SINUSWELLE: EIGENSCHAFTEN, TEILE, BERECHNUNG, BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Die Sinuswellen sind Wellenmuster, die durch die Sinus- und Cosinusfunktionen mathematisch beschrieben werden können. Sie beschreiben genau Naturereignisse und zeitlich veränderliche Signale, wie z. B. die Spannungen, die von Kraftwerken erzeugt und dann in Haushalten, Industrien und Straßen verwendet werden.

Elektrische Elemente wie Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten, die an sinusförmige Spannungseingänge angeschlossen sind, erzeugen sinusförmige Reaktionen. Die in seiner Beschreibung verwendete Mathematik ist relativ einfach und wurde gründlich untersucht.

Abbildung 1. Eine Sinuswelle mit einigen ihrer wichtigsten räumlichen Eigenschaften: Amplitude, Wellenlänge und Phase. Quelle: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: KraaiennestOriginal als Cosinus-Welle erstellt, von Benutzer: Pelegs, als Datei: Wave_new.svgderivative Arbeit: Dave3457

Die Mathematik der Sinus- oder Sinuswellen, wie sie auch genannt werden, ist die der Sinus- und Cosinusfunktionen.

Dies sind sich wiederholende Funktionen, was Periodizität bedeutet. Beide haben die gleiche Form, außer dass der Cosinus gegenüber dem Sinus um ein Viertel eines Zyklus nach links verschoben ist. Es ist in Abbildung 2 zu sehen:

Abbildung 2. Die Funktionen sin x und cos x sind relativ zueinander verschoben. Quelle: F. Zapata.

Dann ist cos x = sin (x + π / 2). Mit Hilfe dieser Funktionen wird eine Sinuswelle dargestellt. Zu diesem Zweck wird die betreffende Größe auf der vertikalen Achse platziert, während sich die Zeit auf der horizontalen Achse befindet.

Die obige Grafik zeigt auch die Wiederholungsqualität dieser Funktionen: Das Muster wiederholt sich kontinuierlich und regelmäßig. Dank dieser Funktionen können Spannungen und Ströme vom sinusförmigen Typ zeitlich variierend ausgedrückt werden, indem ein v oder i platziert wird, um Spannung oder Strom auf der vertikalen Achse anstelle des y und auf der horizontalen Achse anstelle des x darzustellen. Das t der Zeit wird platziert.

Die allgemeinste Art, eine Sinuswelle auszudrücken, ist:

Dann werden wir uns mit der Bedeutung dieses Ausdrucks befassen und einige grundlegende Begriffe definieren, um die Sinuswelle zu charakterisieren.

Teile

Periode, Amplitude, Frequenz, Zyklus und Phase sind Konzepte, die auf periodische oder sich wiederholende Wellen angewendet werden und wichtig sind, um sie richtig zu charakterisieren.

Zeitraum

Eine periodische Funktion wie die genannten, die in regelmäßigen Abständen wiederholt wird, erfüllt immer die folgende Eigenschaft:

Dabei ist T eine Größe, die als Periode der Welle bezeichnet wird, und es ist die Zeit, die eine Phase der Welle benötigt, um sich zu wiederholen. In SI-Einheiten wird die Periode in Sekunden gemessen.

Amplitude

Nach dem allgemeinen Ausdruck der Sinuswelle v (t) = v _m sin (ωt + φ) ist v _m der Maximalwert der Funktion, der auftritt, wenn sin (ωt + φ) = 1 ist (wobei zu beachten ist, dass die größte Wert, der sowohl die Sinusfunktion als auch die Cosinusfunktion zulässt, ist 1). Dieser Maximalwert ist genau die Amplitude der Welle, auch als Spitzenamplitude bekannt.

Im Falle einer Spannung wird sie in Volt gemessen und wenn es sich um einen Strom handelt, wird sie in Ampere angegeben. In der gezeigten Sinuswelle ist die Amplitude konstant, in anderen Wellentypen kann die Amplitude variieren.

Zyklus

Es ist ein Teil der Welle, die in einer Periode enthalten ist. In der obigen Abbildung wurde die Periode durch Messen von zwei aufeinanderfolgenden Peaks oder Peaks genommen, aber sie kann von anderen Punkten auf der Welle aus gemessen werden, solange sie durch eine Periode begrenzt sind.

Beobachten Sie in der folgenden Abbildung, wie ein Zyklus von einem Punkt zum anderen mit demselben Wert (Höhe) und derselben Neigung (Neigung) zurücklegt.

Abbildung 3. In einer Sinuswelle läuft ein Zyklus immer über einen Zeitraum. Wichtig ist, dass Startpunkt und Ende auf gleicher Höhe liegen. Quelle: Boylestad. Einführung in die Schaltungsanalyse. Pearson.

