptdiagonalen die drei Diagonalen, die zuerst erscheinen.

Die drei umgekehrten Diagonalen sind diejenigen, die zuerst hinten erscheinen.

Auf diese Weise erscheinen die Diagonalen visueller, ohne die Auflösung der Determinante zu komplizieren, und versuchen herauszufinden, welche Elemente der Matrix zu jeder Diagonale gehören.

Wie es im Bild erscheint, wählen wir die Diagonalen und berechnen das resultierende Produkt jeder Funktion. Die Diagonalen, die blau erscheinen, summieren sich. Zu dieser Summe subtrahieren wir den Wert der Diagonalen, die rot erscheinen.

Um die Komprimierung zu vereinfachen, können wir ein numerisches Beispiel verwenden, anstatt algebraische Begriffe und Subterme zu verwenden.

Wenn wir eine 3 × 3-Matrix nehmen, zum Beispiel:

Um die Sarrus-Regel anzuwenden und sie visueller zu lösen, sollten wir Zeile 1 und 2 als Zeile 4 bzw. 5 einfügen. Es ist wichtig, Zeile 1 auf der 4. Position und Zeile 2 auf der 5. Position zu halten. Denn wenn wir sie austauschen, ist die Sarrus-Regel nicht wirksam.

Um die Determinante zu berechnen, wäre unsere Matrix wie folgt:

Um mit der Berechnung fortzufahren, multiplizieren wir die Elemente der Hauptdiagonalen. Nachkommen, die von links beginnen, haben ein positives Vorzeichen. während die inversen Diagonalen, die von rechts beginnen, ein negatives Vorzeichen haben.

In diesem Beispiel hätten die blauen ein positives Vorzeichen und die roten ein negatives Vorzeichen. Die endgültige Berechnung der Sarrus-Regel würde folgendermaßen aussehen:

Arten von Determinanten

Determinante der Dimension 1

Wenn die Dimension der Matrix 1 ist, sieht die Matrix folgendermaßen aus: A = (a)

Daher wäre seine Determinante wie folgt: det (A) = -A- = a

Zusammenfassend ist die Determinante der Matrix A gleich dem Absolutwert der Matrix A, die in diesem Fall a ist.

Determinante der Dimension 2

Wenn wir zu Matrizen der Dimension 2 übergehen, erhalten wir Matrizen vom Typ:

Wo seine Determinante definiert ist als:

Die Auflösung dieser Determinante basiert auf der Multiplikation ihrer Hauptdiagonale, wobei das Produkt ihrer inversen Diagonale subtrahiert wird.

Als Mnemonik können wir das folgende Diagramm verwenden, um uns an seine Determinante zu erinnern:

Determinante der Dimension 3

Wenn die Dimension der Matrix 3 ist, wäre die resultierende Matrix von diesem Typ:

Die Determinante dieser Matrix würde durch Sarrus 'Regel folgendermaßen gelöst:

Verweise

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