WAHRSCHEINLICHKEITSAXIOME: TYPEN, ERKLÄRUNGEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - DUDAS - 2025

Die Axiome der Wahrscheinlichkeit sind mathematische Sätze, die sich auf die Wahrscheinlichkeitstheorie beziehen und keinen Beweis verdienen. Die Axiome wurden 1933 vom russischen Mathematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987) in seinen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie aufgestellt und legten den Grundstein für die mathematische Untersuchung der Wahrscheinlichkeit.

Bei der Durchführung eines bestimmten zufälligen Experiments ξ ist der Probenraum E die Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments, auch Ereignisse genannt. Jedes Ereignis wird als A bezeichnet und P (A) ist die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens. Dann stellte Kolmogorov fest, dass:

Abbildung 1. Mit den Wahrscheinlichkeitsaxiomen können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, Glücksspiele wie Roulette zu treffen. Quelle: Pixabay.

- Axiom 1 (Nicht-Negativität) : Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A auftritt, ist immer positiv oder Null, P (A) ≥0. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 0 ist, wird es als unmögliches Ereignis bezeichnet.

- Axiom 2 (Gewissheit) : Wenn ein Ereignis zu E gehört, beträgt seine Eintrittswahrscheinlichkeit 1, was wir als P (E) = 1 ausdrücken können. Dies ist als ein bestimmtes Ereignis bekannt, da bei der Durchführung eines Experiments mit Sicherheit ein Ergebnis erzielt wird.

- Axiom 3 (Addition) : Bei zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen zwei mal zwei, genannt A ₁ , A ₂ , A ₃ …, die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A ₁ plus A ₂ plus A ₃ auftritt und so weiter nacheinander ist es die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die jeweils getrennt auftreten.

Dies wird ausgedrückt als: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Abbildung 2. Der bemerkenswerte russische Mathematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987), der den Grundstein für die axiomatische Wahrscheinlichkeit legte. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel

Die Axiome der Wahrscheinlichkeit werden in einer Vielzahl von Anwendungen häufig verwendet. Beispielsweise:

Ein Reißnagel oder eine Wende wird in die Luft geworfen, und wenn er auf den Boden fällt, besteht die Möglichkeit, mit dem Punkt nach oben (U) oder mit dem Punkt nach unten (D) zu landen (andere Möglichkeiten werden nicht berücksichtigt). Der Probenraum für dieses Experiment besteht aus diesen Ereignissen, dann ist E = {U, D}.

Abbildung 3. Beim Versuch, die Wende zu werfen, gibt es zwei Ereignisse mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten: Landung mit dem Punkt nach oben oder in Richtung Boden. Quelle: Pixabay.

Durch Anwendung der Axiome haben wir:

Wenn es gleich wahrscheinlich ist, dass es auf oder ab landet, ist P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Die Konstruktion und das Design des Reißzwecks können jedoch die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass er in die eine oder andere Richtung fällt. Zum Beispiel kann es sein, dass P (U) = ¾ ist, während P (D) = ¼ (Axiom 1).

Beachten Sie, dass in beiden Fällen die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt. Die Axiome geben jedoch nicht an, wie die Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen sind, zumindest nicht vollständig. Sie geben jedoch an, dass es sich um Zahlen zwischen 0 und 1 handelt und dass wie in diesem Fall die Summe aller 1 ist.

Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit zuzuweisen

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome sind keine Methode zur Zuordnung des Wahrscheinlichkeitswerts. Hierfür gibt es drei Optionen, die mit den Axiomen kompatibel sind:

Laplace-Regel

Jedem Ereignis wird die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit zugewiesen, dann ist die Eintrittswahrscheinlichkeit definiert als:

Wie hoch ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, ein Ass aus einem Kartenspiel mit französischen Karten zu ziehen? Das Deck hat 52 Karten, 13 von jeder Farbe und es gibt 4 Farben. Jeder Anzug hat 1 Asse, also gibt es insgesamt 4 Asse:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Die Laplace-Regel ist auf endliche Stichprobenräume beschränkt, in denen jedes Ereignis gleich wahrscheinlich ist.

