MAGNETISCHE INDUKTION: FORMELN, WIE SIE BERECHNET WERDEN UND BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Die magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte verändert die Umgebung, die durch das Vorhandensein elektrischer Ströme verursacht wird. Sie ändern die Art des sie umgebenden Raums und erzeugen ein Vektorfeld.

Die magnetische Vektorinduktion, die magnetische Flussdichte oder einfach das Magnetfeld B weist drei charakteristische Merkmale auf: eine Intensität, die durch einen numerischen Wert, eine Richtung und auch einen an jedem Punkt im Raum gegebenen Sinn ausgedrückt wird. Es ist fett hervorgehoben, um es von rein numerischen oder skalaren Größen zu unterscheiden.

Regel des rechten Daumens zur Bestimmung der Richtung und des Sinns des magnetischen Induktionsvektors. Quelle: Jfmelero

Die rechte Daumenregel wird verwendet, um die Richtung und Richtung des Magnetfelds zu ermitteln, das durch einen stromführenden Draht verursacht wird, wie in der obigen Abbildung gezeigt.

Der Daumen der rechten Hand sollte in Stromrichtung zeigen. Dann zeigt die Drehung der vier verbleibenden Finger die Form von B an , die in der Figur durch die konzentrischen roten Kreise dargestellt ist.

In einem solchen Fall ist die Richtung von B tangential zum Umfang, der konzentrisch zum Draht ist, und die Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn.

Die magnetische Induktion B im internationalen System wird in Tesla (T) gemessen, es ist jedoch häufiger, sie in einer anderen Einheit namens Gauß (G) zu messen. Beide Einheiten wurden jeweils zu Ehren von Nikola Tesla (1856-1943) und Carl Friedrich Gauss (1777-1855) für ihre außergewöhnlichen Beiträge zur Wissenschaft von Elektrizität und Magnetismus benannt.

Was sind die Eigenschaften der magnetischen Induktion oder der magnetischen Flussdichte?

Ein Kompass in der Nähe eines stromführenden Kabels richtet sich immer nach B. Der dänische Physiker Hans Christian Oersted (1777-1851) war der erste, der dieses Phänomen im frühen 19. Jahrhundert bemerkte.

Und wenn die Strömung stoppt, zeigt der Kompass wie immer wieder in den geografischen Norden. Durch sorgfältiges Ändern der Position des Kompasses erhalten Sie eine Karte der Form des Magnetfelds.

Diese Karte hat immer die Form von Kreisen, die konzentrisch zum Draht sind, wie zu Beginn beschrieben. Auf diese Weise kann B.

Selbst wenn der Draht nicht gerade ist, bildet der Vektor B konzentrische Kreise um ihn herum. Stellen Sie sich zur Bestimmung der Feldform nur sehr kleine Drahtsegmente vor, die so klein sind, dass sie geradlinig erscheinen und von konzentrischen Kreisen umgeben sind.

Magnetfeldlinien, die von einer stromführenden Drahtschleife erzeugt werden. Quelle: Pixabay.com

Dies weist auf eine wichtige Eigenschaft der Magnetfeldlinien B hin : Sie haben keinen Anfang oder Ende, sie sind immer geschlossene Kurven.

Biot-Savarts Gesetz

Das 19. Jahrhundert war der Beginn des Zeitalters der Elektrizität und des Magnetismus in der Wissenschaft. 1820 entdeckten die französischen Physiker Jean Marie Biot (1774-1862) und Felix Savart (1791-1841) in der Nähe das Gesetz, das seinen Namen trägt und den Vektor B berechnet .

Sie machten die folgenden Beobachtungen über den Beitrag zu dem Magnetfeld, das von einem Drahtsegment der Differenzlänge dl erzeugt wird, das einen elektrischen Strom I führt:

• Die Größe von B nimmt mit der Umkehrung des Quadrats des Abstands zum Draht ab (dies ist sinnvoll: außerhalb des Drahtes muss die Intensität von B geringer sein als an nahe gelegenen Punkten).
• Die Größe von B ist proportional zur Intensität des Stroms I, der durch den Draht fließt.
• Die Richtung von B ist tangential zu dem Kreis mit dem Radius r, der auf dem Draht zentriert ist, und die Richtung von B ist, wie gesagt, durch die Regel des rechten Daumens gegeben.