Frequenz

Dies ist die Anzahl der Zyklen, die in 1 Sekunde auftreten und mit dem Argument der Sinusfunktion verknüpft sind: ωt. Die Frequenz wird mit f bezeichnet und im internationalen System in Zyklen pro Sekunde oder Hertz (Hz) gemessen.

Die Frequenz ist der umgekehrte Betrag der Periode, daher:

Während die Frequenz f mit der Winkelfrequenz ω (Pulsation) in Beziehung steht als:

Die Winkelfrequenz wird im internationalen System im Bogenmaß / Sekunde ausgedrückt, das Bogenmaß ist jedoch dimensionslos, sodass die Frequenz f und die Winkelfrequenz ω die gleichen Abmessungen haben. Beachten Sie, dass das Produkt ωt als Ergebnis Bogenmaß ergibt und bei der Verwendung des Rechners berücksichtigt werden muss, um den Wert von sin ωt zu erhalten.

Phase

Sie entspricht der horizontalen Verschiebung, die die Welle in Bezug auf eine als Referenz genommene Zeit erfährt.

In der folgenden Abbildung liegt die grüne Welle zum Zeitpunkt t _d vor der roten Welle . Zwei Sinuswellen sind in Phase, wenn ihre Frequenz und Phase gleich sind. Wenn sich die Phase unterscheidet, sind sie phasenverschoben. Die Wellen in Abbildung 2 sind ebenfalls phasenverschoben.

Abbildung 4. Phasenverschobene Sinuswellen. Quelle: Wikimedia Commons. Kein maschinenlesbarer Autor angegeben. Kanjo ~ commonswiki wird angenommen (basierend auf Urheberrechtsansprüchen). .

Wenn die Frequenz der Wellen unterschiedlich ist, sind sie in Phase, wenn die Phase ωt + φ zu bestimmten Zeiten in beiden Wellen gleich ist.

Sinusgenerator

Es gibt viele Möglichkeiten, ein Sinuswellensignal zu erhalten. Hausgemachte Steckdosen bieten sie.

Faradays Strafverfolgung

Ein ziemlich einfacher Weg, um ein sinusförmiges Signal zu erhalten, ist die Verwendung des Faradayschen Gesetzes. Dies zeigt an, dass in einem geschlossenen Stromkreis, beispielsweise einer Schleife, die in der Mitte eines Magnetfelds angeordnet ist, ein induzierter Strom erzeugt wird, wenn sich der Magnetfeldfluss durch ihn zeitlich ändert. Folglich wird auch eine induzierte Spannung oder induzierte EMK erzeugt.

Der Fluss des Magnetfelds ändert sich, wenn die Schleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in der Mitte des Feldes gedreht wird, das zwischen den in der Abbildung gezeigten N- und S-Polen des Magneten erzeugt wird.

Abbildung 5. Wellengenerator basierend auf dem Faradayschen Induktionsgesetz. Quelle: Quelle: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

Die Einschränkung dieser Vorrichtung ist die Abhängigkeit der Spannung, die mit der Rotationsfrequenz der Schleife erhalten wird, wie in Beispiel 1 des folgenden Beispielabschnitts ausführlicher zu sehen sein wird.

Wien Oszillator

Eine andere Möglichkeit, eine Sinuswelle zu erhalten, diesmal mit Elektronik, ist der Wien-Oszillator, der einen Operationsverstärker in Verbindung mit Widerständen und Kondensatoren benötigt. Auf diese Weise werden Sinuswellen erhalten, deren Frequenz und Amplitude der Benutzer je nach Bedarf durch Einstellen mit Schaltern ändern kann.

Die Abbildung zeigt einen sinusförmigen Signalgenerator, mit dem auch andere Wellenformen erhalten werden können: unter anderem dreieckig und quadratisch.

Abbildung 6. Ein Signalgenerator. Quelle: Quelle: Wikimedia Commons. Ocgreg bei englischer Wikipedia.

Wie berechnet man Sinuswellen?

Um Berechnungen mit Sinuswellen durchzuführen, wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner verwendet, der die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sowie deren Inversen aufweist. Diese Taschenrechner verfügen über Modi zum Bearbeiten der Winkel entweder in Grad oder im Bogenmaß, und es ist einfach, von einer Form in die andere zu konvertieren. Der Umrechnungsfaktor ist:

Abhängig vom Taschenrechnermodell müssen Sie mit der MODE-Taste navigieren, um die Option DEGREE zu finden, mit der Sie die trigonometrischen Funktionen in Grad ausführen können, oder die Option RAD, um die Winkel direkt im Bogenmaß zu bearbeiten.

Zum Beispiel sin 25º = 0,4226, wenn der Rechner auf den DEG-Modus eingestellt ist. Die Umrechnung von 25º in Bogenmaß ergibt 0,4363 Bogenmaß und sin 0,4363 Rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

Das Oszilloskop

Das Oszilloskop ist ein Gerät, mit dem sowohl Gleich- als auch Wechselspannungs- und Stromsignale auf einem Bildschirm angezeigt werden können. Es verfügt über Regler zum Einstellen der Signalgröße in einem Raster, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Abbildung 7. Ein mit einem Oszilloskop gemessenes sinusförmiges Signal. Quelle: Boylestad.