Relative Frequenz

Hier muss das Experiment wiederholbar sein, da die Methode auf der Durchführung einer großen Anzahl von Wiederholungen basiert.

Lassen Sie uns das Experiment ξ wiederholen, von dem wir feststellen, dass n die Häufigkeit ist, mit der ein bestimmtes Ereignis A auftritt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis auftritt, wie folgt:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Wobei n / i die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist.

Die Definition von P (A) auf diese Weise erfüllt Kolmogorovs Axiome, hat jedoch den Nachteil, dass viele Tests durchgeführt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit angemessen ist.

Subjektive Methode

Eine Person oder eine Gruppe von Personen kann sich nach eigenem Ermessen darauf einigen, einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuzuweisen. Diese Methode hat den Nachteil, dass unterschiedliche Personen demselben Ereignis unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zuweisen können.

Übung gelöst

Erhalten Sie im Experiment des gleichzeitigen Werfens von 3 ehrlichen Münzen die Wahrscheinlichkeiten der beschriebenen Ereignisse:

a) 2 Köpfe und ein Schwanz.

b) 1 Kopf und zwei Schwänze

c) 3 Kreuze.

d) Mindestens 1 Gesicht.

Lösung für

Die Köpfe sind mit C und die Schwänze mit X bezeichnet. Es gibt jedoch mehrere Möglichkeiten, zwei Köpfe und einen Schwanz zu erhalten. Zum Beispiel können die ersten beiden Münzen Köpfe und die dritte Schwänze landen. Oder der erste kann Köpfe fallen, der zweite Schwanz und der dritte Kopf. Und schließlich können die ersten Schwänze und die restlichen Köpfe sein.

Um die Fragen zu beantworten, müssen alle Möglichkeiten bekannt sein, die in einem Tool beschrieben werden, das als Baumdiagramm oder Wahrscheinlichkeitsbaum bezeichnet wird:

Abbildung 4. Baumdiagramm für das gleichzeitige Werfen von drei ehrlichen Münzen. Quelle: F. Zapata.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze Kopf ist, ist ½, das gleiche gilt für Zahl, da die Münze ehrlich ist. In der rechten Spalte werden alle Möglichkeiten aufgelistet, die der Wurf hat, dh der Probenraum.

Aus dem Probenraum werden die Kombinationen ausgewählt, die auf das angeforderte Ereignis reagieren, da die Reihenfolge, in der die Gesichter erscheinen, nicht wichtig ist. Es gibt drei günstige Ereignisse: CCX, CXC und XCC. Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis eintritt, ist:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Das Gleiche gilt für die CXC- und XCC-Ereignisse. Jedes Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/8. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Köpfe zu bekommen, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Ereignisse:

P (2-seitig) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Lösung b

Das Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kreuze auftreten, ist ein Problem analog zum vorherigen. Es gibt auch drei günstige Ereignisse aus dem Probenraum: CXX, XCX und XXC. So:

P (2 Kreuze) = 3/8 = 0,375

Lösung c

Intuitiv wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, 3 Schwänze (oder 3 Köpfe) zu bekommen, geringer ist. In diesem Fall ist das gesuchte Ereignis XXX am Ende der rechten Spalte, dessen Wahrscheinlichkeit ist:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Lösung d

Es wird verlangt, mindestens 1 Gesicht zu erhalten. Dies bedeutet, dass 3 Gesichter, 2 Gesichter oder 1 Gesicht herauskommen können. Das einzige inkompatible Ereignis ist das, bei dem 3 Schwänze herauskommen, deren Wahrscheinlichkeit 0,125 beträgt. Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P (mindestens 1 Kopf) = 1 - 0,125 = 0,875.

Verweise

1. Canavos, G. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8 .. Auflage. Engagieren.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Wahrscheinlichkeitstheorie. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften. Pearson.