WAS SIND SCHRÄGE DREIECKE? (MIT ÜBUNGEN) - MATHE - 2025

Die schrägen Dreiecke sind diejenigen Dreiecke, die keine Rechtecke sind. Mit anderen Worten, die Dreiecke sind so, dass keiner ihrer Winkel ein rechter Winkel ist (ihr Maß ist 90º).

Da sie keine rechten Winkel haben, kann der Satz von Pythagoras nicht auf diese Dreiecke angewendet werden.

Um die Daten in einem schrägen Dreieck zu kennen, müssen daher andere Formeln verwendet werden.

Die Formeln, die zur Lösung eines schrägen Dreiecks erforderlich sind, sind die sogenannten Sinus- und Cosinusgesetze, die später beschrieben werden.

Zusätzlich zu diesen Gesetzen kann immer die Tatsache verwendet werden, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich 180 ° ist.

Schräge Dreiecke

Wie eingangs erwähnt, ist ein schräges Dreieck ein Dreieck, bei dem keiner seiner Winkel 90 ° misst.

Das Problem, die Längen der Seiten eines schrägen Dreiecks sowie die Maße seiner Winkel zu finden, wird als "Lösen von schrägen Dreiecken" bezeichnet.

Eine wichtige Tatsache bei der Arbeit mit Dreiecken ist, dass die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks 180 ° beträgt. Dies ist ein allgemeines Ergebnis, daher kann es auch für schräge Dreiecke angewendet werden.

Gesetze von Sinus und Cosinus

Gegeben ein Dreieck ABC mit Seiten der Länge "a", "b" und "c":

- Das Sinusgesetz besagt, dass a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) ist, wobei A, B und C die entgegengesetzten Winkel zu «a», «b» und «c sind "Beziehungsweise.

- Das Kosinusgesetz besagt: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Entsprechend können die folgenden Formeln verwendet werden:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) oder a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Mit diesen Formeln können die Daten für ein schräges Dreieck berechnet werden.

Übungen

Im Folgenden finden Sie einige Übungen, bei denen die fehlenden Daten der angegebenen Dreiecke basierend auf bestimmten Daten gefunden werden müssen.

Erste Übung

Berechnen Sie bei einem gegebenen Dreieck ABC mit A = 45º, B = 60º und a = 12 cm die anderen Daten des Dreiecks.

Lösung

Damit ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich 180º

C = 180º-45º-60º = 75º.

Die drei Winkel sind bereits bekannt. Das Sinusgesetz wird dann verwendet, um die beiden fehlenden Seiten zu berechnen.

Die Gleichungen, die entstehen, sind 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Aus der ersten Gleichheit können wir nach «b» lösen und das erhalten

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≤ 14,696 cm.

Wir können auch nach «c» lösen und das erhalten

c = 12 · sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≤ 16,392 cm.

Zweite Übung

Berechnen Sie bei einem gegebenen Dreieck ABC mit A = 60º, C = 75º und b = 10 cm die anderen Daten des Dreiecks.

Lösung

Wie in der vorherigen Übung ist B = 180º-60º-75º = 45º. Nach dem Sinusgesetz ergibt sich außerdem a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), woraus sich ergibt, dass a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5 √ 6 ≤ 12,247 cm und c = 10 · sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √ 3) ≤ 13,660 cm.

Dritte Übung

Berechnen Sie die anderen Daten des Dreiecks, wenn Sie das Dreieck ABC so angeben, dass a = 10 cm, b = 15 cm und C = 80 °.

Lösung

In dieser Übung ist nur ein Winkel bekannt, daher kann er nicht wie in den beiden vorherigen Übungen gestartet werden. Auch das Sinusgesetz kann nicht angewendet werden, da keine Gleichung gelöst werden konnte.

Daher wenden wir das Kosinusgesetz an. Es ist dann das

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 · 0,173 · 272,905 cm,

so dass c ≤ 16,51 cm. Wenn man nun die drei Seiten kennt, wird das Gesetz der Sinus angewendet und es wird erhalten, dass

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Das Auflösen nach B führt daher zu sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≤ 0,894, was impliziert, dass B ≤ 63,38º ist.

Jetzt können wir erhalten, dass A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Vierte Übung

Die Seiten eines schrägen Dreiecks sind a = 5 cm, b = 3 cm und c = 7 cm. Finden Sie die Winkel des Dreiecks.

Lösung

Auch hier kann das Sinusgesetz nicht direkt angewendet werden, da keine Gleichung dazu dienen würde, den Wert der Winkel zu erhalten.

Unter Verwendung des Kosinusgesetzes haben wir c² = a² + b² - 2ab cos (C), woraus sich beim Lösen cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3² - 7²) / ergibt 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 und daher C = 120º.

Wenn wir nun das Sinusgesetz anwenden und so 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º) erhalten können, können wir nach B auflösen und diese sin (B) = 3 * erhalten sin (120º) / 7 = 0,371, so dass B = 21,79º.

Schließlich wird der letzte Winkel unter Verwendung von A = 180º-120º-21,79º = 38,21º berechnet.

Verweise

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