Das Kreuzprodukt oder Kreuzprodukt ist das geeignete mathematische Werkzeug, um den letzten Punkt auszudrücken. Um ein Vektorprodukt zu etablieren, werden zwei Vektoren benötigt, die wie folgt definiert sind:

• d l ist der Vektor, dessen Größe die Länge des Differentialsegments dl ist
• r ist der Vektor, der vom Draht zu dem Punkt geht, an dem Sie das Feld finden möchten

Formeln

All dies kann zu einem mathematischen Ausdruck kombiniert werden:

Die zur Herstellung der Gleichheit notwendige Proportionalitätskonstante ist die magnetische Permeabilität des freien Raums μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A.

Dieser Ausdruck ist das Biot- und Savart-Gesetz, mit dem wir das Magnetfeld eines Stromsegments berechnen können.

Ein solches Segment muss wiederum Teil eines größeren und geschlosseneren Kreislaufs sein: einer Stromverteilung.

Die Bedingung, dass der Stromkreis geschlossen ist, ist erforderlich, damit elektrischer Strom fließt. In offenen Stromkreisen kann kein elektrischer Strom fließen.

Um schließlich das Gesamtmagnetfeld dieser Stromverteilung zu finden, werden alle Beiträge jedes Differenzsegments dl addiert . Dies entspricht einer Integration über die gesamte Distribution:

Um das Biot-Savart-Gesetz anzuwenden und den magnetischen Induktionsvektor zu berechnen, müssen einige sehr wichtige wichtige Punkte berücksichtigt werden:

• Das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren führt immer zu einem anderen Vektor.

• 

• Es ist zweckmäßig, das Vektorprodukt zu finden, bevor mit der Auflösung des Integrals fortgefahren wird, dann wird das Integral jeder der separat erhaltenen Komponenten gelöst.
• Es ist notwendig, ein Bild der Situation zu zeichnen und ein geeignetes Koordinatensystem zu erstellen.
• Wann immer das Vorhandensein einer gewissen Symmetrie beobachtet wird, sollte diese verwendet werden, um Rechenzeit zu sparen.
• Wenn es Dreiecke gibt, sind der Satz von Pythagoras und der Satz von Cosinus hilfreich, um die geometrische Beziehung zwischen den Variablen herzustellen.

Wie wird es berechnet?

Mit einem praktischen Beispiel für die Berechnung von B für einen geraden Draht gelten diese Empfehlungen.

Beispiel

Berechnen Sie den Magnetfeldvektor, den ein sehr langer geradliniger Draht an einem Punkt P im Raum erzeugt, gemäß der gezeigten Abbildung.

Geometrie, die zur Berechnung des Magnetfelds am Punkt P eines unendlich langen Stromdrahtes erforderlich ist. Quelle: selbst gemacht.

Aus der Figur muss man:

• Der Draht ist in vertikaler Richtung gerichtet, wobei der Strom I nach oben fließt. Diese Richtung ist + y im Koordinatensystem, dessen Ursprung am Punkt O liegt.

• 

• In diesem Fall ist B am Punkt P gemäß der Regel des rechten Daumens auf die Innenseite des Papiers gerichtet, daher wird es in der Figur durch einen kleinen Kreis und ein "x" gekennzeichnet. Diese Adresse wird als -z angenommen.
• Das rechtwinklige Dreieck, dessen Beine y und R sind, bezieht beide Variablen gemäß dem Satz von Pythagoras in Beziehung: r ² = R ² + y ²

All dies wird im Integral ersetzt. Das Kreuzprodukt oder Kreuz wird durch seine Größe plus seine Richtung und seinen Sinn angezeigt:

Das vorgeschlagene Integral befindet sich in einer Tabelle von Integralen oder wird durch eine geeignete trigonometrische Substitution gelöst (der Leser kann das Ergebnis mit y = Rtg θ überprüfen):

Das Ergebnis stimmt mit dem überein, was erwartet wurde: Die Größe des Feldes nimmt mit dem Abstand R ab und nimmt proportional mit der Intensität des Stroms I zu.

Obwohl ein unendlich langer Draht eine Idealisierung ist, ist der erhaltene Ausdruck eine sehr gute Annäherung für das Feld eines langen Drahtes.

Mit dem Gesetz von Biot und Savart ist es möglich, das Magnetfeld anderer hochsymmetrischer Verteilungen zu finden, beispielsweise einer kreisförmigen Schleife, die Strom führt, oder gebogener Drähte, die geradlinige und krummlinige Segmente kombinieren.

Um das vorgeschlagene Integral analytisch zu lösen, muss das Problem natürlich einen hohen Symmetriegrad aufweisen. Andernfalls besteht die Alternative darin, das Integral numerisch zu lösen.

Verweise

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 2. Mexiko. Cengage Learning Editors. 367-372.