ATOMMODELL VON DIRAC JORDAN: EIGENSCHAFTEN UND POSTULATE - KÖRPERLICH

Das Dirac-Jordan-Atommodell ist die relativistische Verallgemeinerung des Hamilton-Operators in der Gleichung, die die Quantenwellenfunktion des Elektrons beschreibt. Im Gegensatz zum Vorgängermodell, dem von Schrödinger, ist es nicht erforderlich, den Spin mittels des Pauli-Ausschlussprinzips durchzusetzen, da er natürlich erscheint.

Darüber hinaus enthält das Dirac-Jordan-Modell relativistische Korrekturen, die Spin-Bahn-Wechselwirkung und den Darwin-Term, die für die Feinstruktur der elektronischen Ebenen des Atoms verantwortlich sind.

Figure 1. Elektronische Orbitale im Wasserstoffatom für die ersten drei Energieniveaus. Quelle: Wikimedia Commons.

Ab 1928 machten sich die Wissenschaftler Paul AM Dirac (1902-1984) und Pascual Jordan (1902-1980) daran, die von Schrödinger entwickelte Quantenmechanik so zu verallgemeinern, dass sie Einsteins spezielle Relativitätskorrekturen enthielt.

Dirac geht von der Schrödinger-Gleichung aus, die aus einem Differentialoperator namens Hamilton besteht, der mit einer Funktion arbeitet, die als Elektronenwellenfunktion bekannt ist. Schrödinger berücksichtigte jedoch relativistische Effekte nicht.

Die Lösungen der Wellenfunktion ermöglichen es uns, die Regionen zu berechnen, in denen sich das Elektron mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit um den Kern befindet. Diese Regionen oder Zonen werden Orbitale genannt und hängen von bestimmten diskreten Quantenzahlen ab, die die Energie und den Drehimpuls des Elektrons definieren.

Postulate

In quantenmechanischen Theorien, ob relativistisch oder nicht, gibt es kein Konzept von Umlaufbahnen, da weder die Position noch die Geschwindigkeit des Elektrons gleichzeitig spezifiziert werden können. Darüber hinaus führt die Angabe einer der Variablen zu einer vollständigen Ungenauigkeit der anderen.

Der Hamilton-Operator ist seinerseits ein mathematischer Operator, der auf die Quantenwellenfunktion einwirkt und aus der Energie des Elektrons aufgebaut ist. Zum Beispiel hat ein freies Elektron eine Gesamtenergie E, die von seinem linearen Impuls p wie folgt abhängt :

E = ( p ² ) / 2 m

Um den Hamilton-Operator zu konstruieren, gehen wir von diesem Ausdruck aus und ersetzen den Impuls durch den Quantenoperator durch p :

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Es ist wichtig zu beachten, dass die Terme p und p unterschiedlich sind, da der erste der Impuls und der andere der dem Impuls zugeordnete Differentialoperator ist.

Zusätzlich ist i die imaginäre Einheit und ħ die Planck-Konstante geteilt durch 2π, auf diese Weise wird der Hamilton-Operator H des freien Elektrons erhalten:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Um den Hamilton-Wert des Elektrons im Atom zu ermitteln, fügen Sie die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Kern hinzu:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

Im vorherigen Ausdruck ist -e die elektrische Ladung des Elektrons und Φ (r) das vom zentralen Kern erzeugte elektrostatische Potential.

Nun wirkt der Operator H auf die Wellenfunktion ψ gemäß der Schrödinger-Gleichung, die wie folgt geschrieben ist:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracs vier Postulate

Erstes Postulat : Die relativistische Wellengleichung hat die gleiche Struktur wie die Schrödinger-Wellengleichung. Was sich ändert, ist das H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Zweites Postulat : Der Hamilton-Operator wird ausgehend von Einsteins Energie-Impuls-Beziehung konstruiert, die wie folgt geschrieben ist:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

In der vorherigen Beziehung haben wir, wenn das Teilchen einen Impuls p = 0 hat, die berühmte Gleichung E = mc ² , die die Energie in Ruhe eines Teilchens der Masse m mit der Lichtgeschwindigkeit c in Beziehung setzt.

Drittes Postulat : Um den Hamilton-Operator zu erhalten, wird dieselbe Quantisierungsregel verwendet, die in der Schrödinger-Gleichung verwendet wird:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Am Anfang war nicht klar, wie man mit diesem Differentialoperator umgeht, der innerhalb einer Quadratwurzel wirkt, also machte sich Dirac daran, einen linearen Hamilton-Operator für den Impulsoperator zu erhalten, und daraus entstand sein viertes Postulat.

Viertes Postulat : Um die Quadratwurzel in der relativistischen Energieformel loszuwerden, schlug Dirac die folgende Struktur für E ^{2 vor} :

Natürlich ist es notwendig, die Alpha-Koeffizienten (α0, α1, α2, α3) zu bestimmen, damit dies wahr ist.

