13 KLASSEN VON MENGEN UND BEISPIELEN - KULTURVOKABULAR - 2025

Die Klassen von Mengen können unter anderem in gleiche, endliche und unendliche, Teilmengen, Hohlräume, disjunkte oder disjunktive, äquivalente, einheitliche, überlagerte oder überlappende, kongruente und nicht kongruente Klassen eingeteilt werden .

Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, aber neue Begriffe und Symbole sind notwendig, um vernünftig über Mengen sprechen zu können. Zum Beispiel sagen wir eine Reihe von Pferden, eine Reihe von reellen Zahlen, eine Reihe von Menschen, eine Reihe von Hunden usw.

In der gewöhnlichen Sprache macht die Welt, in der wir leben, Sinn, indem man Dinge klassifiziert. Spanisch hat viele Wörter für solche Sammlungen. Zum Beispiel "ein Vogelschwarm", "eine Rinderherde", "ein Bienenschwarm" und "eine Ameisenkolonie".

In der Mathematik wird etwas Ähnliches getan, wenn Zahlen, geometrische Figuren usw. klassifiziert werden. Die Objekte in diesen Mengen werden Mengenelemente genannt.

Beschreibung eines Sets

Ein Satz kann beschrieben werden, indem alle seine Elemente aufgelistet werden. Beispielsweise,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S ist die Menge, deren Elemente 1, 3, 5, 7 und 9 sind." Die fünf Elemente der Menge werden durch Kommas getrennt und in geschweiften Klammern aufgeführt.

Eine Menge kann auch abgegrenzt werden, indem eine Definition ihrer Elemente in eckigen Klammern angegeben wird. Somit kann die obige Menge S auch geschrieben werden als:

S = {ungerade ganze Zahlen kleiner als 10}.

Ein Satz muss gut definiert sein. Dies bedeutet, dass die Beschreibung der Elemente einer Menge klar und eindeutig sein muss. Zum Beispiel ist {große Leute} keine Menge, weil die Leute eher nicht damit einverstanden sind, was "groß" bedeutet. Ein Beispiel für eine genau definierte Menge ist

T = {Buchstaben des Alphabets}.

Arten von Sets

1- Gleiche Sätze

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben.

Beispielsweise:

• Wenn A = {Vokale des Alphabets} und B = {a, e, i, o, u}, heißt es, dass A = B.
• Andererseits sind die Mengen {1, 3, 5} und {1, 2, 3} nicht gleich, weil sie unterschiedliche Elemente haben. Dies wird geschrieben als {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• Die Reihenfolge, in der die Elemente in die Klammern geschrieben werden, spielt überhaupt keine Rolle. Zum Beispiel ist {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Wenn ein Element mehrmals in der Liste angezeigt wird, wird es nur einmal gezählt. Zum Beispiel {a, a, b} = {a, b}.

Die Menge {a, a, b} hat nur die beiden Elemente a und b. Die zweite Erwähnung von a ist unnötige Wiederholung und kann ignoriert werden. Es wird normalerweise als schlechte Notation angesehen, wenn ein Element mehr als einmal aufgezählt wird.

2- Endliche und unendliche Mengen

Endliche Mengen sind solche, bei denen alle Elemente der Menge gezählt oder aufgezählt werden können. Hier sind zwei Beispiele:

• {Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
• {Ganze Zahlen zwischen 2.000 und 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003,…, 2.999}

Die drei Punkte '…' im zweiten Beispiel repräsentieren die anderen 995 Zahlen im Satz. Alle Elemente hätten aufgelistet werden können, aber um Platz zu sparen, wurden stattdessen Punkte verwendet. Diese Notation kann nur verwendet werden, wenn wie in dieser Situation völlig klar ist, was sie bedeutet.

Eine Menge kann auch unendlich sein - alles, was zählt, ist, dass sie gut definiert ist. Hier sind zwei Beispiele für unendliche Mengen:

• {Gerade Zahlen und ganze Zahlen größer oder gleich zwei} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Ganze Zahlen größer als 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004,…}

Beide Sätze sind unendlich, da unabhängig davon, wie viele Elemente Sie aufzählen möchten, immer mehr Elemente im Satz vorhanden sind, die nicht aufgelistet werden können, unabhängig davon, wie lange Sie es versuchen. Diesmal haben die Punkte '…' eine etwas andere Bedeutung, weil sie unendlich viele nicht nummerierte Gegenstände darstellen.

3- Setzt Teilmengen

Eine Teilmenge ist Teil einer Menge.

• Beispiel: Eulen sind eine bestimmte Art von Vogel, daher ist jede Eule auch ein Vogel. In der Sprache der Mengen wird ausgedrückt, dass die Menge der Eulen eine Teilmenge der Menge der Vögel ist.

Eine Menge S wird eine Teilmenge einer anderen Menge T genannt, wenn jedes Element von S ein Element von T ist. Dies wird geschrieben als:

• S ⊂ T (Lesen Sie "S ist eine Teilmenge von T")

Das neue Symbol ⊂ bedeutet 'ist eine Teilmenge von'. Also {Eulen} ⊂ {Vögel}, weil jede Eule ein Vogel ist.

