- Wofür sind Einspritzfunktionen?
- Funktionskonditionierung
- Beispiele für Injektionsfunktionen mit gelösten Übungen
- Beispiel 1
- Beispiel 2
- Beispiel 3
- Beispiel 4
- Beispiel 5
- Beispiel 6
- Verweise
Eine injizierende Funktion ist eine Beziehung von Elementen der Domäne zu einem einzelnen Element der Codomäne. Sie werden auch als Eins-zu-Eins- Funktion ( 1 - 1 ) bezeichnet und sind Teil der Klassifizierung von Funktionen in Bezug auf die Art und Weise, wie ihre Elemente zusammenhängen.
Ein Element der Codomäne kann nur das Bild eines einzelnen Elements der Domäne sein. Auf diese Weise können die Werte der abhängigen Variablen nicht wiederholt werden.
Quelle: Autor.
Ein klares Beispiel wäre die Gruppierung von Männern mit Jobs in Gruppe A und in Gruppe B aller Chefs. Funktion F ist diejenige, die jeden Arbeiter mit seinem Chef verbindet. Wenn jeder Arbeiter durch F einem anderen Chef zugeordnet ist , ist F eine injizierende Funktion .
Um eine injektive Funktion in Betracht zu ziehen , muss Folgendes erfüllt sein:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Dies ist die algebraische Art zu sagen. Für jedes x 1, das sich von x 2 unterscheidet , haben wir ein F (x 1 ), das sich von F (x 2 ) unterscheidet.
Wofür sind Einspritzfunktionen?
Injektivität ist eine Eigenschaft kontinuierlicher Funktionen, da sie die Zuordnung von Bildern für jedes Element der Domäne sicherstellen, ein wesentlicher Aspekt für die Kontinuität einer Funktion.
Wenn Sie eine Linie parallel zur X- Achse im Diagramm einer Injektionsfunktion zeichnen , sollte das Diagramm nur an einem einzelnen Punkt berührt werden, unabhängig davon, auf welcher Höhe oder Größe von Y die Linie gezeichnet wird. Dies ist die grafische Methode zum Testen der Injektivität einer Funktion.
Eine andere Möglichkeit zu testen, ob eine Funktion injektiv ist, besteht darin, die unabhängige Variable X in Bezug auf die abhängige Variable Y zu lösen. Anschließend muss überprüft werden, ob die Domäne dieses neuen Ausdrucks gleichzeitig mit jedem Wert von Y die reellen Zahlen enthält Es gibt einen einzelnen Wert von X.
Die Funktionen oder Ordnungsbeziehungen gehorchen unter anderem der Notation F: D f → C f
Was ist gelesen F, das von D f nach C f geht
Wobei die Funktion F die Mengen Domain und Codomain in Beziehung setzt . Wird auch als Startsatz und Endsatz bezeichnet.
Die Domäne D f enthält die zulässigen Werte für die unabhängige Variable. Die Codomäne C f besteht aus allen Werten, die der abhängigen Variablen zur Verfügung stehen. Die Elemente von C f auf verwandten D f sind bekannt als die Reichweite der Funktion (R f ).
Funktionskonditionierung
Manchmal kann eine nicht injektive Funktion bestimmten Bedingungen ausgesetzt sein. Diese neuen Bedingungen können es zu einer injizierenden Funktion machen. Alle Arten von Modifikationen an der Domäne und Codomäne der Funktion sind gültig, wobei das Ziel darin besteht, die Injektivitätseigenschaften in der entsprechenden Beziehung zu erfüllen.
Beispiele für Injektionsfunktionen mit gelösten Übungen
Beispiel 1
Die Funktion F: R → R sei durch die Linie F (x) = 2x - 3 definiert
EIN:
Quelle: Autor.
Es wird beobachtet, dass für jeden Wert der Domäne ein Bild in der Codomäne vorhanden ist. Dieses Bild ist einzigartig, was F zu einer injizierenden Funktion macht. Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren höchster Grad der Variablen eins ist).
Quelle: Autor.
Beispiel 2
Die Funktion F: R → R sei definiert durch F (x) = x 2 +1
Quelle: Autor
Beim Zeichnen einer horizontalen Linie wird beobachtet, dass der Graph mehr als einmal gefunden wird. Aus diesem Grund ist die Funktion F nicht injektiv, solange R → R definiert ist
Wir fahren fort, die Domäne der Funktion zu konditionieren:
F: R + U {0} → R.
Quelle: Autor
Jetzt nimmt die unabhängige Variable keine negativen Werte an, auf diese Weise werden wiederholte Ergebnisse vermieden und die durch F (x) = x 2 + 1 definierte Funktion F: R + U {0} → R ist injektiv .
Eine andere homologe Lösung wäre, die Domäne nach links zu begrenzen, dh die Funktion so einzuschränken, dass nur negative und Nullwerte angenommen werden.
