EINDIMENSIONALE WELLEN: MATHEMATISCHER AUSDRUCK UND BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

One- dimensional Wellen sind diejenigen , die Propagate nur in eine Richtung, und zwar unabhängig davon , ob die Schwingung in der gleichen Ausbreitungsrichtung auftritt oder nicht. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Welle, die sich wie eine Gitarre durch eine gespannte Saite bewegt.

In einer transversalen ebenen Welle schwingen die Partikel in vertikaler Richtung (sie steigen und fallen, siehe den roten Pfeil in Abbildung 1), aber sie sind eindimensional, da sich die Störung nur in eine Richtung nach dem gelben Pfeil bewegt.

Abbildung 1: Das Bild zeigt eine eindimensionale Welle. Beachten Sie, dass die Grate und Täler Linien parallel zueinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung bilden. Quelle: selbst gemacht.

Eindimensionale Wellen treten im Alltag häufig auf. Im folgenden Abschnitt werden einige Beispiele und auch nicht eindimensionale Wellen beschrieben, um die Unterschiede deutlich zu machen.

Beispiele für eindimensionale Wellen und nicht eindimensionale Wellen

Eindimensionale Wellen

Hier sind einige Beispiele für eindimensionale Wellen, die leicht beobachtet werden können:

- Ein Schallimpuls, der sich durch einen geraden Balken bewegt, da es sich um eine Störung handelt, die sich über die gesamte Länge des Balkens ausbreitet.

- Eine Welle, die sich durch einen Wasserkanal bewegt, auch wenn die Verschiebung der Wasseroberfläche nicht parallel zum Kanal verläuft.

- Wellen, die sich auf einer Oberfläche oder durch einen dreidimensionalen Raum ausbreiten, können auch eindimensional sein, solange ihre Wellenfronten Ebenen parallel zueinander sind und sich nur in eine Richtung bewegen.

Nicht eindimensionale Wellen

Ein Beispiel für eine nicht eindimensionale Welle sind Wellen, die sich auf einer stillen Wasseroberfläche bilden, wenn ein Stein fallen gelassen wird. Es ist eine zweidimensionale Welle mit einer zylindrischen Wellenfront.

Abbildung 2. Das Bild zeigt ein Beispiel dafür, was eine eindimensionale Welle NICHT ist. Beachten Sie, dass die Kämme und Täler Kreise bilden und die Ausbreitungsrichtung radial nach außen ist. Es handelt sich dann um eine kreisförmige zweidimensionale Welle. Quelle: Pixabay.

Ein weiteres Beispiel für eine nicht eindimensionale Welle ist die Schallwelle, die ein Kracher durch Explosion in einer bestimmten Höhe erzeugt. Dies ist eine dreidimensionale Welle mit sphärischen Wellenfronten.

Mathematischer Ausdruck einer eindimensionalen Welle

Die allgemeinste Art, eine eindimensionale Welle auszudrücken, die sich ohne Dämpfung in der positiven Richtung der xy-Achse mit der Geschwindigkeit v ausbreitet, ist mathematisch:

In diesem Ausdruck repräsentiert y die Störung an Position x zum Zeitpunkt t. Die Form der Welle ist durch die Funktion f gegeben. Zum Beispiel ist die in 1 gezeigte Wellenfunktion: y (x, t) = cos (x - vt) und das Wellenbild entspricht dem Zeitpunkt t = 0.

Eine solche Welle, die durch eine Kosinus- oder Sinusfunktion beschrieben wird, wird als harmonische Welle bezeichnet. Obwohl es nicht die einzige Wellenform ist, die existiert, ist sie von größter Bedeutung, da jede andere Welle als Überlagerung oder Summe harmonischer Wellen dargestellt werden kann. Es ist das bekannte Fourier-Theorem, das so häufig zur Beschreibung von Signalen aller Art verwendet wird.

Wenn sich die Welle in der negativen Richtung der x-Achse bewegt, ändern Sie einfach das Argument v in -v und lassen Sie Folgendes übrig:

Abbildung 3 zeigt die Animation einer nach links wandernden Welle: Es handelt sich um eine Form, die als Lorentzsche Funktion bezeichnet wird, und ihr mathematischer Ausdruck lautet:

In diesem Beispiel beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = 1, eine Raumeinheit für jede Zeiteinheit.

Figure 3. Beispiel einer Lorentzschen Welle, die sich mit der Geschwindigkeit v = 1 nach links bewegt. Quelle: Erstellt von F. Zapata mit Geogebra.

Eindimensionale Wellengleichung

Die Wellengleichung ist eine partielle Ableitungsgleichung, deren Lösung natürlich eine Welle ist. Es stellt die mathematische Beziehung zwischen dem räumlichen Teil und dem zeitlichen Teil her und hat die Form:

Gearbeitetes Beispiel

Das Folgende ist der allgemeine Ausdruck y (x, t) für eine harmonische Welle:

a) Beschreiben Sie die physikalische Bedeutung der Parameter A, k, ω und θo.

b) Welche Bedeutung haben die ± Zeichen im Kosinusargument?

c) Stellen Sie sicher, dass der angegebene Ausdruck tatsächlich die Lösung der Wellengleichung des vorherigen Abschnitts ist, und ermitteln Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit v.

Lösung für)

Die Eigenschaften der Welle finden sich in folgenden Parametern:

Zweite Ableitung bezüglich t: ∂ ² und / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Diese Ergebnisse werden in die Wellengleichung eingesetzt:

Sowohl A als auch der Cosinus werden vereinfacht, da sie auf beiden Seiten der Gleichheit erscheinen und das Argument des Cosinus dasselbe ist. Daher reduziert sich der Ausdruck auf:

Was erlaubt, eine Gleichung für v in Bezug auf ω und k zu erhalten:

Verweise

1. E-pädagogisch. Gleichung eindimensionaler harmonischer Wellen. Wiederhergestellt von: e-ducativa.catedu.es
2. Die Ecke der Physik. Wellenklassen. Wiederhergestellt von: fisicaparatontos.blogspot.com.
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5. Peirce, A. Vorlesung 21: Die eindimensionale Wellengleichung: D'Alemberts Lösung. Wiederhergestellt von: ubc.ca.
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