KONTINUIERLICHE VARIABLE: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die stetige Variable kann unendlich viele numerische Werte zwischen zwei gegebenen Werten annehmen, selbst wenn diese beiden Werte willkürlich nahe beieinander liegen. Sie werden verwendet, um messbare Attribute zu beschreiben; zum Beispiel Größe und Gewicht. Die Werte, die eine kontinuierliche Variable annimmt, können rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sein, obwohl der letztere Fall in der Statistik weniger häufig ist.

Das Hauptmerkmal kontinuierlicher Variablen ist, dass zwischen zwei rationalen oder realen Werten immer ein anderer gefunden werden kann und zwischen diesem anderen und dem ersten ein anderer Wert gefunden werden kann, und so weiter auf unbestimmte Zeit.

Abbildung 1. Die Kurve zeigt eine kontinuierliche Verteilung und die Balken eine diskrete. Quelle: pixabay

Angenommen, das variable Gewicht in einer Gruppe, in der das schwerste 95 kg und das niedrigste 48 kg wiegt; Das wäre der Bereich der Variablen und die Anzahl der möglichen Werte ist unendlich.

Beispielsweise können zwischen 50,00 kg und 50,10 kg 50,01 liegen. Aber zwischen 50.00 und 50.01 kann das Maß 50.005 sein. Das ist eine stetige Variable. Wenn andererseits bei den möglichen Gewichtsmessungen eine Genauigkeit von einer einzelnen Dezimalstelle festgelegt würde, wäre die verwendete Variable diskret.

Kontinuierliche Variablen gehören zur Kategorie der quantitativen Variablen, da ihnen ein numerischer Wert zugeordnet ist. Mit diesem numerischen Wert können mathematische Operationen ausgeführt werden, die von arithmetischen bis zu infinitesimalen Berechnungsmethoden reichen.

Beispiele

Die meisten Variablen in der Physik sind kontinuierliche Variablen, unter denen wir nennen können: Länge, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie, Temperatur und andere.

Kontinuierliche Variablen und diskrete Variablen

In der Statistik können verschiedene Arten von Variablen definiert werden, sowohl qualitative als auch quantitative. Kontinuierliche Variablen gehören zur letzteren Kategorie. Mit ihnen ist es möglich, Rechen- und Berechnungsoperationen durchzuführen.

Beispielsweise ist die Variable h, die Personen mit einer Körpergröße zwischen 1,50 m und 1,95 m entspricht, eine kontinuierliche Variable.

Vergleichen wir diese Variable mit dieser: Die Häufigkeit, mit der ein Münzwurf auftaucht, wird n genannt.

Die Variable n kann Werte zwischen 0 und unendlich annehmen, n ist jedoch keine stetige Variable, da sie den Wert 1,3 oder 1,5 nicht annehmen kann, da zwischen den Werten 1 und 2 keine andere vorhanden ist. Dies ist ein Beispiel für eine diskrete Variable.

Kontinuierliche Variablenübung

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Eine Maschine produziert Streichhölzer und verpackt sie in ihrer Schachtel. Es werden zwei statistische Variablen definiert:

Die nominelle Übereinstimmungslänge beträgt 5,0 cm bei einer Toleranz von 0,1 cm. Die Anzahl der Übereinstimmungen pro Box beträgt 50 mit einer Toleranz von 3.

a) Geben Sie den Wertebereich an, den L und N annehmen können.

b) Wie viele Werte kann L annehmen?

c) Wie viele Werte kann n annehmen?

Geben Sie jeweils an, ob es sich um eine diskrete oder eine kontinuierliche Variable handelt.

Lösung

Die Werte von L liegen im Bereich; Das heißt, der Wert von L liegt im Intervall und die Variable L kann zwischen diesen beiden Messungen unendliche Werte annehmen. Es ist dann eine stetige Variable.

Der Wert der Variablen n liegt im Intervall. Die Variable n kann im Toleranzintervall nur 6 mögliche Werte annehmen, es handelt sich dann um eine diskrete Variable.

Übung von

Wenn die von der Variablen genommenen Werte nicht nur stetig sind, sondern auch mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit des Auftretens verbunden sind, handelt es sich um eine kontinuierliche Zufallsvariable. Es ist sehr wichtig zu unterscheiden, ob die Variable diskret oder kontinuierlich ist, da die für das eine und das andere anwendbaren Wahrscheinlichkeitsmodelle unterschiedlich sind.

Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist vollständig definiert, wenn die Werte, die sie annehmen kann, und die Wahrscheinlichkeit, dass jeder von ihnen auftritt, bekannt sind.

-Übung 1 der Wahrscheinlichkeiten

Der Matchmaker macht sie so, dass die Länge der Sticks immer zwischen den Werten 4,9 cm und 5,1 cm liegt und außerhalb dieser Werte Null ist. Es besteht die Wahrscheinlichkeit, einen Stab zu erhalten, der zwischen 5,00 und 5,05 cm misst, obwohl wir auch einen von 5.0003 cm extrahieren könnten. Sind diese Werte gleich wahrscheinlich?

