ELLIPSOID: EIGENSCHAFTEN UND BEISPIELE - ARTE - 2025

Das Ellipsoid ist eine Fläche im Raum, die zur Gruppe der quadratischen Flächen gehört und deren allgemeine Gleichung folgende Form hat:

Es ist das dreidimensionale Äquivalent einer Ellipse, die in einigen Sonderfällen durch elliptische und kreisförmige Spuren gekennzeichnet ist. Die Spuren sind die Kurven, die durch Schneiden des Ellipsoids mit einer Ebene erhalten werden.

Abbildung 1. Drei verschiedene Ellipsoide: oben eine Kugel, in der die drei Halbachsen gleich sind, unten links ein Sphäroid mit zwei gleichen und einem anderen Halbachsen und unten rechts ein dreiachsiges Sphäroid mit drei verschiedenen Achsen Länge. Quelle: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Zusätzlich zum Ellipsoid gibt es fünf weitere Quadriken: einblättriges und zweiblättriges Hyperboloid, zwei Arten von Paraboloid (hyperbolisch und elliptisch) und den elliptischen Kegel. Seine Spuren sind auch konisch.

Das Ellipsoid kann auch durch die Standardgleichung in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Ein Ellipsoid, das am Ursprung zentriert ist (0,0,0) und auf diese Weise ausgedrückt wird, ähnelt der Ellipse, jedoch mit einem zusätzlichen Begriff:

Die Werte von a, b und c sind reelle Zahlen größer als 0 und repräsentieren die drei Halbachsen des Ellipsoids.

Ellipsoide Eigenschaften

- Standardgleichung

Die Standardgleichung in kartesischen Koordinaten für die am Punkt (h, k, m) zentrierte Ellipse lautet:

- Parametrische Gleichungen des Ellipsoids

In sphärischen Koordinaten kann das Ellipsoid wie folgt beschrieben werden:

x = eine Sünde θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Die Halbachsen des Ellipsoids bleiben a, b und c, während die Parameter die Winkel θ und φ der folgenden Figur sind:

Abbildung 2. Das sphärische Koordinatensystem. Das Ellipsoid kann unter Verwendung der angezeigten Winkel Theta und Phi als Parameter parametrisiert werden. Quelle: Wikimedia Commons. Andeggs / Public Domain.

- Spuren des Ellipsoids

Die allgemeine Gleichung einer Oberfläche im Raum lautet F (x, y, z) = 0 und die Spuren der Oberfläche sind die Kurven:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Im Fall eines Ellipsoids sind solche Kurven Ellipsen und manchmal Kreise.

- Lautstärke

Das Volumen V des Ellipsoids ist gegeben durch das (4/3) π-fache des Produkts seiner drei Halbachsen:

V = (4/3) π. ABC

Sonderfälle des Ellipsoids

- Ein Ellipsoid wird zu einer Kugel, wenn alle Halbachsen gleich groß sind: a = b = c ≠ 0. Dies ist sinnvoll, da das Ellipsoid wie eine Kugel ist, die jeweils unterschiedlich gespannt wurde Achse.

-Das Sphäroid ist ein Ellipsoid, bei dem zwei der Halbachsen identisch sind und die dritte unterschiedlich ist, zum Beispiel könnte es a = b ≠ c sein.

Das Sphäroid wird auch als Rotationsellipsoid bezeichnet, da es durch Drehen von Ellipsen um eine Achse erzeugt werden kann.

Wenn die Rotationsachse mit der Hauptachse zusammenfällt, ist das Sphäroid prolatiert, aber wenn es mit der Nebenachse zusammenfällt, ist es abgeflacht:

Abbildung 3. Oblatierter Sphäroid links und prolateraler Sphäroid rechts. Quelle: Wikimedia Commons.

Das Maß für die Abflachung des Sphäroids (Elliptizität) ergibt sich aus dem Längenunterschied zwischen den beiden Halbachsen, ausgedrückt in Bruchform, dh der Einheitsabflachung, gegeben durch:

f = (a - b) / a

In dieser Gleichung stellt a die Semi-Major-Achse und b die Semi-Minor-Achse dar. Denken Sie daran, dass die dritte Achse für einen Sphäroid gleich einer davon ist. Der Wert von f liegt zwischen 0 und 1 und für einen Sphäroid muss er größer als 0 sein (wenn er gleich 0 wäre, hätten wir einfach eine Kugel).

