ZÄHLTECHNIKEN: TECHNIKEN, ANWENDUNGEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - DUDAS - 2025

Die Zähltechniken sind eine Reihe von Wahrscheinlichkeitsmethoden, um die Anzahl möglicher Anordnungen innerhalb eines Satzes oder mehrerer Sätze von Objekten zu zählen. Diese werden verwendet, wenn das manuelle Ausführen der Konten aufgrund der großen Anzahl von Objekten und / oder Variablen kompliziert wird.

Die Lösung für dieses Problem ist beispielsweise sehr einfach: Stellen Sie sich vor, Ihr Chef fordert Sie auf, die neuesten Produkte zu zählen, die in der letzten Stunde eingetroffen sind. In diesem Fall können Sie die Produkte einzeln zählen.

Stellen Sie sich jedoch vor, das Problem ist folgendes: Ihr Chef fordert Sie auf, zu zählen, wie viele Gruppen von 5 Produkten des gleichen Typs mit denen gebildet werden können, die in der letzten Stunde eingetroffen sind. In diesem Fall ist die Berechnung kompliziert. Für diese Art von Situation werden die sogenannten Zähltechniken verwendet.

Diese Techniken sind vielfältig, aber die wichtigsten sind in zwei Grundprinzipien unterteilt: das Multiplikativ und das Additiv. Permutationen und Kombinationen.

Multiplikatives Prinzip

Anwendungen

Das multiplikative Prinzip ist zusammen mit dem Additiv grundlegend, um die Funktionsweise von Zähltechniken zu verstehen. Im Fall des Multiplikativs besteht es aus Folgendem:

Stellen wir uns eine Aktivität vor, die eine bestimmte Anzahl von Schritten umfasst (wir markieren die Summe als „r“), wobei der erste Schritt auf N1-Weise, der zweite Schritt auf N2 und der Schritt „r“ auf Nr-Weise ausgeführt werden kann. In diesem Fall könnte die Aktivität aus der Anzahl der Formen ausgeführt werden, die sich aus dieser Operation ergeben: N1 x N2 x ……… .x Nr Formen

Aus diesem Grund wird dieses Prinzip als multiplikativ bezeichnet und impliziert, dass jeder einzelne Schritt, der zur Ausführung der Aktivität erforderlich ist, nacheinander ausgeführt werden muss.

Beispiel

Stellen wir uns eine Person vor, die eine Schule bauen will. Berücksichtigen Sie dazu, dass die Basis des Gebäudes auf zwei verschiedene Arten gebaut werden kann: Zement oder Beton. Die Wände können aus Lehm, Zement oder Ziegeln bestehen.

Das Dach kann aus Zement oder verzinktem Blech bestehen. Schließlich kann das endgültige Gemälde nur auf eine Weise ausgeführt werden. Die Frage, die sich stellt, lautet wie folgt: Auf wie viele Arten muss er die Schule bauen?

Zunächst betrachten wir die Anzahl der Stufen, bei denen es sich um die Basis, die Wände, das Dach und die Farbe handelt. Insgesamt 4 Schritte, also r = 4.

Das Folgende wäre, die N aufzulisten:

N1 = Wege zum Aufbau der Basis = 2

N2 = Wege zum Bau der Mauern = 3

N3 = Möglichkeiten zur Herstellung des Daches = 2

N4 = Malweise = 1

Daher würde die Anzahl möglicher Formen unter Verwendung der oben beschriebenen Formel berechnet:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 Schulmethoden.

Additives Prinzip

Anwendungen

Dieses Prinzip ist sehr einfach und besteht darin, dass bei mehreren Alternativen zur Ausführung derselben Aktivität die möglichen Wege aus der Summe der verschiedenen möglichen Wege zur Durchführung aller Alternativen bestehen.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Aktivität mit drei Alternativen ausführen möchten, wobei die erste Alternative auf M Arten, die zweite auf N Arten und die letzte auf W Arten durchgeführt werden kann, kann die Aktivität auf M + N + ……… + durchgeführt werden W Formen.

Beispiel

Stellen wir uns diesmal eine Person vor, die einen Tennisschläger kaufen möchte. Dazu haben Sie drei Marken zur Auswahl: Wilson, Babolat oder Head.

Wenn Sie in den Laden gehen, sehen Sie, dass der Wilson-Schläger mit dem Griff in zwei verschiedenen Größen, L2 oder L3 in vier verschiedenen Modellen, gekauft und aufgereiht oder aufgereiht werden kann.

Der Babolat-Schläger hingegen hat drei Griffe (L1, L2 und L3), es gibt zwei verschiedene Modelle und er kann auch aufgereiht oder aufgereiht werden.

Der Head-Schläger seinerseits ist nur mit einem Griff, dem L2, in zwei verschiedenen Modellen und nur unbespannt erhältlich. Die Frage ist: Auf wie viele Arten muss diese Person ihren Schläger kaufen?

M = Anzahl der Möglichkeiten, einen Wilson-Schläger auszuwählen

N = Anzahl der Möglichkeiten, einen Babolat-Schläger auszuwählen

W = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl eines Kopfschlägers

Wir führen das Multiplikatorprinzip aus:

M = 2 x 4 x 2 = 16 Formen

N = 3 x 2 x 2 = 12 Wege

W = 1 x 2 x 1 = 2 Wege

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 Möglichkeiten, einen Schläger auszuwählen.

Um zu wissen, wann das multiplikative Prinzip und das Additiv verwendet werden müssen, müssen Sie nur prüfen, ob für die Aktivität eine Reihe von Schritten ausgeführt werden muss und ob es mehrere Alternativen gibt, das Additiv.

Permutationen

Anwendungen

Um zu verstehen, was eine Permutation ist, ist es wichtig zu erklären, was eine Kombination ist, damit Sie sie unterscheiden und wissen, wann Sie sie verwenden müssen.

