WIE LAUTET DIE PRANDTL-NUMMER? (WERTE IN GASEN UND FLÜSSIGKEITEN) - KÖRPERLICH - 2025

Die Prandtl-Zahl , abgekürzt Pr, ist eine dimensionslose Größe, die die Diffusivität des Impulses durch die kinematische Viskosität ν (griechischer Buchstabe, der als „nu“ bezeichnet wird) einer Flüssigkeit mit ihrer thermischen Diffusivität α in der Form in Beziehung setzt des Quotienten:

Abbildung 1. Der deutsche Ingenieur Ludwig Prandtl 1904 in seinem Labor in Hannover. Quelle: Wikimedia Commons.

In Bezug auf den Fluidviskositätskoeffizienten oder die dynamische Viskosität μ, die spezifische Wärme des Fluids C _p und seinen Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten K wird die Prandtl-Zahl auch mathematisch wie folgt ausgedrückt:

Diese Größe ist nach dem deutschen Wissenschaftler Ludwig Prandtl (1875–1953) benannt, der einen großen Beitrag zur Strömungsmechanik geleistet hat. Die Prandtl-Zahl ist eine der wichtigsten Zahlen für die Modellierung des Flüssigkeitsflusses und insbesondere der Art und Weise, wie Wärme durch Konvektion in ihnen übertragen wird.

Aus der gegebenen Definition folgt, dass die Prandtl-Zahl ein Merkmal der Flüssigkeit ist, da sie von ihren Eigenschaften abhängt. Durch diesen Wert kann die Fähigkeit des Fluids, Impuls und Wärme zu übertragen, verglichen werden.

Natürliche und erzwungene Konvektion in Flüssigkeiten

Wärme wird durch verschiedene Mechanismen durch ein Medium übertragen: Konvektion, Leitung und Strahlung. Wenn es eine Bewegung auf der makroskopischen Ebene der Flüssigkeit gibt, dh eine massive Bewegung der Flüssigkeit, wird die Wärme schnell durch den Konvektionsmechanismus in ihr übertragen.

Wenn andererseits der vorherrschende Mechanismus die Leitung ist, erfolgt die Bewegung der Flüssigkeit auf mikroskopischer Ebene, entweder atomar oder molekular, abhängig von der Art der Flüssigkeit, jedoch immer langsamer als durch Konvektion.

Die Geschwindigkeit des Fluids und das Strömungsregime - laminar oder turbulent - beeinflussen dies ebenfalls, denn je schneller es sich bewegt, desto schneller ist auch die Wärmeübertragung.

Konvektion tritt auf natürliche Weise auf, wenn sich Flüssigkeit aufgrund eines Temperaturunterschieds bewegt, beispielsweise wenn eine Masse heißer Luft aufsteigt und eine andere Masse kalter Luft abfällt. In diesem Fall sprechen wir von natürlicher Konvektion.

Die Konvektion kann aber auch erzwungen werden, indem ein Lüfter verwendet wird, um den Luftstrom zu erzwingen, oder eine Pumpe, um das Wasser in Bewegung zu setzen.

Das Fluid kann durch ein geschlossenes Rohr (eingeschlossenes Fluid), ein offenes Rohr (wie beispielsweise einen Kanal) oder eine offene Oberfläche zirkulieren.

In all diesen Situationen kann die Prandtl-Zahl zur Modellierung der Wärmeübertragung verwendet werden, zusammen mit anderen wichtigen Zahlen in der Strömungsmechanik, wie Reynolds-Zahl, Mach-Zahl, Grashoff-Zahl, Anzahl von Nusselt, die Rauheit oder Rauheit des Rohres und mehr.

Wichtige Definitionen für die Wärmeübertragung in einer Flüssigkeit

Neben den Eigenschaften des Fluids wirkt sich auch die Geometrie der Oberfläche auf den Wärmetransport sowie auf die Art der Strömung aus: laminar oder turbulent. Da die Prandtl-Zahl zahlreiche Definitionen enthält, finden Sie hier eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten:

Dynamische Viskosität

Es ist der natürliche Strömungswiderstand einer Flüssigkeit aufgrund der unterschiedlichen Wechselwirkungen zwischen ihren Molekülen. Es wird mit μ bezeichnet und seine Einheiten im Internationalen System (SI) sind Ns / m ² (Newton x Sekunde / Quadratmeter) oder Pa.s (Pascal x Sekunde), genannt Poise. Es ist in Flüssigkeiten viel höher als in Gasen und hängt von der Temperatur der Flüssigkeit ab.

Kinematische Viskosität

Es wird als ν (griechischer Buchstabe mit der Aufschrift „nu“) bezeichnet und ist definiert als das Verhältnis zwischen der dynamischen Viskosität μ und der Dichte ρ einer Flüssigkeit:

Seine Einheiten sind m ² / s.

