TRÄGHEITSMOMENT: FORMELN, GLEICHUNGEN UND BERECHNUNGSBEISPIELE - KÖRPERLICH - 2024

Das Trägheitsmoment eines starren Körpers in Bezug auf eine bestimmte Drehachse repräsentiert seinen Widerstand gegen die Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit um diese Achse. Es ist proportional zur Masse und auch zum Ort der Rotationsachse, da sich der Körper je nach Geometrie leichter um bestimmte Achsen drehen kann als in anderen.

Angenommen, ein großes Objekt (bestehend aus vielen Partikeln) kann sich um eine Achse drehen. Angenommen, eine Kraft F wirkt tangential auf das Element der Masse Δm _i , die ein Drehmoment oder Moment erzeugt, gegeben durch τ _net = ∑ r _i x F _i . Der Vektor r _i ist die Position von Δm _i (siehe Abbildung 2).

Abbildung 1. Trägheitsmomente verschiedener Figuren. Quelle: Wikimedia Commons.

Dieses Moment ist senkrecht zur Rotationsebene (Richtung + k = Verlassen des Papiers). Da die Kraft und der radiale Positionsvektor immer senkrecht sind, bleibt das Kreuzprodukt:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Abbildung 2. Ein Partikel, das zu einem starren Feststoff in Rotation gehört. Quelle: Serway, R. 2018. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Lernen einbinden.

Die Beschleunigung a _i stellt die Tangentialkomponente der Beschleunigung dar, da die Radialbeschleunigung nicht zum Drehmoment beiträgt. In Abhängigkeit von der Winkelbeschleunigung α können wir Folgendes angeben:

Daher sieht das Nettodrehmoment folgendermaßen aus:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Die Winkelbeschleunigung α ist für das gesamte Objekt gleich, wird daher vom Index "i" nicht beeinflusst und kann die Summation verlassen, die genau das Trägheitsmoment des durch den Buchstaben I symbolisierten Objekts ist:

Dies ist das Trägheitsmoment einer diskreten Massenverteilung. Wenn die Verteilung stetig ist, wird die Summation durch ein Integral ersetzt und Δm wird zu einem Massendifferential dm. Das Integral wird über das gesamte Objekt ausgeführt:

Die Einheiten für das Trägheitsmoment im SI International System sind kg xm ² . Es ist eine skalare und positive Größe, da es das Produkt einer Masse und des Quadrats einer Entfernung ist.

Berechnungsbeispiele

Bei einem erweiterten Objekt wie einem Balken, einer Scheibe, einer Kugel oder einem anderen Objekt, dessen Dichte ρ konstant ist und dessen Dichte das Masse-Volumen-Verhältnis ist, wird das Massendifferential dm wie folgt geschrieben:

Wenn wir den Trägheitsmoment durch das Integral ersetzen, haben wir:

Dies ist ein allgemeiner Ausdruck, der für ein dreidimensionales Objekt gilt, dessen Volumen V und Position r Funktionen der Raumkoordinaten x, y und z sind. Beachten Sie, dass die Dichte konstant ist und außerhalb des Integrals liegt.

Die Dichte ρ wird auch als Schüttdichte bezeichnet. Wenn das Objekt jedoch sehr flach wie ein Blatt oder sehr dünn und schmal wie ein Stab ist, können andere Dichteformen verwendet werden.

- Für ein sehr dünnes Blech beträgt die zu verwendende Dichte σ, die Oberflächendichte (Masse pro Flächeneinheit) und dA die Flächendifferenz.

- Und wenn es sich um einen dünnen Balken handelt, bei dem nur die Länge relevant ist, werden die lineare Massendichte λ und ein Längenunterschied entsprechend der als Referenz verwendeten Achse verwendet.

In den folgenden Beispielen werden alle Objekte als starr (nicht verformbar) betrachtet und haben eine gleichmäßige Dichte.

Trägheitsmoment eines dünnen Stabes in Bezug auf eine Achse, die durch seine Mitte verläuft

Hier berechnen wir das Trägheitsmoment eines dünnen, starren, homogenen Stabes mit der Länge L und der Masse M in Bezug auf eine Achse, die durch das Medium verläuft.

Zunächst müssen Sie ein Koordinatensystem erstellen und eine Figur mit der entsprechenden Geometrie erstellen:

Abbildung 3. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments eines dünnen Stabes in Bezug auf eine vertikale Achse, die durch seine Mitte verläuft. Quelle: F. Zapata.

Als Drehachse wurde die x-Achse entlang des Balkens und die y-Achse gewählt. Das Verfahren zum Festlegen des Integrals erfordert auch die Auswahl eines Massendifferentials auf dem Stab, genannt dm, das eine Differentiallänge dx hat und sich an der beliebigen Position x in Bezug auf das Zentrum x = 0 befindet.