Das Referenzellipsoid

Die Planeten und die Sterne im Allgemeinen sind normalerweise keine perfekten Kugeln, da die Rotationsbewegung um ihre Achsen den Körper an den Polen abflacht und ihn am Äquator ausbaucht.

Deshalb entpuppt sich die Erde als abgeflachter Sphäroid, wenn auch nicht so übertrieben wie in der vorherigen Abbildung, und der Gasriese Saturn ist seinerseits der flachste der Planeten im Sonnensystem.

Eine realistischere Art, die Planeten darzustellen, besteht darin, anzunehmen, dass sie wie ein Sphäroid oder Ellipsoid der Rotation sind, dessen Semi-Major-Achse der Äquatorradius und die Semi-Minor-Achse der Polarradius ist.

Sorgfältige Messungen auf dem Globus haben es möglich gemacht, das Referenzellipsoid der Erde als genaueste Methode zur mathematischen Bearbeitung zu erstellen.

Die Sterne haben auch Rotationsbewegungen, die ihnen mehr oder weniger abgeflachte Formen geben. Der rasende Stern Achernar, der achthellste Stern am Nachthimmel im südlichen Sternbild Eridanus, ist im Vergleich zu den meisten bemerkenswert elliptisch. Es ist 144 Lichtjahre von uns entfernt.

Im anderen Extrem fanden Wissenschaftler vor einigen Jahren das kugelförmigste Objekt, das jemals gefunden wurde: den Stern Kepler 11145123, 5000 Lichtjahre entfernt, doppelt so groß wie unsere Sonne und ein Unterschied zwischen den Halbachsen von nur 3 km. Wie erwartet dreht es sich auch langsamer.

Die Erde ist aufgrund ihrer rauen Oberfläche und der lokalen Schwerkraftschwankungen auch kein perfekter Sphäroid. Aus diesem Grund steht mehr als ein Referenzsphäroid zur Verfügung, und an jedem Standort wird das für die lokale Geographie am besten geeignete ausgewählt.

Die Hilfe von Satelliten ist von unschätzbarem Wert, um immer genauere Modelle der Erdform zu erstellen. Dank ihnen ist beispielsweise bekannt, dass der Südpol näher am Äquator liegt als der Nordpol.

Abbildung 4. Haumea, der transneptunische Zwergplanet, hat eine ellipsoide Form. Quelle: Wikimedia Commons.

Numerisches Beispiel

Aufgrund der Rotation der Erde wird eine Zentrifugalkraft erzeugt, die ihr die Form eines länglichen Ellipsoids anstelle einer Kugel gibt. Der äquatoriale Radius der Erde beträgt bekanntermaßen 3963 Meilen und der polare Radius 3942 Meilen.

Finden Sie die Gleichung der Äquatorialspur, die dieses Ellipsoids und das Maß seiner Abflachung. Vergleichen Sie auch mit der Elliptizität von Saturn mit den folgenden Daten:

-Saturn Äquatorialradius: 60.268 km

-Polarer Radius des Saturn: 54.364 km

Lösung

Es ist ein Koordinatensystem erforderlich, von dem wir annehmen, dass es auf dem Ursprung (Erdmittelpunkt) zentriert ist. Wir nehmen an, dass die vertikale z-Achse und die dem Äquator entsprechende Spur auf der xy-Ebene liegen, die der z = 0-Ebene entspricht.

In der Äquatorialebene sind die Halbachsen a und b gleich, daher ist a = b = 3963 Meilen, während c = 3942 Meilen. Dies ist ein Sonderfall: ein Sphäroid, das wie oben erwähnt am Punkt (0,0,0) zentriert ist.

Die Äquatorialspur ist ein Kreis mit einem Radius von R = 3963 Meilen, der am Ursprung zentriert ist. Es wird berechnet, indem in der Standardgleichung z = 0 gemacht wird:

Und die Standardgleichung des terrestrischen Ellipsoids lautet:

f _Erde = (a - b) / a = (3963-3942) Meilen / 3963 Meilen = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Beachten Sie, dass die Elliptizität f eine dimensionslose Größe ist.

Verweise

1. ArcGIS für Desktop. Sphäroide und Kugeln. Wiederhergestellt von: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Das Geheimnis des kugelförmigsten Objekts, das jemals im Universum entdeckt wurde. Wiederhergestellt von: bbc.com.
3. Larson, R. Kalkül und analytische Geometrie. Sechste Ausgabe. Band 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sphäroid. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.