Durch das vom Oszilloskop bereitgestellte Bild und die Kenntnis der Empfindlichkeitseinstellung in beiden Achsen ist es möglich, die zuvor beschriebenen Wellenparameter zu berechnen.

Die Abbildung zeigt das sinusförmige Spannungssignal als Funktion der Zeit, wobei jede Teilung auf der vertikalen Achse 50 Millivolt wert ist, während auf der horizontalen Achse jede Teilung 10 Mikrosekunden wert ist.

Die Spitze-Spitze-Amplitude wird ermittelt, indem die Teilungen, die die Welle vertikal abdeckt, mit dem roten Pfeil gezählt werden:

5 Teilungen werden mit Hilfe des roten Pfeils gezählt, daher beträgt die Spitze-Spitze-Spannung:

Die Spitzenspannung V _p wird von der horizontalen Achse gemessen und beträgt 125 mV.

Um die Periode zu finden, wird ein Zyklus gemessen, zum Beispiel der durch den grünen Pfeil begrenzte, der 3,2 Unterteilungen abdeckt. Dann ist die Periode:

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen Sie für den Generator in Abbildung 3 nach dem Faradayschen Gesetz, dass die induzierte Spannung sinusförmig ist. Angenommen, die Schleife besteht aus N Windungen anstelle von nur einer, alle mit der gleichen Fläche A und dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in der Mitte eines gleichmäßigen Magnetfelds B.

Lösung

Das Faradaysche Gesetz besagt, dass die induzierte EMK ε ist:

Dabei ist Φ _B der Magnetfeldfluss, der variabel ist, da er davon abhängt, wie die Schleife zu jedem Zeitpunkt dem Feld ausgesetzt ist. Das negative Vorzeichen beschreibt einfach die Tatsache, dass diese EMK der Ursache widerspricht, die sie hervorbringt (Lenzsches Gesetz). Der Durchfluss aufgrund einer einzelnen Umdrehung beträgt:

θ ist der Winkel, den der zur Ebene der Schleife senkrechte Vektor mit fortschreitender Drehung mit dem Feld B bildet (siehe Abbildung). Dieser Winkel ändert sich natürlich wie folgt:

So dass: Φ _B = BAcos θ = BAcos ωt. Jetzt müssen wir diesen Ausdruck nur in Bezug auf die Zeit ableiten und erhalten damit die induzierte EMK:

Da das Feld B gleichmäßig ist und die Fläche der Schleife nicht variiert, bleiben sie außerhalb der Ableitung:

Eine Schleife hat eine Fläche von 0,100 m ² und dreht sich mit 60,0 U / s, wobei ihre Drehachse senkrecht zu einem gleichmäßigen Magnetfeld von 0,200 T ist. Wenn Sie wissen, dass die Spule 1000 Windungen hat, finden Sie: a) die maximal erzeugte EMK, b ) Die Ausrichtung der Spule in Bezug auf das Magnetfeld, wenn die maximal induzierte EMK auftritt.

Abbildung 8. Eine Schleife mit N Windungen dreht sich in der Mitte eines gleichmäßigen Magnetfelds und erzeugt ein sinusförmiges Signal. Quelle: R. Serway, Physik für Wissenschaft und Technik. Band 2. Lernen einbinden.

Lösung

a) Die maximale EMK beträgt ε _max = ωNBA

Bevor Sie mit dem Ersetzen der Werte fortfahren, muss die Frequenz von 60 U / s an die Einheiten des Internationalen Systems übergeben werden. Es ist bekannt, dass 1 Umdrehung einer Umdrehung oder 2p Bogenmaß entspricht:

60,0 U / s = 120 p Radian / s

ε _max = 120 p Bogenmaß x 1000 Windungen x 0,200 T x 0,100 m ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Wenn dieser Wert auftritt, ist sin ωt = 1 daher:

ωt = θ = 90º,

In diesem Fall ist die Ebene der Spirale parallel zu B , so dass der zu dieser Ebene senkrechte Vektor mit dem Feld 90º bildet. Dies tritt auf, wenn der Vektor in Schwarz in 8 senkrecht zu dem grünen Vektor ist, der das Magnetfeld darstellt.

Verweise

1. Boylestad, R. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse. 12 .. Auflage. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetismus. Physikreihe für Wissenschaft und Technik. Band 6. Herausgegeben von D. Figueroa. Simon Bolivar Universität. 115 und 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Physiklabor 2. Editorial Equinoccio. 03-1 und 14-1.
4. Sinuswellen. Wiederhergestellt von: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Physik für Wissenschaft und Technik. Band 2. Lernen einbinden. 881-884