Nach der Definition der linearen Massendichte λ:

Da die Dichte einheitlich ist, was für M und L gilt, gilt sie auch für dm und dx:

Andererseits befindet sich das Massenelement in Position x. Durch Ersetzen dieser Geometrie in der Definition erhalten wir ein bestimmtes Integral, dessen Grenzen die Enden des Balkens gemäß dem Koordinatensystem sind:

Einsetzen der linearen Dichte λ = M / L:

Um das Trägheitsmoment des Balkens in Bezug auf eine andere Rotationsachse zu ermitteln, beispielsweise eine, die durch eines seiner Extreme verläuft, können Sie den Steiner-Satz verwenden (siehe Übung am Ende gelöst) oder eine direkte Berechnung durchführen, die der gezeigten ähnlich ist hier, aber die Geometrie entsprechend ändern.

Trägheitsmoment einer Scheibe in Bezug auf eine Achse, die durch ihre Mitte verläuft

Eine sehr dünne Scheibe von vernachlässigbarer Dicke ist eine flache Figur. Wenn die Masse gleichmäßig über die gesamte Oberfläche der Fläche A verteilt ist, beträgt die Massendichte σ:

Sowohl dm als auch dA entsprechen der Masse und der Fläche des in der Figur gezeigten Differentialrings. Wir gehen davon aus, dass sich die gesamte Baugruppe um die y-Achse dreht.

Sie können sich vorstellen, dass die Scheibe aus vielen konzentrischen Ringen mit dem Radius r besteht, von denen jeder sein jeweiliges Trägheitsmoment hat. Addiert man die Beiträge aller Ringe bis zum Erreichen des Radius R, so ergibt sich das gesamte Trägheitsmoment der Scheibe.

Abbildung 4. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments einer Scheibe in Bezug auf die Axialachse. Quelle: F. Zapata.

Wobei M die gesamte Masse der Platte darstellt. Die Fläche einer Platte hängt von ihrem Radius r ab als:

Ableiten in Bezug auf r:

Einsetzen des Obigen in die Definition von I:

Wenn wir σ = M / (π.R ² ) einsetzen, erhalten wir:

Trägheitsmoment einer festen Kugel um einen Durchmesser

Eine Kugel mit dem Radius R kann als eine Reihe übereinander gestapelter Scheiben betrachtet werden, wobei jede Scheibe mit infinitesimaler Masse dm, Radius r und Dicke dz ein Trägheitsmoment aufweist, das gegeben ist durch:

Um dieses Differential zu finden, haben wir einfach die Formel aus dem vorherigen Abschnitt genommen und dm bzw. r durch M und R ersetzt. Eine solche Scheibe ist in der Geometrie von Abbildung 5 zu sehen.

Figure 5. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments einer festen Kugel mit dem Radius R in Bezug auf eine Achse, die durch einen Durchmesser verläuft. Quelle: F. Zapata.

Durch Addition aller infinitesimalen Trägheitsmomente gestapelter Scheiben wird das gesamte Trägheitsmoment der Kugel erhalten:

Welches ist gleichbedeutend mit:

Um das Integral zu lösen, müssen Sie dm entsprechend ausdrücken. Wie immer wird es aus der Dichte erreicht:

Das Volumen einer Differenzplatte beträgt:

Die Höhe der Scheibe ist die Dicke dz, während die Fläche der Basis πr ² beträgt , daher:

Und wenn man das vorgeschlagene Integral ersetzt, sieht es so aus:

Vor der Integration müssen wir jedoch beobachten, dass r - der Radius der Scheibe - von z und R - dem Radius der Kugel - abhängt, wie aus Abbildung 5 ersichtlich ist. Verwenden des Satzes von Pythagoras:

Was uns führt zu:

Um sich über die gesamte Kugel zu integrieren, stellen wir fest, dass z zwischen –R und R variiert, daher:

Zu wissen, dass ρ = M / V = ​​M / schließlich erhalten wird, nachdem vereinfacht wurde:

Trägheitsmoment eines Vollzylinders in Bezug auf die Axialachse

Für dieses Objekt wird eine ähnliche Methode wie für die Kugel verwendet. Nur diesmal ist es einfacher, wenn man sich vorstellt, dass der Zylinder aus zylindrischen Schalen mit dem Radius r, der Dicke dr und der Höhe H besteht, als wären sie die Schichten einer Zwiebel. .

Figure 6. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments eines Vollzylinders mit Radius R in Bezug auf die Axialachse. Quelle: Serway, R. 2018. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Einrasten.