Wärmeleitfähigkeit

Es ist definiert als die Fähigkeit von Materialien, Wärme durch sie zu leiten. Es ist eine positive Größe und ihre Einheiten sind Wm / K (Watt x Meter / Kelvin).

Spezifische Wärme

Wärmemenge, die 1 kg Substanz zugesetzt werden muss, um die Temperatur um 1 ºC zu erhöhen.

Wärmeleitzahl

Ist definiert als:

Die Einheiten für die Wärmeleitfähigkeit sind die gleichen wie für die kinematische Viskosität: m ² / s.

Mathematische Beschreibung der Wärmeübertragung

Es gibt eine mathematische Gleichung, die die Wärmeübertragung durch das Fluid modelliert, wenn man bedenkt, dass seine Eigenschaften wie Viskosität, Dichte und andere konstant bleiben:

T ist die Temperatur, eine Funktion der Zeit t und des Positionsvektors r , während α das zuvor erwähnte thermische Diffusionsvermögen und Δ der Laplace-Operator ist. In kartesischen Koordinaten würde es so aussehen:

Robustheit

Rauheit und Unregelmäßigkeiten auf der Oberfläche, durch die die Flüssigkeit zirkuliert, beispielsweise auf der Innenseite des Rohrs, auf der das Wasser zirkuliert.

Laminare Strömung

Es bezieht sich auf eine Flüssigkeit, die in Schichten glatt und geordnet fließt. Die Schichten vermischen sich nicht und die Flüssigkeit bewegt sich entlang sogenannter Stromlinien.

Abbildung 2. Die Rauchsäule hat zu Beginn ein laminares Regime, dann treten jedoch Voluten auf, die auf ein turbulentes Regime hinweisen. Quelle: Pixabay.

Turbulente Strömung

In diesem Fall bewegt sich die Flüssigkeit ungeordnet und ihre Partikel bilden Wirbel.

Prandtlsche Zahlenwerte in Gasen und Flüssigkeiten

In Gasen ist die Größenordnung sowohl der kinematischen Viskosität als auch der thermischen Diffusionsfähigkeit durch das Produkt der durchschnittlichen Geschwindigkeit der Partikel und des durchschnittlichen freien Weges gegeben. Letzteres ist der Wert der durchschnittlichen Entfernung, die ein Gasmolekül zwischen zwei Kollisionen zurücklegt.

Beide Werte sind sehr ähnlich, daher liegt die Anzahl von Prandtl Pr nahe bei 1. Zum Beispiel für Luft Pr = 0,7. Dies bedeutet, dass sowohl Impuls als auch Wärme in Gasen ungefähr gleich schnell übertragen werden.

In flüssigen Metallen ist Pr jedoch kleiner als 1, da freie Elektronen Wärme viel besser als Impuls leiten. In diesem Fall ist ν kleiner als α und Pr <1. Ein gutes Beispiel ist flüssiges Natrium, das als Kühlmittel in Kernreaktoren verwendet wird.

Wasser ist mit Pr = 7 ein weniger effizienter Wärmeleiter sowie viskose Öle, deren Prandtl-Zahl viel höher ist, und können für Schweröle 100.000 erreichen, was bedeutet, dass Wärme in ihnen mit übertragen wird sehr langsam im Vergleich zur Dynamik.

Tabelle 1. Größenordnung der Prandtl-Zahl für verschiedene Flüssigkeiten

Fluid	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
Erdmantel	10 17	10 -6	10 23
Innere Schichten der Sonne	10 -2	10 2	10 -4
Atmosphäre der Erde	10 -5	10 -5	einer
Ozean	10 -6	10 -7	10

Beispiel

Die thermischen Diffusivitäten von Wasser und Luft bei 20 ° C betragen 0,00142 bzw. 0,208 cm ² / s. Finden Sie die Prandtl-Zahlen für Wasser und Luft.

Lösung

Es gilt die am Anfang angegebene Definition, da die Aussage die Werte von α angibt:

Und was die Werte von ν betrifft, so können sie in einer Tabelle mit Eigenschaften von Flüssigkeiten gefunden werden. Ja, wir müssen darauf achten, dass ν in den gleichen Einheiten von α liegt und dass sie bei 20 ºC gültig sind:

ν _Luft = 1,51 × 10 ^–5 m ² / s = 0,151 cm ² / s; ν _Wasser = 1,02 × 10 ^–6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

So:

Pr (Luft) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (Wasser) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

Verweise

1. Organische Chemie. Thema 3: Konvektion. Wiederhergestellt von: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Gelöste Probleme der Strömungsmechanik. Schaum-Serie. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Einführung in die Strömungsmechanik. Oxford University Press.
4. Thorne, K. 2017. Moderne klassische Physik. Princeton und Oxford University Press.
5. UNET. Transportphänomene. Wiederhergestellt von: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl Nummer. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Wärmeleitfähigkeit. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viskosität. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.