SATZ VON MILETUS-GESCHICHTEN: ERSTENS, ZWEITENS UND BEISPIELE - MATHE - 2024

Der erste und der zweite Satz von Thales von Milet basieren auf der Bestimmung von Dreiecken aus ähnlichen (erster Satz) oder aus Kreisen (zweiter Satz). Sie waren in verschiedenen Bereichen sehr nützlich. Zum Beispiel war der erste Satz sehr nützlich für die Messung großer Strukturen, wenn es keine ausgeklügelten Messinstrumente gab.

Thales von Milet war ein griechischer Mathematiker, der große Beiträge zur Geometrie leistete, von denen diese beiden Theoreme (in einigen Texten wird er auch als Thales geschrieben) und ihre nützlichen Anwendungen hervorstechen. Diese Ergebnisse wurden im Laufe der Geschichte verwendet und haben es ermöglicht, eine Vielzahl von geometrischen Problemen zu lösen.

Thales von Milet

Thales 'erster Satz

Der erste Satz von Thales ist ein sehr nützliches Werkzeug, das unter anderem die Konstruktion eines Dreiecks ermöglicht, das einem anderen, zuvor bekannten ähnlich ist. Hieraus werden verschiedene Versionen des Theorems abgeleitet, die in mehreren Kontexten angewendet werden können.

Bevor wir Ihre Aussage machen, erinnern wir uns an einige Begriffe der Ähnlichkeit von Dreiecken. Im Wesentlichen sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn ihre Winkel kongruent sind (sie haben das gleiche Maß). Dies führt dazu, dass wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, ihre entsprechenden (oder homologen) Seiten proportional sind.

Der erste Satz von Thales besagt, dass, wenn eine Linie in einem bestimmten Dreieck parallel zu einer ihrer Seiten gezogen wird, das neue erhaltene Dreieck dem anfänglichen Dreieck ähnlich ist.

Eine Beziehung wird auch zwischen den gebildeten Winkeln erhalten, wie in der folgenden Figur gezeigt.

Anwendung

Unter den zahlreichen Anwendungen sticht eines von besonderem Interesse hervor und hat mit einer der Methoden zu tun, mit denen Messungen großer Strukturen in der Antike durchgeführt wurden, einer Zeit, in der Thales lebte und in der es keine modernen Messgeräte gab sie existieren jetzt.

Auf diese Weise gelang es Thales, die höchste Pyramide Ägyptens, Cheops, zu messen. Dafür nahm Thales an, dass die Reflexionen der Sonnenstrahlen den Boden berührten und parallele Linien bildeten. Unter dieser Annahme nagelte er einen Stock oder Stock senkrecht in den Boden.

Dann verwendete er die Ähnlichkeit der beiden resultierenden Dreiecke, eines durch die Länge des Schattens der Pyramide (die leicht berechnet werden kann) und die Höhe der Pyramide (das Unbekannte) und das andere durch die Länge des Schattens und die Höhe der Stange (die auch leicht berechnet werden kann).

Unter Verwendung der Proportionalität zwischen diesen Längen kann die Höhe der Pyramide gelöst und bekannt werden.

Obwohl diese Messmethode einen signifikanten Approximationsfehler in Bezug auf die Genauigkeit der Höhe ergeben kann und von der Parallelität der Sonnenstrahlen abhängt (was wiederum von einer genauen Zeit abhängt), muss erkannt werden, dass es sich um eine sehr geniale Idee handelt und dass es eine gute Messalternative für die Zeit darstellte.

Beispiele

Finden Sie jeweils den Wert von x:

Thales 'zweiter Satz

Der zweite Satz von Thales bestimmt ein rechtwinkliges Dreieck, das an jedem Punkt desselben in einen Kreis eingeschrieben ist.

Ein einem Umfang eingeschriebenes Dreieck ist ein Dreieck, dessen Eckpunkte sich am Umfang befinden und somit darin enthalten bleiben.

Im zweiten Satz von Thales heißt es insbesondere: Bei einem Kreis mit Mittelpunkt O und Durchmesser AC bestimmt jeder Punkt B am Umfang (außer A und C) ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtwinkligem Winkel

Zur Rechtfertigung sei angemerkt, dass sowohl OA als auch OB und OC dem Radius des Umfangs entsprechen; Daher sind ihre Messungen gleich. Daraus folgt, dass die Dreiecke OAB und OCB gleichschenklig sind, wobei

Es ist bekannt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich 180º ist. Wenn wir dies mit dem Dreieck ABC verwenden, haben wir:

2b + 2a = 180º.