Das Volumen dV einer zylindrischen Schicht beträgt:

Daher ist die Schalenmasse:

Dieser Ausdruck wird in der Definition des Trägheitsmoments ersetzt:

Die obige Gleichung zeigt, dass das Trägheitsmoment des Zylinders nicht von seiner Länge abhängt, sondern nur von seiner Masse und seinem Radius. Wenn sich L ändern würde, würde das Trägheitsmoment um die axiale Achse gleich bleiben. Aus diesem Grund stimmt I des Zylinders mit dem der zuvor berechneten dünnen Scheibe überein.

Trägheitsmoment eines rechteckigen Blechs in Bezug auf eine Achse, die durch seine Mitte verläuft

Die horizontale y-Achse wurde als Drehachse gewählt. Die folgende Abbildung zeigt die zur Durchführung der Integration erforderliche Geometrie:

Abbildung 7. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments einer rechteckigen Platte in Bezug auf eine Achse, die parallel zum Blech verläuft und durch dessen Mitte verläuft. Quelle: F. Zapata.

Das rot markierte Flächenelement ist rechteckig. Seine Fläche ist Basis x Höhe, daher:

Daher ist das Massendifferential:

Der Abstand vom Flächenelement zur Rotationsachse beträgt immer z. All dies ersetzen wir im Integral des Trägheitsmoments:

Nun wird die Oberflächenmassendichte σ ersetzt durch:

Und es sieht definitiv so aus:

Beachten Sie, dass es wie der dünne Balken ist.

Trägheitsmoment eines quadratischen Blechs in Bezug auf eine Achse, die durch seine Mitte verläuft

Ersetzen Sie für ein Quadrat mit Seite L im vorherigen Ausdruck, der für ein Rechteck gültig ist, einfach den Wert von b durch den von L:

Trägheitsmomentsätze

Es gibt zwei besonders nützliche Theoreme, um die Berechnung von Trägheitsmomenten in Bezug auf andere Achsen zu vereinfachen, die ansonsten aufgrund fehlender Symmetrie schwer zu finden sein könnten. Diese Sätze sind:

Steiners Satz

Auch als Satz der parallelen Achsen bezeichnet, bezieht er das Trägheitsmoment in Bezug auf eine Achse mit einer anderen, die durch den Schwerpunkt des Objekts verläuft, solange die Achsen parallel sind. Um es anzuwenden, ist es notwendig, den Abstand D zwischen beiden Achsen und natürlich die Masse M des Objekts zu kennen.

Sei I _z das Trägheitsmoment eines Objekts, das sich in Bezug auf die z-Achse erstreckt, I _CM das Trägheitsmoment in Bezug auf eine Achse, die durch den Schwerpunkt (CM) des Objekts verläuft, dann ist erfüllt, dass:

Oder in der Notation der folgenden Abbildung: I _{z '} = I _z + Md ²

Abbildung 8. Steiners Theorem oder parallele Achsen. Quelle: Wikimedia Commons. Jack See

Satz der senkrechten Achsen

Dieser Satz wird auf ebene Flächen angewendet und sieht folgendermaßen aus: Das Trägheitsmoment eines ebenen Objekts um eine dazu senkrechte Achse ist die Summe der Trägheitsmomente um zwei Achsen senkrecht zur ersten Achse:

Abbildung 9. Satz der senkrechten Achsen. Quelle: F. Zapata.

Wenn das Objekt eine Symmetrie aufweist, bei der I _x und I _y gleich sind, gilt Folgendes:

Übung gelöst

Ermitteln Sie das Trägheitsmoment der Stange in Bezug auf eine Achse, die durch eines ihrer Enden verläuft, wie in Abbildung 1 (unten und rechts) und Abbildung 10 dargestellt.

Abbildung 10. Trägheitsmoment eines homogenen Stabes um eine Achse, die durch ein Ende verläuft. Quelle: F. Zapata.

Lösung:

Wir haben bereits das Trägheitsmoment des Balkens um eine Achse, die durch sein geometrisches Zentrum verläuft. Da der Balken homogen ist, befindet sich sein Schwerpunkt an diesem Punkt. Dies ist also unser I _CM , um Steiners Theorem anzuwenden.

Wenn die Länge des Balkens L ist, befindet sich die z-Achse in einem Abstand D = L / 2, daher:

Verweise

1. Bauer, W. 2011. Physik für Ingenieurwissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson. 190-200.
3. Satz der parallelen Achse. Wiederhergestellt von: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. Einrasten.
5. Sevilla Universität. Trägheitsmoment der sphärischen Feststoffe. Wiederhergestellt von: laplace.us.es.
6. Sevilla Universität. Trägheitsmoment eines Partikelsystems. Wiederhergestellt von: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Satz der parallelen Achse. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org