Wir fahren fort, die Domäne der Funktion zu konditionieren
F: R - U {0} → R.
Quelle: Autor
Jetzt nimmt die unabhängige Variable keine negativen Werte an, auf diese Weise werden wiederholte Ergebnisse vermieden und die durch F (x) = x 2 + 1 definierte Funktion F: R - U {0} → R ist injektiv .
Trigonometrische Funktionen haben ein wellenartiges Verhalten, bei dem es sehr häufig vorkommt, dass sich Werte in der abhängigen Variablen wiederholen. Durch spezifische Konditionierung, basierend auf dem Vorwissen über diese Funktionen, können wir die Domäne eingrenzen, um die Bedingungen der Injektivität zu erfüllen.
Beispiel 3
Die Funktion F: → R sei definiert durch F (x) = Cos (x)
In dem Intervall variiert die Kosinusfunktion ihre Ergebnisse zwischen Null und Eins.
Quelle: Autor.
Wie in der Grafik zu sehen ist. Sie beginnt bei x = - π / 2 bei Null und erreicht dann bei Null ein Maximum. Nach x = 0 beginnen sich die Werte zu wiederholen, bis sie bei x = π / 2 auf Null zurückkehren . Auf diese Weise ist bekannt, dass F (x) = Cos (x) für das Intervall nicht injektiv ist .
Bei der Untersuchung des Graphen der Funktion F (x) = Cos (x) werden Intervalle beobachtet, in denen sich das Verhalten der Kurve an die Injektivitätskriterien anpasst. Wie das Intervall
Wenn die Funktion variiert, ergibt sich ein Ergebnis von 1 bis -1, ohne dass ein Wert in der abhängigen Variablen wiederholt wird.
Auf diese Weise ist die durch F (x) = Cos (x) definierte Funktionsfunktion F: → R. Es ist injektiv
Es gibt nichtlineare Funktionen, bei denen ähnliche Fälle auftreten. Für Ausdrücke rationalen Typs, bei denen der Nenner mindestens eine Variable enthält, gibt es Einschränkungen, die die Injektivität der Beziehung verhindern.
Beispiel 4
Die Funktion F: R → R sei definiert durch F (x) = 10 / x
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, mit Ausnahme von {0} , die eine Unbestimmtheit haben (sie kann nicht durch Null geteilt werden) .
Wenn sich die abhängige Variable von links Null nähert, nimmt sie sehr große negative Werte an, und unmittelbar nach Null nehmen die Werte der abhängigen Variablen große positive Zahlen an.
Diese Störung macht den Ausdruck F: R → R definiert durch F (x) = 10 / x
Sei nicht injektiv.
Wie in den vorherigen Beispielen zu sehen ist, dient der Ausschluss von Werten in der Domäne dazu, diese Unbestimmtheiten zu "reparieren". Wir schließen Null aus der Domäne aus und lassen die Start- und Endsätze wie folgt definiert:
R - {0} → R.
Wobei R - {0} die Reals symbolisiert, mit Ausnahme einer Menge, deren einziges Element Null ist.
Auf diese Weise ist der durch F (x) = 10 / x definierte Ausdruck F: R - {0} → R injektiv.
Beispiel 5
Die Funktion F: → R sei definiert durch F (x) = Sen (x)
In dem Intervall variiert die Sinusfunktion ihre Ergebnisse zwischen Null und Eins.
Quelle: Autor.
Wie in der Grafik zu sehen ist. Sie beginnt bei x = 0 bei Null und erreicht dann bei x = π / 2 ein Maximum . Nach x = π / 2 beginnen sich die Werte zu wiederholen, bis sie bei x = π auf Null zurückkehren . Auf diese Weise ist bekannt, dass F (x) = Sen (x) für das Intervall nicht injektiv ist .
Bei der Untersuchung des Graphen der Funktion F (x) = Sen (x) werden Intervalle beobachtet, in denen sich das Verhalten der Kurve an die Injektivitätskriterien anpasst. Wie das Intervall
Wenn die Funktion variiert, ergibt sich ein Ergebnis von 1 bis -1, ohne dass ein Wert in der abhängigen Variablen wiederholt wird.
Auf diese Weise ist die Funktion F: → R definiert durch F (x) = Sen (x). Es ist injektiv
Beispiel 6
Überprüfen Sie, ob die durch F (x) = Tan (x) definierte Funktion F: → R
F: → R definiert durch F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definiert durch die Linie F (x) = 7x + 2
Verweise
- Einführung in Logik und kritisches Denken. Merrilee H. Salmon. Universität von Pittsburgh
- Probleme in der mathematischen Analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universität Wroclaw. Polen.
- Elemente der abstrakten Analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Abteilung für Mathematik. Universität Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Einführung in die Logik und in die Methodik der deduktiven Wissenschaften. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
- Prinzipien der mathematischen Analyse. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.