Lösung

Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist einheitlich. Die Wahrscheinlichkeiten für das Finden einer Übereinstimmung mit einer bestimmten Länge sind nachstehend aufgeführt:

- Dass eine Übereinstimmung im Bereich liegt, hat eine Wahrscheinlichkeit von 1 (oder 100%), da die Maschine keine Übereinstimmungen außerhalb dieser Werte zeichnet.

- Wenn Sie eine Übereinstimmung zwischen 4,9 und 5,0 finden, ist die Wahrscheinlichkeit = ½ = 0,5 (50%), da dies der halbe Längenbereich ist.

-Und die Wahrscheinlichkeit, dass das Match eine Länge zwischen 5,0 und 5,1 hat, beträgt ebenfalls 0,5 (50%).

-Es ist bekannt, dass es keine Streichhölzer mit einer Länge zwischen 5,0 und 5,2 gibt. Wahrscheinlichkeit: Null (0%).

Wahrscheinlichkeit, einen Zahnstocher in einem bestimmten Bereich zu finden

Beobachten wir nun die folgenden Wahrscheinlichkeiten P, um Stöcke zu erhalten, deren Länge zwischen l ₁ und l _{2 liegt} :

-P dass eine Übereinstimmung eine Länge zwischen 5,00 und 5,05 hat, wird als P () bezeichnet:

-P dass der Hügel eine Länge zwischen 5,00 und 5,01 hat, ist:

-P dass der Hügel eine Länge zwischen 5.000 und 5.001 hat, ist noch geringer:

Wenn wir das Intervall weiter verringern, um immer näher an 5,00 heranzukommen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zahnstocher genau 5,00 cm beträgt, Null (0%). Was wir haben, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Übereinstimmung innerhalb eines bestimmten Bereichs zu finden.

Wahrscheinlichkeit, mehrere Zahnstocher in einem bestimmten Bereich zu finden

Wenn die Ereignisse unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Zahnstocher in einem bestimmten Bereich befinden, das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten.

-Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Stäbchen zwischen 5,0 und 5,1 liegen, beträgt 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%).

-Die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Zahnstocher zwischen 5,0 und 5,1 liegen, beträgt (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, dh fast Null.

-Die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Zahnstocher zwischen 4,9 und 5,1 liegen, beträgt (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Übung 2 der Wahrscheinlichkeiten

Im vorherigen Beispiel wurde angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit in dem gegebenen Intervall einheitlich ist, dies ist jedoch nicht immer der Fall.

Bei der tatsächlichen Maschine, die die Zahnstocher herstellt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Zahnstocher im Mittelpunkt befindet, größer als bei einem der Extremwerte. Aus mathematischer Sicht wird dies mit einer Funktion f (x) modelliert, die als Wahrscheinlichkeitsdichte bekannt ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Maß L zwischen a und b liegt, wird unter Verwendung des bestimmten Integrals der Funktion f (x) zwischen a und b berechnet.

Nehmen wir als Beispiel an, wir wollen die Funktion f (x) finden, die eine gleichmäßige Verteilung zwischen den Werten 4.9 und 5.1 aus Übung 1 darstellt.

Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung gleichmäßig ist, ist f (x) gleich der Konstanten c, die bestimmt wird, indem das Integral zwischen 4,9 und 5,1 von c genommen wird. Da dieses Integral die Wahrscheinlichkeit ist, muss das Ergebnis 1 sein.

Abbildung 2. Einheitliche Wahrscheinlichkeitsdichte. (Eigene Ausarbeitung)

Dies bedeutet, dass c 1 / 0,2 = 5 wert ist. Das heißt, die einheitliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist f (x) = {5, wenn 4,9 ≤ x ≤ 5,1 und 0 außerhalb dieses Bereichs liegen. Eine einheitliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist in Abbildung 2 dargestellt.

Beachten Sie, dass in Intervallen gleicher Breite (z. B. 0,02) die Wahrscheinlichkeit in der Mitte dieselbe ist wie am Ende des Bereichs der stetigen Variablen L (Zahnstocherlänge).

Ein realistischeres Modell wäre eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie die folgende:

Abbildung 3. Ungleichmäßige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. (Eigene Ausarbeitung)

In Abbildung 3 ist zu sehen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, Zahnstocher zwischen 4,99 und 5,01 (Breite 0,02) zu finden, als die Wahrscheinlichkeit, Zahnstocher zwischen 4,90 und 4,92 (Breite 0,02) zu finden.

Verweise

1. Dinov, Ivo. Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Abgerufen von: stat.ucla.edu
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4. H. Pishro. Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Wiederhergestellt von: Wahrscheinlichkeitskurs.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistik für Management und Wirtschaft. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Probleme mit zufälligen Variablen und Wahrscheinlichkeitsmodelle. Wiederhergestellt von: ugr.es.
7. Wikipedia. Kontinuierliche Variable. Von wikipedia.com wiederhergestellt
8. Wikipedia. Statistikvariable. Von wikipedia.com wiederhergestellt.