• Wenn A = {2, 4, 6} und B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊂ B,

Weil jedes Element von A ein Element von B ist.

Das Symbol ⊄ bedeutet "keine Teilmenge".

Dies bedeutet, dass mindestens ein Element von S kein Element von T ist. Zum Beispiel:

• {Vögel} ⊄ {fliegende Kreaturen}

Denn ein Strauß ist ein Vogel, aber er fliegt nicht.

• Wenn A = {0, 1, 2, 3, 4} und B = {2, 3, 4, 5, 6}, dann ist A ⊄

Da 0 ∈ A, aber 0 ∉ B ist, lesen wir "0 gehört zur Menge A", aber "0 gehört nicht zur Menge B".

4- Leerer Satz

Das Symbol Ø steht für die leere Menge, die überhaupt keine Elemente enthält. Nichts im gesamten Universum ist ein Element von Ø:

• - Ø - = 0 und X ∉ Ø, egal was X sein kann.

Es gibt nur eine leere Menge, da zwei leere Mengen genau die gleichen Elemente haben und daher gleich sein müssen.

5- Disjunkte oder disjunktive Mengen

Zwei Mengen werden als Disjunkte bezeichnet, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Beispielsweise:

• Die Mengen S = {2, 4, 6, 8} und T = {1, 3, 5, 7} sind disjunkt.

6- Äquivalente Sätze

Es wird gesagt, dass A und B äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben, aus denen sie bestehen, dh die Kardinalzahl der Menge A ist gleich der Kardinalzahl der Menge B, n (A) = n (B). Das Symbol für eine äquivalente Menge ist '↔'.

• Zum Beispiel:
  A = {1, 2, 3}, also n (A) = 3
  B = {p, q, r}, also n (B) = 3
  Daher ist A ↔ B.

7- Einheitensätze

Es ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Mit anderen Worten, es gibt nur ein Element, das das Ganze ausmacht.

Beispielsweise:

• S = {a}
• Sei B = {ist eine gerade Primzahl}

Daher ist B eine Einheitensatzmenge, da es nur eine Primzahl gibt, die gerade ist, dh 2.

8- Universal- oder Referenzsatz

Eine universelle Menge ist die Sammlung aller Objekte in einem bestimmten Kontext oder einer bestimmten Theorie. Alle anderen Mengen in diesem Rahmen bilden Teilmengen der universellen Menge, die durch den kursiven Großbuchstaben U benannt ist.

Die genaue Definition von U hängt vom jeweiligen Kontext oder der betrachteten Theorie ab. Beispielsweise:

• U kann als die Menge aller Lebewesen auf dem Planeten Erde definiert werden. In diesem Fall ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine weitere Teilmenge von U.
• Wenn U als die Menge aller Tiere auf dem Planeten Erde definiert ist, dann ist die Menge aller Katzen eine Teilmenge von U, die Menge aller Fische ist eine andere Teilmenge von U, aber die Menge aller Bäume ist keine Teilmenge von U.

9- Überlappende oder überlappende Sätze

Zwei Mengen, die mindestens ein Element gemeinsam haben, werden als überlappende Mengen bezeichnet.

• Beispiel: Sei X = {1, 2, 3} und Y = {3, 4, 5}

Die beiden Mengen X und Y haben ein Element gemeinsam, die Nummer 3. Daher werden sie als überlappende Mengen bezeichnet.

10- Kongruente Sätze.

Dies sind die Mengen, in denen jedes Element von A dieselbe Abstandsbeziehung zu seinen Bildelementen von B hat. Beispiel:

• B {2, 3, 4, 5, 6} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 3 und 2, 4 und 3, 5 und 4, 6 und 5 beträgt eine (1) Einheit, daher sind A und B kongruente Mengen.

11- Nicht kongruente Mengen

Dies sind diejenigen, bei denen nicht die gleiche Abstandsbeziehung zwischen jedem Element in A mit seinem Bild in B hergestellt werden kann. Beispiel:

• B {2, 8, 20, 100, 500} und A {1, 2, 3, 4, 5}

Der Abstand zwischen: 2 und 1, 8 und 2, 20 und 3, 100 und 4, 500 und 5 ist unterschiedlich, daher sind A und B nicht kongruente Mengen.

12- Homogene Mengen

Alle Elemente, aus denen das Set besteht, gehören derselben Kategorie, demselben Genre oder derselben Klasse an. Sie sind vom gleichen Typ. Beispiel:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Alle Elemente von B sind Zahlen, daher wird die Menge als homogen betrachtet.

13- Heterogene Mengen

Die Elemente, die Teil des Sets sind, gehören zu verschiedenen Kategorien. Beispiel:

• A {z, auto, π, Gebäude, Block}

Es gibt keine Kategorie, zu der alle Elemente der Menge gehören, daher handelt es sich um eine heterogene Menge.

Verweise

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