Eine Kombination wäre eine Anordnung von Elementen, an denen wir nicht an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

Eine Permutation wäre andererseits eine Anordnung von Elementen, an denen wir an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um den Unterschied besser zu verstehen.

Beispiel

Stellen wir uns eine Klasse mit 35 Schülern und den folgenden Situationen vor:

1. Der Lehrer möchte, dass drei seiner Schüler ihm helfen, das Klassenzimmer sauber zu halten, oder den anderen Schülern bei Bedarf Materialien aushändigen.
2. Der Lehrer möchte die Klassendelegierten (einen Präsidenten, einen Assistenten und einen Finanzier) ernennen.

Die Lösung wäre die folgende:

1. Stellen wir uns vor, Juan, María und Lucía werden per Abstimmung ausgewählt, um die Klasse zu reinigen oder die Materialien zu liefern. Offensichtlich könnten unter den 35 möglichen Studenten andere Dreiergruppen gebildet worden sein.

Wir müssen uns Folgendes fragen: Ist die Reihenfolge oder Position jedes Schülers bei der Auswahl wichtig?

Wenn wir darüber nachdenken, sehen wir, dass es wirklich nicht wichtig ist, da die Gruppe gleichermaßen für die beiden Aufgaben verantwortlich sein wird. In diesem Fall handelt es sich um eine Kombination, da uns die Position der Elemente nicht interessiert.

1. Stellen wir uns nun vor, Juan wird zum Präsidenten gewählt, Maria als Assistentin und Lucia als Finanzierin.

In diesem Fall wäre die Bestellung wichtig? Die Antwort lautet ja, denn wenn wir die Elemente ändern, ändert sich das Ergebnis. Das heißt, wenn wir Juan nicht als Präsidenten, sondern als Assistenten und María als Präsidenten einsetzen, würde sich das Endergebnis ändern. In diesem Fall handelt es sich um eine Permutation.

Sobald der Unterschied verstanden ist, werden wir die Formeln für die Permutationen und Kombinationen erhalten. Zuerst müssen wir jedoch den Begriff "n!" Definieren. (ene Fakultät), da es in den verschiedenen Formeln verwendet wird.

n! = das Produkt von 1 bis n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Verwenden Sie es mit reellen Zahlen:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Die Formel für die Permutationen wäre wie folgt:

nPr = n! / (nr)!

Damit können wir die Anordnungen herausfinden, bei denen die Reihenfolge wichtig ist und bei denen die n Elemente unterschiedlich sind.

Kombinationen

Anwendungen

Wie wir zuvor kommentiert haben, sind die Kombinationen die Anordnungen, bei denen uns die Position der Elemente egal ist.

Die Formel lautet wie folgt:

nCr = n! / (nr)! r!

Beispiel

Wenn es 14 Schüler gibt, die sich freiwillig für die Reinigung des Klassenzimmers melden möchten, wie viele Reinigungsgruppen können gebildet werden, wenn jede Gruppe 5 Personen umfassen muss?

Die Lösung wäre daher die folgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 Gruppen

Gelöste Übungen

Übung 1

Quelle: Pixabay.com

Natalia wird von ihrer Mutter gebeten, in ein Lebensmittelgeschäft zu gehen und ihr ein Soda zu kaufen, um sich abzukühlen. Als Natalia den Angestellten um ein Getränk bittet, sagt er ihr, dass es vier Geschmacksrichtungen von Erfrischungsgetränken gibt, drei Sorten und drei Größen.

Die Aromen von Erfrischungsgetränken können sein: Cola, Zitrone, Orange und Minze.

Die Arten von Cola können sein: normal, zuckerfrei, koffeinfrei.

Die Größen können klein, mittel und groß sein.

Natalias Mutter gab nicht an, welche Art von Erfrischungsgetränk sie wollte. Wie viele Möglichkeiten hat Natalia, das Getränk zu kaufen?

Lösung

M = Größe und Typnummer, die Sie bei der Auswahl der Cola auswählen können.

N = Anzahl der Größen und Typen, die Sie bei der Auswahl des Zitronensodas auswählen können.

W = Größe und Typnummer, die Sie bei der Auswahl des Orangensodas auswählen können.

Y = Größe und Typennummer, die Sie bei der Auswahl Ihres Minzsodas auswählen können.

Wir führen das Multiplikatorprinzip aus:

M = 3 × 3 = 9 Wege

N = 3 × 3 = 9 Wege

W = 3 × 3 = 9 Wege

Y = 3 × 3 = 9 Wege

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 Möglichkeiten zur Auswahl der Soda.

Übung 2

Quelle: pixabay.com

Ein Sportverein bietet kostenlose Workshops an, in denen Kinder das Skaten lernen können. 20 Kinder sind eingeschrieben und beschließen, sie in zwei Gruppen zu je zehn Personen aufzuteilen, damit die Ausbilder die Klassen bequemer unterrichten können.

Im Gegenzug entscheiden sie, in welche Gruppe jedes Kind fallen wird. Wie viele verschiedene Gruppen könnte ein Kind betreten?

Lösung

In diesem Fall wird die Antwort mithilfe der Kombinationstechnik gefunden, deren Formel lautete: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (Anzahl der Kinder)

r = 10 (Gruppengröße)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184.756 Gruppen.

Verweise

1. Jeffrey, RC, Wahrscheinlichkeit und die Kunst des Urteils, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen", (Band 1), 3. Auflage, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logische Grundlagen und Messung der subjektiven Wahrscheinlichkeit". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Einführung in die mathematische Statistik (6. Aufl.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Die Wissenschaft der Vermutung: Evidenz und Wahrscheinlichkeit vor Pascal, Johns Hopkins University Press.