Diracs Gleichung

In ihrer kompakten Form gilt die Dirac-Gleichung als eine der schönsten mathematischen Gleichungen der Welt:

Abbildung 2. Dirac-Gleichung in kompakter Form. Quelle: F. Zapata.

Und dann wird klar, dass die konstanten Alphas keine skalaren Größen sein können. Die einzige Möglichkeit, die Gleichheit des vierten Postulats zu erfüllen, besteht darin, dass es sich um konstante 4 × 4-Matrizen handelt, die als Dirac-Matrizen bekannt sind:

Wir stellen sofort fest, dass die Wellenfunktion keine Skalarfunktion mehr ist und zu einem Vektor mit vier Komponenten wird, die als Spinor bezeichnet werden:

Das Dirac-Jordan-Atom

Um das Atommodell zu erhalten, ist es notwendig, von der Gleichung des freien Elektrons zu der des Elektrons im vom Atomkern erzeugten elektromagnetischen Feld zu wechseln. Diese Wechselwirkung wird berücksichtigt, indem das Skalarpotential Φ und das Vektorpotential A in den Hamilton-Operator einbezogen werden :

Die Wellenfunktion (Spinor), die sich aus der Einbeziehung dieses Hamilton-Operators ergibt, weist die folgenden Eigenschaften auf:

- Erfüllt die spezielle Relativitätstheorie, da sie die intrinsische Energie des Elektrons berücksichtigt (erster Term des relativistischen Hamilton-Operators)

- Es hat vier Lösungen, die den vier Komponenten des Spinors entsprechen

- Die ersten beiden Lösungen entsprechen einer Spin + ½ und die andere Spin - ½

- Schließlich sagen die beiden anderen Lösungen die Existenz von Antimaterie voraus, da sie der von Positronen mit entgegengesetzten Spins entsprechen.

Der große Vorteil der Dirac-Gleichung besteht darin, dass die Korrekturen des grundlegenden Schrödinger-Hamilton-H (o) in mehrere Begriffe unterteilt werden können, die wir unten zeigen werden:

Im vorherigen Ausdruck ist V das Skalarpotential, da das Vektorpotential A Null ist, wenn angenommen wird, dass das zentrale Proton stationär ist und daher nicht erscheint.

Der Grund, warum die Dirac-Korrekturen an den Schrödinger-Lösungen in der Wellenfunktion subtil sind. Sie ergeben sich aus der Tatsache, dass die letzten drei Terme des korrigierten Hamilton-Operators alle durch die Lichtgeschwindigkeit c des quadratischen Lichts geteilt werden, eine große Zahl, die diese Terme numerisch klein macht.

Relativistische Korrekturen des Energiespektrums

Unter Verwendung der Dirac-Jordan-Gleichung finden wir Korrekturen am Energiespektrum des Elektrons im Wasserstoffatom. Korrekturen für Energie in Atomen mit mehr als einem Elektron in ungefährer Form werden auch durch eine Methodik gefunden, die als Störungstheorie bekannt ist.

In ähnlicher Weise können wir mit dem Dirac-Modell die Feinstrukturkorrektur in den Wasserstoff-Energieniveaus finden.

Noch subtilere Korrekturen wie die Hyperfeinstruktur und die Lamb-Verschiebung werden jedoch aus fortgeschritteneren Modellen wie der Quantenfeldtheorie erhalten, die genau aus den Beiträgen des Dirac-Modells hervorgegangen sind.

Die folgende Abbildung zeigt, wie Diracs relativistische Korrekturen der Energieniveaus aussehen:

Figure 3. Korrekturen des Dirac-Modells an den Niveaus des Wasserstoffatoms. Quelle: Wikimedia Commons.

Zum Beispiel sagen die Lösungen der Dirac-Gleichung eine beobachtete Verschiebung auf Stufe 2s korrekt voraus. Dies ist die bekannte Feinstrukturkorrektur in der Lyman-Alpha-Linie des Wasserstoffspektrums (siehe Abbildung 3).

Übrigens ist die Feinstruktur der Name, der in der Atomphysik der Verdoppelung der Linien des Emissionsspektrums von Atomen gegeben wird, was eine direkte Folge des elektronischen Spins ist.

Figure 4. Feinstrukturaufspaltung für den Grundzustand n = 1 und den ersten angeregten Zustand n = 2 im Wasserstoffatom. Quelle: R Wirnata. Relativistische Korrekturen an wasserstoffähnlichen Atomen. Researchgate.net

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Verweise

Atomtheorie. Von wikipedia.org wiederhergestellt.
Elektronenmagnetisches Moment. Von wikipedia.org wiederhergestellt.
Quanta: Ein Handbuch der Konzepte. (1974). Oxford University Press. Von Wikipedia.org wiederhergestellt.
Dirac Jordan Atommodell. Von prezi.com wiederhergestellt.
Das neue Quantenuniversum. Cambridge University Press. Von Wikipedia.org wiederhergestellt.

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