Entsprechend haben wir b + a = 90º und b + a =

Beachten Sie, dass das rechtwinklige Dreieck nach Thales 'zweitem Theorem genau dasjenige ist, dessen Hypotenuse gleich dem Durchmesser des Umfangs ist. Daher wird es vollständig durch den Halbkreis bestimmt, der die Punkte des Dreiecks enthält; in diesem Fall der obere Halbkreis.

Beobachten wir auch, dass im rechten Dreieck, das mit Hilfe des zweiten Satzes von Thales erhalten wurde, die Hypotenuse durch OA und OC (den Radius) in zwei gleiche Teile geteilt wird. Dieses Maß ist wiederum gleich dem Segment OB (auch dem Radius), das dem Median des Dreiecks ABC durch B entspricht.

Mit anderen Worten wird die Länge des Medians des rechtwinkligen Dreiecks ABC, das dem Scheitelpunkt B entspricht, vollständig durch die Hälfte der Hypotenuse bestimmt. Denken Sie daran, dass der Median eines Dreiecks das Segment von einem der Eckpunkte zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite ist. in diesem Fall das BO-Segment.

Umschriebener Umfang

Eine andere Sichtweise auf Thales 'zweiten Satz ist ein Umfang, der einem rechtwinkligen Dreieck umschrieben ist.

Im Allgemeinen besteht ein Umfang, der einem Polygon umschrieben ist, aus dem Umfang, der durch jeden seiner Eckpunkte verläuft, wann immer es möglich ist, ihn zu zeichnen.

Mit Thales 'zweitem Theorem können wir bei einem rechtwinkligen Dreieck immer einen umschriebenen Umfang konstruieren, dessen Radius der Hälfte der Hypotenuse entspricht und dessen Umfangszentrum (Mittelpunkt des Umfangs) dem Mittelpunkt der Hypotenuse entspricht.

Anwendung

Eine sehr wichtige und vielleicht am weitesten verbreitete Anwendung des zweiten Satzes von Thales besteht darin, die Tangentenlinien zu einem bestimmten Kreis durch einen Punkt P außerhalb des Kreises zu finden (bekannt).

Beachten Sie, dass bei einem Kreis (in der Abbildung unten blau gezeichnet) und einem Außenpunkt P zwei Linien tangential zum Kreis verlaufen, die durch P verlaufen. Sei T und T 'die Tangentialpunkte, r der Radius des Kreises und Oder das Zentrum.

Es ist bekannt, dass das Segment, das vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem Tangentialpunkt desselben verläuft, senkrecht zu dieser Tangentenlinie ist. Der Winkel OTP ist also richtig.

Aus dem, was wir zuvor in Thales 'erstem Theorem und seinen verschiedenen Versionen gesehen haben, geht hervor, dass es möglich ist, das OTP-Dreieck in einen anderen Kreis (in Rot) einzuschreiben.

In ähnlicher Weise wird erhalten, dass das Dreieck OT'P innerhalb desselben vorherigen Umfangs eingeschrieben werden kann.

Durch Thales 'zweiten Satz erhalten wir auch, dass der Durchmesser dieses neuen Umfangs genau die Hypotenuse des Dreiecks OTP ist (was gleich der Hypotenuse des Dreiecks OT'P ist) und das Zentrum der Mittelpunkt dieser Hypotenuse ist.

Um den Mittelpunkt des neuen Umfangs zu berechnen, reicht es aus, den Mittelpunkt zwischen dem Mittelpunkt - sagen wir M - des Anfangsumfangs (den wir bereits kennen) und dem Punkt P (den wir auch kennen) zu berechnen. Dann ist der Radius der Abstand zwischen diesem Punkt M und P.

Mit dem Radius und dem Mittelpunkt des roten Kreises können wir seine kartesische Gleichung finden, an die wir uns erinnern, dass sie durch (xh) ² + (yk) ² = c ^{2 gegeben ist} , wobei c der Radius und der Punkt (h, k) ist das Zentrum des Umfangs.

Wenn wir nun die Gleichungen beider Kreise kennen, können wir sie schneiden, indem wir das von ihnen gebildete Gleichungssystem lösen und so die Tangentialpunkte T und T 'erhalten. Um die gewünschten Tangentenlinien zu kennen, reicht es schließlich aus, die Gleichung der Linien zu finden, die durch T und P sowie durch T 'und P verlaufen.

Beispiel

Betrachten Sie einen Umfang von Durchmesser AC, Mittelpunkt O und Radius 1 cm. Sei B ein Punkt auf dem Umfang, so dass AB = AC ist. Wie groß ist AB?

Lösung

Nach Thales 'zweitem Theorem haben wir, dass das Dreieck ABC richtig ist und die Hypotenuse dem Durchmesser entspricht, der in diesem Fall 2 cm misst (der Radius beträgt 1 cm). Dann haben wir nach dem Satz von Pythagoras:

Verweise

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